Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

9 153 задачі
Закордонні олімпіади
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-046

Раціональні пари з вкладеними радикалами

Кажемо, що число є раціональним, якщо його можна записати у вигляді pq\frac{p}{q}, де pp і qq — цілі числа. Якщо дійсне число не є раціональним, кажемо, що воно ірраціональне. Наприклад, 14\frac{1}{4} — раціональне число, а 3\sqrt{3} — ірраціональне. Знайдіть усі пари раціональних чисел (a,b)(a, b) такі, що a+b=2+3\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2+\sqrt{3}}
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-022

Гра з квадратами та подільністю на 2021

Учителька Джейн написала на дошці числа 12,22,32,…,202021^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots, 2020^{2}. Вона пропонує таку гру: Аліса і Матіас мають по черзі витирати числа, по одному числу за хід, причому починає Матіас, доки на дошці не залишаться лише два числа. Якщо різниця між цими двома числами буде кратною 2021, перемагає Аліса, інакше перемагає Матіас. Визначте, хто завжди може гарантувати собі перемогу незалежно від гри суперника.
8–9 класиСиметрія та розбиття на пари
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-023

Шляхи між червоними точками у розфарбованому графі

На аркуші паперу намальовано 10 точок, з них 8 синіх і 2 червоні. Обидві червоні точки сполучено з усіма синіми точками, але між собою їх не сполучено. Усі сині точки сполучено між собою. Коли дві точки сполучено, це сполучення здійснено єдиним відрізком. Скількома різними способами можна вийти з однієї червоної точки й дійти до іншої, проходячи через кожну точку не більше одного разу?
8–9 класиРозміщення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-047

Корінь кубічного рівняння та розклад на множники

Розгляньмо дійсні числа pp і qq та кубічне рівняння: x3+px+q=0x^{3}+p x+q=0 a) Якщо x0x_{0} — дійсний корінь рівняння, то x3+px+q=(x−x0)(x2+ax+b)x^{3}+p x+q=\left(x-x_{0}\right)\left(x^{2}+a x+b\right) Доведіть, що a=x0a=x_{0}. b) Доведіть, що p2≥4x0qp^{2} \geq 4 x_{0} q.
10–11 класиМетод невизначених коефіцієнтів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-001

Фотографії, на яких кожна пара родичів разом рівно один раз

Фотограф має зробити фотографії вечірки за участю 10 членів однієї родини. Кожна з 45 можливих пар людей цієї родини має з'явитися разом рівно на одній фотографії. Крім того, фотографії бувають лише двох типів: на 2 або на 3 особи. a) Перевірте, що кожна людина з родини має з'явитися принаймні на одній фотографії, на якій лише 2 особи. b) Перевірте, що фотограф має зробити принаймні 19 фотографій. c) Наведіть приклад розподілу людей на 19 фотографіях, що задовольняє задані умови.
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-048

Коло на діагоналі квадрата

У квадраті ABCDA B C D точки MM і NN є внутрішніми точками сторін BCB C і CDC D так, що ∠MAN=45∘\angle M A N=45^{\circ}. Нехай OO — точка перетину кола, яке проходить через C,MC, M і NN, з відрізком ACA C. a) Доведіть, що OM=ONO M=O N. b) Доведіть, що OO є центром кола, яке проходить через A,MA, M і NN.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-024

Найменше число з умовами на степені

Нехай xx — найменше натуральне число, яке одночасно задовольняє такі умови: 2x2x є квадратом цілого числа, 3x3x є кубом цілого числа і 5x5x є п’ятим степенем цілого числа. Знайдіть розклад xx на прості множники.
8–9 класиОсновна теорема арифметики
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-049

Подібні трикутники в прямокутнику з перпендикулярами

Нехай ABCDABCD — прямокутник з BC=2⋅ABBC = 2 \cdot AB. Нехай EE — середина сторони BCBC, а PP — довільна внутрішня точка сторони ADAD. Нехай FF і GG — основи перпендикулярів, проведених із AA до прямої BPBP та із DD до прямої CPCP. Відомо, що ∠BPC=85∘\angle BPC = 85^\circ. a) Доведіть, що трикутники BEFBEF і BEPBEP подібні. b) Знайдіть значення суми кутів ∠BEF+∠CEG\angle BEF + \angle CEG.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-050

Добуток виразів із квадратами чисел Фібоначчі

Послідовність Фібоначчі задано рекурентно рівністю Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} для n∈Zn \in \mathbb{Z} і F1=F2=1F_{1}=F_{2}=1. Знайдіть значення: (1−F22F32)(1−F32F42)⋅…⋅(1−F20192F20202)\left(1-\frac{F_{2}^{2}}{F_{3}^{2}}\right)\left(1-\frac{F_{3}^{2}}{F_{4}^{2}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1-\frac{F_{2019}^{2}}{F_{2020}^{2}}\right)
10–11 класиЧисла Фібоначі
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-025

