Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

9 153 задачі
Закордонні олімпіади
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-004

Різниці сусідніх точних степенів і дільник 9999

Нехай S={1,4,8,9,16,…}S=\{1,4,8,9,16, \ldots\} — множина точних степенів цілих чисел, тобто чисел вигляду nkn^{k}, де n,kn, k — натуральні числа і k≥2k \geq 2. Запишемо S={a1,a2,a3…}S=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots\right\} у порядку зростання, так що a1<a2<a3⋯a_{1}<a_{2}<a_{3} \cdots. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел mm таких, що 99999999 ділить різницю am+1−ama_{m+1}-a_{m}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-005

Мінімальна кількість дружб з умовою на підмножину

На платформі соціальної мережі зареєстровано 19 99819\,998 людей; кожні двоє з них або дружать, або ні. Для будь-якої групи з 99999999 людей серед них є принаймні 99999999 пар, які дружать. Яка найменша кількість дружніх стосунків, тобто найменша кількість пар людей, які дружать, має бути серед 19 99819\,998 людей?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-012

Найменша додатна сума зі знаками плюс-мінус

Замінивши кожен символ у виразі 1∗2∗3∗4∗5∗⋯∗2019∗20201 * 2 * 3 * 4 * 5 * \cdots * 2019 * 2020 на знак ++ або −-, отримаємо довгий вираз для обчислення. Розставте знаки ++ і −- так, щоб результат був додатним числом (більшим за 00), яке є якомога меншим. Чому дорівнює цей результат?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-001

Медіани в числовій таблиці 3 на 3

Даан розміщує числа від 11 до 99 у дев'яти клітинках таблиці 3×33 \times 3 (у кожну клітинку — рівно одне число). Потім у кожному рядку Даан обводить медіанне число (число, яке не є ні найменшим, ні найбільшим із трьох). Наприклад, якщо в одному рядку стоять числа 88, 11 і 22, він обводить число 22. Те саме він робить для кожного стовпця та кожної з двох діагоналей. Якщо число вже обведене, він не обводить його вдруге. | | | | |---|---|---| | (⑧) | 1 | (②) | | 7 | (⑥) | (③) | | 9 | (⑤) | 4 | Він називає результат цього процесу медіанною таблицею. Вище можна побачити медіанну таблицю, що має 55 обведених чисел. a. Яка найменша можлива кількість обведених чисел у медіанній таблиці? Доведіть, що менша кількість неможлива, і наведіть приклад, у якому обведена мінімальна кількість чисел. b. Яка найбільша можлива кількість обведених чисел у медіанній таблиці? Доведіть, що більша кількість неможлива, і наведіть приклад, у якому обведена максимальна кількість чисел.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-006

Прямокутник, що накриває три чверті квадрата

У Франциски є квадратний аркуш паперу зі стороною 1010 см. Також у неї є прямокутний аркуш паперу з такою самою площею, як у квадратного. Вона кладе прямокутник поверх квадрата так, щоб їхні ліві нижні кути збігалися. Рівно чверть квадрата залишається непокритою прямокутником. Яка довжина в сантиметрах довгої сторони прямокутника? A) 1212 B) 121412\frac{1}{4} C) 121212\frac{1}{2} D) 123412\frac{3}{4} E) 131313\frac{1}{3}
10–11 класиПлоща чотирикутника
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-019

Добутки факторіалів як повні квадрати

Для натурального числа nn через n!n! («ен факторіал») позначимо число, яке одержимо, перемноживши всі цілі числа від 11 до nn. Наприклад: 5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=1205! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120. a. Знайдіть усі цілі числа nn, 1≤n≤1001 \le n \le 100, для яких n!⋅(n+1)!n! \cdot (n+1)! є повним квадратом. Також доведіть, що ви знайшли всі розв’язки nn. b. Доведіть, що не існує натурального числа nn такого, що n!⋅(n+1)!⋅(n+2)!⋅(n+3)!n! \cdot (n+1)! \cdot (n+2)! \cdot (n+3)! є повним квадратом.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-013

Послідовні числа із сумами цифр, кратними 5

Сума цифр числа утворюється додаванням усіх цифр цього числа. Наприклад, сума цифр числа 13031303 дорівнює 1+3+0+3=71 + 3 + 0 + 3 = 7. Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого як сума цифр числа nn, так і сума цифр числа n+1n + 1 діляться на 55.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-007

Логічна задача про брехунів і правдомовців

Кожен із Квіка, Квека і Квака бреше два послідовні дні тижня, а в інші п'ять днів каже правду. Жодні двоє з них не брешуть в один і той самий день. Дядько Дональд хоче дізнатися, хто з його племінників з'їв його цукерки. Троє племінників добре знають, хто це зробив. У неділю Квік каже, що Квек з'їв цукерки. У понеділок Квік каже, що насправді не Квек з'їв цукерки, а Квак стверджує, що Квік невинний. У вівторок же Квак каже, що це Квік з'їв цукерки. Хто з'їв цукерки? A) Це був Квік. B) Це був Квек. C) Це був Квак. D) Це був або Квік, або Квек, але визначити, хто саме, неможливо. E) Це був або Квік, або Квак, але визначити, хто саме, неможливо.
10–11 класиРозбиття на випадки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-020

