Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

9 153 задачі
Закордонні олімпіади
Відбіркові тести на IMOTST-2023-004

Усі функції з нерівністю з f(a-b) f(c-d)

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, для яких f(a−b)f(c−d)+f(a−d)f(b−c)≤(a−c)f(b−d)f(a-b) f(c-d)+f(a-d) f(b-c) \leq (a-c) f(b-d) виконується для всіх дійсних чисел a,b,ca, b, c і dd.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-008

Розподіл карток по коробках з обмеженою сумою

Кожен школяр у Нідерландах отримує скінченну кількість карток. На кожній картці стоїть дійсне число з проміжку [0,1][0,1]. (Числа на різних картках не обов'язково мають бути різними.) Знайдіть найменше дійсне число c>0c>0, для якого виконується таке, незалежно від чисел на картках, які отримав кожен. Кожен школяр, у якого сума чисел на картках не перевищує 1000, може розподілити картки по 100 коробках так, щоб сума чисел на картках у кожній коробці не перевищувала cc.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-009

Дотичне коло і рівність кутів у трикутнику

Дано трикутник ABCABC і точку DD на відрізку ACAC. Нехай MM — середина відрізка CDCD, а Ω\Omega — коло через BB і DD, яке дотикається до сторони ABAB. Нехай EE — така точка, що △MDB∼△MBE\triangle MDB \sim \triangle MBE і DD та EE лежать по різні боки від прямої MBMB. Доведіть, що EE лежить на колі Ω\Omega тоді й лише тоді, коли ∠ABD=∠MBC\angle ABD = \angle MBC.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2023-005

Нижня межа відношення членів послідовності

Знайдіть найбільше дійсне число MM таке, що для кожної нескінченної послідовності x0,x1,x2,…x_0, x_1, x_2, \dots дійсних чисел, яка задовольняє умови a. x0=1x_0 = 1 і x1=3x_1 = 3, b. x0+x1+⋯+xn−1≥3xn−xn+1x_0 + x_1 + \dots + x_{n-1} \ge 3x_n - x_{n+1} для всіх n≥1n \ge 1, нерівність xn+1xn>M,\frac{x_{n+1}}{x_n} > M, виконується для всіх n≥0n \ge 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2023-006

Розподіл чисел з відрізка по коробках

Кожен учень у Нідерландах отримує скінченну кількість карток. На кожній картці записано дійсне число з проміжку [0,1][0, 1]. (Числа на різних картках не зобов’язані бути різними.) Знайдіть найменше дійсне число c>0c > 0, для якого, незалежно від чисел на картках, які отримав кожен учень, виконується таке: Будь-який учень, у якого сума чисел на його картках не перевищує 10001000, може розподілити свої картки по 100100 коробках так, щоб сума чисел на картках у кожній коробці не перевищувала cc.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-007

Коло через B і D, дотичне до AB

Дано трикутник ABCABC і точку DD на відрізку ACAC. Нехай MM — середина відрізка CDCD, а Ω\Omega — коло через BB і DD, дотичне до прямої ABAB. Нехай EE — така точка, що △MDB∼△MBE\triangle MDB \sim \triangle MBE і що DD і EE лежать по різні боки від прямої MBMB. Доведіть, що EE лежить на колі Ω\Omega тоді й лише тоді, коли ∠ABD=∠MBC\angle ABD = \angle MBC.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2023-036

Множина дільників, замкнена від 2ⁿ+1

Нехай SS — непорожня множина натуральних чисел така, що для будь-якого n∈Sn \in S усі натуральні дільники 2n+12^{n}+1 також належать SS. Доведіть, що SS містить ціле число вигляду (p1p2…p2023)2023\left(p_{1} p_{2} \ldots p_{2023}\right)^{2023} де p1,p2,…,p2023p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{2023} — різні прості числа, усі більші за 2023.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-021

Нерівність для суми обернених квадратів і кубів

Нехай n≥m≥1n \ge m \ge 1 — натуральні числа. Доведіть, що ∑k=mn(1k2+1k3)≥m⋅(∑k=mn1k2)2.\sum_{k=m}^{n} \left( \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^3} \right) \ge m \cdot \left( \sum_{k=m}^{n} \frac{1}{k^2} \right)^2 .
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2023-010

Єгипетські дроби з обмеженими знаменниками

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існують nn різних натуральних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n, жодне з яких не більше за n2n^2, таких, що 1a1+1a2+⋯+1an=1.\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n} = 1.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові тести на IMOTST-2023-011