Операції калькулятора для виявлення невідомого числа

Калькулятор MKMK-2020 може виконувати такі три операції з числами у своїй пам'яті: 1) Визначати, чи два обрані числа рівні. 2) Додавати два обрані числа. 3) Для обраних чисел aa і bb визначати дійсні корені рівняння x2+ax+b=0x^{2} + a x + b = 0 або повідомляти, що таке рівняння не має дійсних коренів. Результати кожної операції накопичуються в його пам'яті. Спочатку пам'ять містить лише число zz, яке невідоме його користувачам. a) Використовуючи операції, визначте, як з'ясувати, чи zz відмінне від 00, чи ні. b) Знайдіть корені квадратного рівняння відносно xx: x2+2zx+z=0x^{2} + 2z x + z = 0 c) Як можна визначити, використовуючи калькулятор MKMK-2020, чи zz дорівнює 11?
8–9 класиКвадратні рівняння та системи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-051

Дотичні та кут у колі

На рисунку нижче відрізки AMA M, AKA K, B2C2B_{2} C_{2} і B1C1B_{1} C_{1} є дотичними до кола з центром OO. Якщо ∠B1OB2=30∘\angle B_{1} O B_{2} = 30^{\circ}, знайдіть величину кута ∠B1DB2\angle B_{1} D B_{2}.
10–11 класиДотична кола
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-026

Частка добутків послідовних і непарних чисел

Обчисліть значення A=1001⋅1002⋅1003⋅…⋅20001⋅3⋅5⋅…⋅1999A=\frac{1001 \cdot 1002 \cdot 1003 \cdot \ldots \cdot 2000}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 1999}
8–9 класиПеретворення дробів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-027

Коробки з 8, 9 і 10 шоколадками

У магазині шоколадок є коробки з 88, 99 і 1010 шоколадками. Зауважимо, що деякі кількості шоколадок не можна купити точно, як, наприклад, 1212 шоколадок. a) Знайдіть іншу кількість шоколадок, яку не можна купити. b) Перевірте, що кожне число, більше за 5656, можна записати у вигляді 8x+9y8x + 9y, де xx і yy — цілі невід'ємні числа. c) Яку найбільшу кількість шоколадок не можна купити точно в цьому магазині?
8–9 класиЛінійні діофантові рівняння
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-052

Непарна періодична функція

Нехай f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} — непарна функція, тобто функція, яка задовольняє −f(x)=f(−x)-f(x)=f(-x) для всіх x∈Rx \in \mathbb{R}. Припустимо, що f(x+5)=f(x)f(x+5)=f(x) для всіх x∈Rx \in \mathbb{R} і що f(1/3)=1f(1 / 3)=1. Знайдіть значення суми: f(16/3)+f(29/3)+f(12)+f(−7)f(16 / 3)+f(29 / 3)+f(12)+f(-7)
10–11 класиПеріодичні функції
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-028

Підрахунок легальних телефонних номерів

Назвемо телефонний номер d1d2d3−d4d5d6d7d_{1} d_{2} d_{3}-d_{4} d_{5} d_{6} d_{7} легальним, якщо число d1d2d3d_{1} d_{2} d_{3} дорівнює d4d5d6d_{4} d_{5} d_{6} або d5d6d7d_{5} d_{6} d_{7}. Наприклад, 234−2347234-2347 — легальний телефонний номер. Припустимо, що кожне did_{i} може бути будь-якою цифрою від 0 до 9. Скільки існує легальних телефонних номерів?
8–9 класиПравила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-003

Трикутник зі співвідношенням кутів і висотою

На малюнку нижче ∠CAB=2⋅∠CBA\angle C A B = 2 \cdot \angle C B A, ADA D — висота, а MM — середина сторони ABA B. Якщо AC=2 смA C = 2~\text{см}, знайдіть довжину відрізка DMD M.
10–11 класиОписане коло
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-029

Перестановки з умовою порядку пар

а) Літери AA, BB і CC можна розмістити в ряд 6 різними способами: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBAA B C,\ A C B,\ B A C,\ B C A,\ C A B,\ C B A Зауважимо, що в 3 з них літера AA стоїть ліворуч від літери BB: ABC, ACB, CABA B C,\ A C B,\ C A B Якщо розмістити літери AA, BB, CC і DD в ряд усіма 24 можливими різними способами, у скількох з них літера AA стоїть ліворуч від літери BB? б) Павук має шкарпетку й черевик для кожної зі своїх восьми ніг. Скількома різними способами павук може взутися, якщо 8 шкарпеток і 8 черевиків попарно різні й кожну шкарпетку треба одягнути перед відповідним черевиком?
8–9 класиПерестановки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-053