Рівносторонній трикутник з кіл восьмикутника

Три послідовні вершини AA, BB і CC правильного восьмикутника є центрами кіл, які проходять через сусідні вершини восьмикутника. Точки перетину PP, QQ і RR цих трьох кіл утворюють трикутник (див. рисунок). Доведіть, що трикутник PQRPQR є рівностороннім.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-002

Послідовність із раціональним рекурентним співвідношенням

Для заданого значення tt розглядаємо числові послідовності a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots такі, що an+1=an+tan+1a_{n+1} = \frac{a_n + t}{a_n + 1} для всіх n≥1n \ge 1. a. Нехай t=2t = 2. Знайдіть усі початкові значення a1>0a_1 > 0 такі, що 43≤an≤32\frac{4}{3} \le a_n \le \frac{3}{2} виконується для всіх n≥2n \ge 2. b. Нехай t=−3t = -3. Дослідіть, чи a2020=a1a_{2020} = a_1 для всіх початкових значень a1a_1, відмінних від −1-1 і 11.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-008

Двозначні числа із сумою цифр не меншою за добуток

Розглянемо двозначні числа (перша цифра не може дорівнювати 00). Таке число називається марним, якщо сума двох його цифр більша або дорівнює добутку двох його цифр. Наприклад, число 3636 не є марним, оскільки 3+63 + 6 менше, ніж 3⋅63 \cdot 6. Скільки існує двозначних марних чисел? A) 1717 B) 1818 C) 2626 D) 2727 E) 3737
10–11 класиРозбиття на випадки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-015

Згинання шахівниці

Квадратний аркуш паперу, що лежить на столі, поділено на 8×8=648 \times 8 = 64 однакові квадратики. Ці квадратики пронумеровано від a1 до h8, як поля шахівниці (див. рис. 1). Тепер починаємо згинати так, щоб квадратик a1 завжди залишався на тому самому місці на столі. Спершу згинаємо вздовж горизонтальної середньої лінії (рис. 1). При цьому квадратик a8 опиниться поверх квадратика a1. Потім згинаємо вздовж вертикальної середньої лінії (рис. 2). Далі згинаємо вздовж нової горизонтальної середньої лінії (рис. 3) і так далі. Після шести згинань перед нами лежить невеличкий паперовий згорток (рис. 7), який можна розглядати як стос із 64 квадратних шматочків паперу. рис. 1 рис. 2 рис. 3... рис. 7 Квадратики в цьому стосі пронумеровано знизу вгору від 1 до 64. Отже, квадратик a1 отримує номер 1. Який номер отримає квадратик f6?
10–11 класиСистеми числення
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-014

Трійки чисел із сумами пар на іншій картці

Аннемік і Барт мають кожен по записці, на якій записано по три різні натуральні числа. Виявилося, що є рівно одне число, яке є в обох записках. Більше того, якщо додати будь-які два різні числа із записки Аннемік, то одержимо одне з чисел із записки Барта. Одне з чисел із записки Аннемік — її улюблене число, і якщо помножити його на 33, то одержимо одне з чисел із записки Барта. На записці Барта є число 2525 — його улюблене число. Чому дорівнює улюблене число Аннемік?
10–11 класиРозбиття на випадки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-003

Коло через точки бісектриси в паралелограмі

Дано паралелограм ABCDABCD, у якому ∠A<90∘\angle A < 90^\circ і ∣AB∣<∣BC∣|AB| < |BC|. Бісектриса кута AA перетинає сторону BCBC в точці MM і перетинає продовження сторони DCDC в точці NN. Точка OO — центр кола, що проходить через MM, CC і NN. Доведіть, що ∠OBC=∠ODC\angle OBC = \angle ODC.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-017

Різні остачі в круговій послідовності

Сто брауні (дівчат-скаутів) сидять у великому колі навколо багаття. У кожної брауні є принаймні один каштан, і жодні дві брауні не мають однакової кількості каштанів. Кожна брауні ділить кількість своїх каштанів на кількість каштанів своєї сусідки справа і записує остачу на зеленому папірці. Кожна брауні також ділить свою кількість на кількість каштанів своєї сусідки зліва і записує остачу на червоному папірці. Наприклад, якщо в Ані 2323 каштани, а в її сусідки справа Брег’є 55, то Аня пише 33 на своєму зеленому папірці, а Брег’є пише 55 на своєму червоному папірці. Якщо кількість різних остач на 100100 зелених папірцях дорівнює 22, то яка найменша можлива кількість різних остач на 100100 червоних папірцях?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-016

Ряди монет з умовами віддаленості

Розглянемо ряди з 20202020 монет. Кожна монета має номінал 11, 22 або 33. Між двома монетами номіналом 11 є принаймні одна інша монета. Між двома монетами номіналом 22 є принаймні дві інші монети. Між двома монетами номіналом 33 є принаймні три інші монети. Скільки існує різних рядів з 20202020 монет, які задовольняють ці умови?
10–11 класиКонструкція через періодичність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-004

