Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

9 153 задачі
Закордонні олімпіади
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-073

Восьмизначні числа в трикутнику Паскаля

Оцініть AA — кількість появ восьмизначних чисел у трикутнику Паскаля. Оцінка EE приносить max⁡(0,⌊20−∣A−E∣/200⌋)\max (0,\lfloor 20-|A-E| / 200\rfloor) балів.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-074

Корінь многочлена з простими коефіцієнтами

Нехай pip_{i} — ii-те просте число. Нехай f(x)=∑i=150pixi−1=2+3x+⋯+229x49f(x)=\sum_{i=1}^{50} p_{i} x^{i-1}=2+3 x+\cdots+229 x^{49} Якщо aa — єдине додатне дійсне число, для якого f(a)=100f(a)=100, оцініть A=⌊100000a⌋A=\lfloor 100000 a\rfloor. Оцінка EE принесе max⁡(0,⌊20−∣A−E∣/250⌋)\max (0,\lfloor 20-|A-E| / 250\rfloor) балів.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-075

Випадкове блукання змійки на клітинній дошці

Змійка довжини kk — це тварина, яка займає впорядкований kk-набір (s1,…,sk)(s_{1}, \ldots, s_{k}) клітин на клітинній дошці n×nn \times n з квадратних одиничних клітин. Ці клітини мають бути попарно різними, а sis_{i} і si+1s_{i+1} повинні мати спільну сторону при i=1,…,k−1i=1, \ldots, k-1. Якщо змійка зараз займає (s1,…,sk)(s_{1}, \ldots, s_{k}), а ss — вільна клітина, що має спільну сторону з s1s_{1}, то змійка може зробити хід, після якого вона займає (s,s1,…,sk−1)(s, s_{1}, \ldots, s_{k-1}). Спочатку змійка довжини 4 перебуває на дошці {1,2,…,30}2\{1,2, \ldots, 30\}^{2} і займає позиції (1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), причому (1,1)(1,1) — її голова. Змійка раз у раз робить хід, вибираючи його навмання рівноймовірно серед дозволених ходів. Оцініть NN — математичне сподівання кількості ходів, які зробить змійка, доки в неї не залишиться жодного дозволеного ходу. Оцінка E>0E>0 принесе ⌊22min⁡(N/E,E/N)4⌋\left\lfloor 22 \min (N / E, E / N)^{4}\right\rfloor балів.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Відбіркові тести на IMOTST-2020-005

Найменша кількість засмучених мешканців

У місті живе 2020 мешканців. Перед Різдвом усі вони щасливі, але якщо мешканець не отримає жодної різдвяної листівки від жодного іншого мешканця, то він засмутиться. На жаль, у місті є лише одна поштова компанія, яка пропонує лише один вид послуги: перед Різдвом кожен мешканець може вказати двох різних інших мешканців, з яких компанія обирає одного, якому надіслати різдвяну листівку від імені цього мешканця. Відомо, що компанія робить свій вибір так, щоб якомога більше мешканців засмутилися. Знайдіть найменшу можливу кількість мешканців, які засмутяться.
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові тести на IMOTST-2020-001

Гострокутний трикутник з умовою про вписане коло

У гострокутному трикутнику ABCABC центр вписаного кола — II, причому ∣AC∣+∣AI∣=∣BC∣|AC| + |AI| = |BC|. Доведіть, що ∠BAC=2∠ABC\angle BAC = 2\angle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-002

Рівна кількість дільників лінійної комбінації

Для натурального числа nn нехай d(n)d(n) — кількість додатних дільників числа nn. Визначте натуральні числа kk, для яких існують натуральні числа aa і bb, що задовольняють: k=d(a)=d(b)=d(2a+3b).k = d(a) = d(b) = d(2a + 3b).
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-004

Стабільне розміщення чисел на колі з умовою добутку

Для натурального числа n≥3n \geq 3 розглянемо коло з nn точками на ньому. У кожній точці поставимо натуральне число, причому числа не обов'язково мають бути різними. Таке розміщення чисел називається стабільним, якщо будь-які три сусідні числа завжди мають добуток nn. Для скількох значень nn з 3≤n≤20203 \leq n \leq 2020 можна розмістити числа стабільним чином?
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-003

Монотонність послідовності коренів многочленів

Нехай a1,a2,…,a2020a_1, a_2, \dots, a_{2020} — дійсні числа, не обов'язково різні. Для всіх n≥2020n \ge 2020 нехай an+1a_{n+1} — найменший дійсний корінь многочлена Pn(x)=x2n+a1x2n−2+a2x2n−4+⋯+an−1x2+an,P_n(x) = x^{2n} + a_1 x^{2n-2} + a_2 x^{2n-4} + \dots + a_{n-1} x^2 + a_n, якщо він існує. Припустимо, що an+1a_{n+1} існує для всіх n≥2020n \ge 2020. Доведіть, що an+1≤ana_{n+1} \le a_n для всіх n≥2021n \ge 2021.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-024