Перестановка без нерухомих точок із заданим порядком

Ми граємо в гру «музичні стільці» з nn стільцями, пронумерованими від 1 до nn. Ми розвішуємо nn аркушів, пронумерованих від 1 до nn, на стільцях так, щоб номер на аркуші не збігався з номером стільця. На кожному стільці сидить гравець. Коли ми плескаємо в долоні, кожен гравець дивиться на номер на аркуші на своєму поточному стільці та сідає на стілець із цим номером. Доведіть, що для кожного mm, що не є степенем простого числа і задовольняє 1<m≤n1<m \leq n, можна розвісити аркуші так, щоб після mm плескань уперше всі знову сиділи на своїх власних стільцях.
10–11 класиПерестановки2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-012

Найменше значення виразу з добутками та оберненими величинами

Знайдіть найменше можливе значення xy+yz+zx+1x+2y+5z,x y + y z + z x + \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{5}{z}, для додатних дійсних чисел xx, yy та zz.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2023-013

Точки D, E, F на колах в рівнобедреному трикутнику

Нехай △ABC\triangle A B C — рівнобедрений трикутник, у якому ∣AB∣=∣AC∣|A B|=|A C|. Дано точку PP всередині △ABC\triangle A B C, відмінну від центра описаного кола. Нехай ω\omega — коло, що проходить через CC і має центр PP. Відомо, що коло ω\omega перетинає відрізки BCB C і ACA C вдруге відповідно в DD і EE. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника △AEP\triangle A E P, а FF — друга точка перетину кіл ω\omega і Γ\Gamma. Доведіть, що центр описаного кола трикутника △BDF\triangle B D F лежить на колі Γ\Gamma.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2023-022

Прямокутники з непарною кількістю червоних клітинок

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких можна пофарбувати деякі клітинки нескінченної сітки з одиничних квадратів у червоний колір так, щоб кожен прямокутник, що складається рівно з nn клітинок (і сторони якого лежать на лініях сітки), містив непарну кількість червоних клітинок.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Відбіркові тести на IMOTST-2023-016

Максимальна кількість ходів для збирання камінців

Нехай n≥3n \geq 3 — фіксоване натуральне число. Є nn коробок A1,A2,…,AnA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, у кожній з яких лежить деяка кількість камінців a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} так, що a1+a2+⋯+an=3na_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=3 n. Хід складається з таких дій: вибрати коробку і розкласти всі камінці з неї по nn коробках (включно з вибраною) так, щоб для будь-яких двох коробок кількості доданих камінців відрізнялися не більше ніж на 1. Для розподілу a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} визначимо f(a1,a2,…,an)f\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) як найменшу кількість ходів, потрібну, щоб зібрати всі камінці в одній коробці. Нехай MnM_{n} — максимум f(a1,a2,…,an)f\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) за всіма можливими розподілами a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} такими, що a1+a2+⋯+an=3na_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=3 n. Знайдіть MnM_{n} і всі розподіли a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, для яких f(a1,a2,…,an)=Mnf\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=M_{n}. Приклад. Якщо n=4n=4 і в коробках міститься 2, 6, 0, 4 камінці, то 2 камінці з коробки A1A_{1} можна роздати як 1,0,1,0. Після цього ходу кількість камінців у коробках дорівнює 1, 6, 1, 4.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-017

Рівняння з f(x + y) та f(xy) на Q+

Знайдіть усі функції f:Q+→Qf: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q} такі, що f(x)+f(y)=(f(x+y)+1x+y)(1−xy+f(xy))f(x)+f(y)=\left(f(x+y)+\frac{1}{x+y}\right)(1-x y+f(x y)) для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^{+}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-018

Сума дільників дорівнює кількості дільників на стелю з кореня

Нехай nn — натуральне число. Позначимо через τ(n)\tau(n) кількість натуральних чисел, які ділять nn, а через σ(n)\sigma(n) — суму цих дільників. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких виконується σ(n)=τ(n)⋅⌈n⌉.\sigma(n)=\tau(n) \cdot\lceil\sqrt{n}\rceil . Для дійсного числа xx під позначенням ⌈x⌉\lceil x\rceil розуміємо найменше ціле число, більше або рівне xx.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2023-014

Відстані від зовнівписаного центра і центра описаного кола

У трикутнику △ABC\triangle ABC, де ∠ABC<∠BCA\angle ABC < \angle BCA, позначимо через KK центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони ACAC. Прямі AKAK і BCBC перетинаються в точці DD. Нехай EE — центр описаного кола трикутника △BKC\triangle BKC. Доведіть, що 1∣KA∣=1∣KD∣+1∣KE∣\frac{1}{|KA|} = \frac{1}{|KD|} + \frac{1}{|KE|}
10–11 класиЗовнівписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2023-015