Цілі пари з простою сумою квадратів і квадратним 2xy

Знайдіть усі пари цілих чисел (x,y)(x, y) такі, що 2xy2xy є повним квадратом, а x2+y2x^2 + y^2 є простим числом.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-005

Ітеративне вилучення повних квадратів

Сабіна має дуже велику колекцію мушель. Вона вирішує віддати частину своєї колекції сестрі. Першого дня вона викладає в ряд усі свої мушлі. Вона забирає мушлі, які стоять на місцях з номерами, що є повними квадратами (першу, четверту, дев'яту, шістнадцяту тощо), і віддає їх сестрі. Другого дня вона знову викладає в ряд мушлі, що залишилися. Знову вона забирає мушлі, які стоять на місцях з номерами, що є повними квадратами, і віддає їх сестрі. Вона повторює цей процес щодня. 27-й день — перший день, коли в неї залишається менше ніж 1000 мушель. 28-го дня в неї залишається кількість мушель, що є повним квадратом, удесяте. Якими є можливі кількості мушель, які Сабіна могла мати на самому початку?
10–11 класиРетроспективний алгоритм
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-018

Рекурентна послідовність з множенням на кратні 8

Задано послідовність чисел a0,a1,a2,…,a2020a_0, a_1, a_2, \dots, a_{2020}, у якій a0=0a_0 = 0. Крім того, для кожного k=1,2,…,2020k = 1, 2, \dots, 2020 виконується: ak={ak−1⋅kякщо k ділиться на 8,ak−1+kякщо k не ділиться на 8.a_k = \begin{cases} a_{k-1} \cdot k & \text{якщо } k \text{ ділиться на } 8, \\ a_{k-1} + k & \text{якщо } k \text{ не ділиться на } 8. \end{cases} Які останні дві цифри числа a2020a_{2020}?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-009

Стрибки коників на дошці 4 на 4

На дошці 4×44 \times 4 є 1616 коників, кожен на власній клітинці. У певний момент кожен коник стрибає на сусідню клітинку: на клітинку зверху, знизу, ліворуч або праворуч від своєї поточної клітинки, але не по діагоналі й не виходячи за межі дошки. Яка найбільша можлива кількість клітинок, які можуть виявитися порожніми після того, як коники стрибнуть? A) 88 B) 99 C) 1010 D) 1111 E) 1212
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-010

Криптарифм з діленням і відніманням

У таблиці нижче кожен із трьох рядків є правильною дією (символ ÷\div позначає ділення). Також кожен із трьох стовпчиків (якщо читати згори вниз) є правильною дією. Проте цифри в таблиці замінено літерами. Різні літери позначають різні цифри, і жодна з цифр не є 00. ABC−ADF=F+−−ADD÷GC=C===CEF÷GD=D\begin{array}{lclcl} \text{ABC} & - & \text{ADF} & = & \text{F} \\ + & & - & & - \\ \text{ADD} & \div & \text{GC} & = & \text{C} \\ = & & = & & = \\ \text{CEF} & \div & \text{GD} & = & \text{D} \end{array} Яку цифру позначає літера EE? A) 11 B) 33 C) 55 D) 77 E) 99
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-011

Розфарбування браслетів з урахуванням симетрій

Лінеке робить браслети з намистин. Кожен браслет має шість намистин: дві білі, дві сірі та дві чорні. Деякі браслети на перший погляд виглядають по-різному, але насправді не відрізняються: якщо повернути або перевернути перший, він виглядатиме так само, як другий. Наприклад, такі три браслети однакові. Скільки справді різних браслетів може зробити Лінеке? A) 10 B) 11 C) 12 D) 14 E) 15
10–11 класиРозбиття на випадки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-001

Подільність степенів трійки на 32

Доведіть, що для будь-якого натурального числа nn одне з чисел 32n−3n+1+3n−33^{2n} - 3^{n+1} + 3^n - 3 або 32n−3n+1+3n+13^{2n} - 3^{n+1} + 3^n + 1 ділиться на 32.
9 класМетод факторизації (розкладання н…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-002

Відсоток дівчат у математичному гуртку

У класі однакова кількість хлопців і дівчат. Відомо, що 60%60\% учнів займаються спортом і 59\frac{5}{9} учнів, які займаються спортом, — хлопці. Також відомо, що 13\frac{1}{3} учнів, які займаються спортом, відвідують математичний гурток, а 215\frac{2}{15} дівчат ні спортом не займаються, ні математичного гуртка не відвідують. З іншого боку, 215\frac{2}{15} хлопців і спортом займаються, і математичний гурток відвідують. Який відсоток дівчат відвідує математичний гурток?
9 класФормула включення-виключення
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-003

Три діагоналі правильного многокутника в одній точці

Чи існує ціле число n≥3n \ge 3 таке, що якісь 3 діагоналі правильного nn-кутника перетинаються в одній точці, яка не є ні вершиною, ні центром nn-кутника? Якщо так, знайдіть найменше таке nn.
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.