Мінімум спадної послідовності дробів

Нехай b1,b2,…b_1, b_2, \dots — натуральні числа, що задовольняють умову 1=b112>b222>b332>b442>…1 = \frac{b_1}{1^2} > \frac{b_2}{2^2} > \frac{b_3}{3^2} > \frac{b_4}{4^2} > \dots і нехай rr позначає найбільше дійсне число, для якого нерівність bnn2≥r\frac{b_n}{n^2} \ge r виконується для всіх натуральних nn. Яких значень може набувати rr при всіх можливих виборах послідовності (bn)(b_n)?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-025

Найбільша кількість ходів у круговому сортуванні «камінь–ножиці–папір»

Нехай a,b,ca, b, c — фіксовані натуральні числа. По колу, одна за одною, сидять a+b+ca+b+c качок. Кожна качка обирає камінь, папір або ножиці, причому камінь обирають aa качок, папір — bb качок, а ножиці — cc качок. Ходом називається операція одного з таких трьох видів: Якщо качка з каменем сидить позаду качки з ножицями, вони міняються місцями. Якщо качка з папером сидить позаду качки з каменем, вони міняються місцями. Якщо качка з ножицями сидить позаду качки з папером, вони міняються місцями. Визначте залежно від a,ba, b і cc найбільшу кількість ходів, які можуть відбутися, за всіх можливих початкових конфігурацій.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2020-009

Відображені точки на колі в трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCA B C точка DD — основа висоти, проведеної з AA. Нехай D1D_{1} і D2D_{2} — образи точки DD при симетрії відносно прямих ABA B і ACA C відповідно. Точку перетину прямої BCB C з прямою, що проходить через D1D_{1} паралельно ABA B, позначимо E1E_{1}. Точку перетину прямої BCB C з прямою, що проходить через D2D_{2} паралельно ACA C, позначимо E2E_{2}. Доведіть, що точки D1,D2,E1D_{1}, D_{2}, E_{1} і E2E_{2} лежать на одному колі, центр якого лежить на описаному колі трикутника ABCA B C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-006

Гра: заміна двох взаємно простих чисел їхньою сумою

Ворд і Габріель грають у гру на великому аркуші паперу. На початку гри на аркуші написано 999 одиниць. Ворд і Габріель ходять по черзі, причому перший хід робить Ворд. Своїм ходом гравець повинен вибрати два числа aa і bb на аркуші такі, що НСД(a,b)=1\text{НСД}(a, b) = 1, стерти ці числа з аркуша і написати на аркуші число a+ba+b. Перший гравець, який не може цього зробити, програє. Визначте, який гравець завжди може виграти цю гру.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Відбіркові тести на IMOTST-2020-010

Симетрія відносно бісектриси кута

Дано трикутник ABCA B C і його описане коло, причому ∣AC∣<∣AB∣|A C| < |A B|. На меншій дузі ACA C лежить змінна точка DD, відмінна від AA. Нехай EE — точка, симетрична точці AA відносно бісектриси кута ∠BDC\angle B D C. Доведіть, що пряма DED E проходить через фіксовану точку, незалежно від положення точки DD.
10–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2020-007

Відбиття від бісектриси і фіксована точка

Нехай дано трикутник ABCABC такий, що ∣AC∣<∣AB∣|AC| < |AB|, разом з його описаним колом. Нехай DD — змінна точка на меншій дузі ACAC. Нехай EE — образ точки AA при симетрії відносно внутрішньої бісектриси кута ∠BDC\angle BDC. Доведіть, що пряма DEDE проходить через фіксовану точку, незалежну від положення точки DD.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2020-008

Гра з сумуванням взаємно простих чисел

Вард і Габріелла грають у гру на великому аркуші паперу. На початку на папері написано 999 одиниць. Вард і Габріелла роблять ходи по черзі, починає Вард. У свій хід гравець може вибрати два написані на папері числа aa і bb, для яких НСД(a,b)=1\text{НСД}(a, b)=1, стерти їх і дописати число a+ba+b. Той, хто першим не зможе зробити хід, програє. Визначте, хто з Варда й Габріелли має виграшну стратегію.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-026

Колінеарність, породжена дотичними до кіл

Два кола Γ1\Gamma_1 і Γ2\Gamma_2 мають спільні зовнішні дотичні l1l_1 і l2l_2, що перетинаються в точці TT. Нехай l1l_1 дотикається до кола Γ1\Gamma_1 у точці AA, а l2l_2 дотикається до кола Γ2\Gamma_2 у точці BB. Коло Ω\Omega, що проходить через AA і BB, перетинає Γ1\Gamma_1 ще раз у точці CC, а Γ2\Gamma_2 ще раз у точці DD, причому чотирикутник ABCDABCD опуклий. Нехай прямі ACAC і BDBD перетинаються в точці XX, а прямі ADAD і BCBC — у точці YY. Доведіть, що точки TT, XX, YY лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2020-027