Максимальна кількість ходів для розподілу камінців

Нехай n≥3n \ge 3 — фіксоване натуральне число. Є nn коробок A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_n, у кожній з яких лежить певна кількість камінців (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \dots, a_n), причому a1+a2+⋯+an=3na_1+a_2+\cdots+a_n = 3n. Хід складається з таких дій: вибрати коробку та розкласти всі камінці з неї по nn коробках (включно з вибраною коробкою) так, щоб для будь-яких двох коробок кількості доданих до них камінців відрізнялися не більше ніж на 1. Для розподілу a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n визначимо f(a1,a2,…,an)f(a_1, a_2, \dots, a_n) як найменшу кількість ходів, потрібну для того, щоб зібрати всі камінці в одній коробці. Нехай MnM_n — максимум f(a1,a2,…,an)f(a_1, a_2, \dots, a_n) за всіма можливими розподілами a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n, для яких a1+a2+⋯+an=3na_1 + a_2 + \cdots + a_n = 3n. Визначте MnM_n та всі розподіли a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n, для яких f(a1,a2,…,an)=Mnf(a_1, a_2, \dots, a_n) = M_n. Приклад. Якщо n=4n = 4 і в коробках по порядку лежить 2, 6, 0, 4 камінці, то ми можемо розкласти 2 камінці з коробки A1A_1, поклавши в кожну коробку по порядку 1, 0, 1, 0 камінців. Після цього ходу кількість камінців у кожній коробці по порядку дорівнює 1, 6, 1, 4.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-033

Умова описаного кола для рівнобедреного трикутника

Нехай ABCABC і AMNAMN — два подібні трикутники з однаковою орієнтацією, які не накладаються один на одного, такі, що AB=ACAB = AC і AM=ANAM = AN. Нехай OO — центр описаного кола трикутника MABMAB. Доведіть, що точки OO, CC, NN і AA лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC є рівностороннім.
10–11 класиПоворот
Відбіркові тести на IMOTST-2023-025

Розфарбовані трикутники в повному графі

Нехай n≥3n \ge 3 — ціле число, а KnK_n — повний граф на nn вершинах. Кожне ребро графа KnK_n пофарбовано у червоний, зелений або синій колір. Нехай AA — кількість трикутників у KnK_n, усі ребра яких одного кольору, а BB — кількість трикутників у KnK_n, усі ребра яких попарно різних кольорів. Доведіть, що B≤2A+n(n−1)3.B \le 2A + \frac{n(n-1)}{3}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2023-019

Прості пари з факторіальним рівнянням

Знайдіть усі пари простих чисел (p,q)(p, q), для яких виконується 2p=2q−2+q!2^{p}=2^{q-2}+q!
10–11 класиФормула Лежандра
Відбіркові тести на IMOTST-2023-034

Інцидентна структура проєктивної площини

Токійське метро — одне з найефективніших у світі. Існує деяке непарне натуральне число kk таке, що кожна лінія метро проходить рівно через kk станцій, а кожна станція обслуговується рівно kk лініями метро. З будь-якої станції до будь-якої іншої можна дістатися лише однією лінією метро — але це сполучення єдине. Ба більше, будь-які дві лінії метро мають рівно одну спільну станцію. Давид планує екскурсію для команди IMO і хоче відвідати множину SS з kk станцій. Він зауважує, що жодні три станції з SS не лежать на спільній лінії метро. Доведіть, що існує деяка станція не з SS, яка сполучена з кожною станцією з SS іншою лінією метро.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-026

Комплексні числа з одиничним добутком і дійсними сумами

Нехай aa, bb і cc — три комплексні числа, добуток яких дорівнює 11. Припустимо, що жодне з чисел aa, bb і cc не є дійсним і не має модуля 11. Визначимо p=(a+b+c)+(1a+1b+1c)іq=ab+bc+ca.p = (a + b + c) + \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \quad \text{і} \quad q = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}. Відомо, що обидва числа pp і qq дійсні. Знайдіть усі можливі значення впорядкованої пари (p,q)(p, q).
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Відбіркові тести на IMOTST-2023-027

Середина PQ на прямій Ейлера

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, а PP і QQ — дві різні точки в його внутрішній області. Припустимо, що бісектриси кутів ∠PAQ\angle PAQ, ∠PBQ\angle PBQ і ∠PCQ\angle PCQ є висотами трикутника ABCABC. Доведіть, що середина відрізка PQ‾\overline{PQ} лежить на прямій Ейлера трикутника ABCABC.
10–11 класиПряма Ейлера3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-037

Монічний многочлен із дійсними коренями меншими за 1

Знайдіть усі монічні многочлени P(x)=x2023+a2022x2022+⋯+a1x+a0P(x) = x^{2023} + a_{2022} x^{2022} + \cdots + a_{1} x + a_{0} з дійсними коефіцієнтами такі, що a2022=0a_{2022} = 0, P(1)=1P(1) = 1, а всі корені PP дійсні й менші за 11.
10–11 класиНерівність Коші

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.