Квадрат з перетином діагоналей і площа чотирикутника

Квадрат ABCDA B C D зі стороною 1 см1~\text{см} вписано в коло з центром OO. Точка MM лежить на дузі BCB C, відрізок AMA M перетинає BDB D в точці PP, відрізок DMD M перетинає ACA C в точці QQ. a) Перевірте, що ∠AQD=∠PAD\angle A Q D=\angle P A D. b) Знайдіть площу чотирикутника APQDA P Q D.
10–11 класиОзнаки подібності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-030

Вписаний чотирикутник із діагоналями-бісектрисами

Вершини чотирикутника ABCDABCD лежать на колі. Кожна з його діагоналей ділить навпіл один кут і відтинає третину протилежного кута. Знайдіть величини кутів чотирикутника. Зауваження: кажемо, що промінь OMOM відтинає третину кута ∠AOB\angle AOB, якщо величина одного з двох кутів, утворених ним, дорівнює третині величини кута ∠AOB\angle AOB.
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-054

Симетрія суми значень показникової функції

Нехай f(x)=9x9x+3f(x)=\frac{9^{x}}{9^{x}+3}. а) Знайдіть значення f(x)+f(1−x)f(x)+f(1-x). б) Обчисліть значення суми f(12020)+f(22020)+f(32020)+…+f(20192020)f\left(\frac{1}{2020}\right)+f\left(\frac{2}{2020}\right)+f\left(\frac{3}{2020}\right)+\ldots+f\left(\frac{2019}{2020}\right)
10–11 класиЗаміни, породжені симетрією
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-055

Прямокутник з півколом і довжинами відрізків

Нехай ABCDABCD — прямокутник такий, що AB=2BCAB = \sqrt{2} BC. Нехай EE — точка на півколі з діаметром ABAB, як показано на рисунку нижче. Нехай KK і LL — точки перетину відрізка ABAB з відрізками EDED і ECEC відповідно. Якщо AK=2 смAK = 2\ \text{см} і BL=9 смBL = 9\ \text{см}, обчисліть, у см\text{см}, довжину відрізка KLKL.
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-056

Двозначні числа, що ділять своїх родичів

Нехай ab‾\overline{a b} — двозначне ціле число. Додатне ціле число nn є родичем числа ab‾\overline{a b}, якщо: i) цифра одиниць числа nn також дорівнює bb. ii) інші цифри числа nn відмінні від нуля і в сумі дають aa. Наприклад, родичами числа 31 є 31, 121, 211 і 1111. Знайдіть усі двозначні числа, які ділять усіх своїх родичів.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-057

Адитивна функція з умовою для простих чисел

Для кожного натурального числа nn задано невід'ємне ціле число f(n)f(n) так, що виконуються такі три правила: i) f(ab)=f(a)+f(b)f(a b)=f(a)+f(b). ii) f(n)=0f(n)=0, якщо nn — просте число, більше за 10.. iii) f(1)<f(243)<f(2)<11f(1)<f(243)<f(2)<11. Відомо, що f(2106)<11f(2106)<11. Знайдіть значення f(96)f(96).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-058

Сто учнів, сто шафок і кількість зачинених

У школі є 100 учнів і 100 шафок, пронумерованих від 1 до 100. Спочатку всі шафки зачинені. Перший учень проходить і відчиняє всі шафки; другий проходить і зачиняє всі шафки з парними номерами; третій проходить і змінює стан усіх шафок, кратних 3, тобто відчинені він зачиняє, а зачинені відчиняє; четвертий учень змінює стан усіх шафок з номерами, кратними 4; і так далі аж до сотого учня, який змінює стан шафок з номерами, кратними 100. Скільки шафок залишаться зачиненими, коли пройдуть усі учні?
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-059

Послідовні щасливі числа

Будемо казати, що натуральне число є щасливим, якщо, додавши квадрати його цифр і повторюючи цю операцію послідовно, отримаємо число 11. Наприклад, число 19001900 є щасливим, оскільки 1900→82→68→100→11900 \rightarrow 82 \rightarrow 68 \rightarrow 100 \rightarrow 1 a) Знайдіть два послідовні двоцифрові щасливі числа. b) Доведіть, що для кожного n>2020n>2020 існують два послідовні щасливі числа з nn цифр.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.