Збіг інцентра трикутника з точкою дотику вписаного кола

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник із центром вписаного кола II. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Нехай PP — основа висоти, опущеної з точки DD на пряму EFEF, а MM — середина сторони BCBC. Промені APAP і IPIP вдруге перетинають описане коло трикутника ABCABC у точках GG і QQ відповідно. Доведіть, що центр вписаного кола трикутника GQMGQM збігається з точкою DD.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2020-015

Кількість складених чисел і нерівність для НСК

Для кожного натурального числа xx позначимо через κ(x)\kappa(x) кількість складених чисел, які не перевищують xx. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких (κ(n))!⋅НСК(1,2,…,n)>(n−1)!(\kappa(n))! \cdot \text{НСК}(1,2,\dots,n) > (n-1)!
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові тести на IMOTST-2020-011

Замощення різними прямокутниками

Для натурального числа nn розглянемо дошку n×nn \times n і плитки розмірами 1×11 \times 1, 1×21 \times 2,..., 1×n1 \times n. Скількома способами можна пофарбувати в червоний колір рівно 12n(n+1)\frac{1}{2}n(n+1) клітинок дошки так, щоб червоні клітинки можна було покрити, розмістивши nn плиток горизонтально на дошці, а також розмістивши nn плиток вертикально на дошці? Два розфарбування, які не збігаються, але які можна отримати одне з одного поворотом чи відбиттям, вважаються різними розфарбуваннями.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2020-013

Функціональне рівняння з f(x²y) і f(y²)

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, які задовольняють f(x2y)+2f(y2)=(x2+f(y))⋅f(y)f\left(x^{2} y\right)+2 f\left(y^{2}\right)=\left(x^{2}+f(y)\right) \cdot f(y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-014

Замощення дошки плитками змінної довжини

Для натурального числа nn розглянемо дошку n×nn \times n та плитки з розмірами 1×1,1×2,…,1×n1 \times 1, 1 \times 2, \ldots, 1 \times n. Скількома способами можна пофарбувати у червоний колір рівно 12n(n+1)\frac{1}{2} n(n+1) клітинок дошки так, щоб усі червоні клітинки можна було покрити nn плитками, якщо всі їх розмістити горизонтально, а також nn плитками, якщо всі їх розмістити вертикально? Два розфарбування, які не є однаковими, але переходять одне в одне поворотом чи віддзеркаленням дошки, вважаються різними.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2020-012

Пари з функцією Ейлера та НСД

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел, для яких a+b=φ(a)+φ(b)+НСД(a,b).a + b = \varphi(a) + \varphi(b) + \text{НСД}(a, b). Тут φ(n)\varphi(n) — кількість цілих чисел k∈{1,2,…,n}k \in \{1, 2, \dots, n\}, що задовольняють НСД(n,k)=1\text{НСД}(n, k) = 1.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2020-028

Гра про будівництво дамби на клітинній дошці

Нехай α≥1\alpha \ge 1 — дійсне число. Гефест і Посейдон грають у покрокову гру на нескінченній клітинній дошці з одиничних квадратів. Ще до початку гри Посейдон обирає скінченну кількість клітин, які стануть затопленими. Гефест будує дамбу — підмножину одиничних ребер дошки (їх називають стінами), що утворює зв'язний шлях або замкнений контур без самоперетинів. Гра починається, причому перший хід робить Гефест. На кожному своєму ході Гефест додає до дамби одну чи більше стін — за умови, що після його n-го ходу сумарна довжина дамби не перевищує αn\alpha n. На кожному ході Посейдона затоплюється також кожна клітина, суміжна з уже затопленою клітиною, якщо між ними немає стіни. Гефест перемагає, якщо дамба утворює замкнений контур, всередині якого містяться всі затоплені клітини — отже, повінь зупинено і світ врятовано. За яких α\alpha Гефест може гарантувати перемогу за скінченну кількість ходів, як би Посейдон не обрав початкові клітини для затоплення?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-029

Трикутники з послідовними цілими сторонами і співвідношенням кутів

Назвемо невироджений трикутник з мірами кутів θ1,θ2,θ3\theta_1, \theta_2, \theta_3 примхливим, якщо існують цілі числа r1,r2,r3r_1, r_2, r_3, не всі нульові, такі, що r1θ1+r2θ2+r3θ3=0.r_1\theta_1 + r_2\theta_2 + r_3\theta_3 = 0. Знайдіть усі цілі числа n≥3n \ge 3, для яких трикутник зі сторонами n−1,n,n+1n-1, n, n+1 є примхливим.
10–11 класиІнші класи многочленів
Відбіркові тести на IMOTST-2020-016

Пряма AP і точки X та Y з перпендикулярів

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — перетин дотичних у точках BB і CC до описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC. Пряма через точку AA, перпендикулярна до ABAB, і пряма через точку CC, перпендикулярна до ACAC, перетинаються в точці XX. Пряма через точку AA, перпендикулярна до ACAC, і пряма через точку BB, перпендикулярна до ABAB, перетинаються в точці YY. Доведіть, що AP⊥XYAP \perp XY.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.