Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

9 153 задачі
Закордонні олімпіади
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-008

Поширення зарази на шаховій дошці

На шаховій дошці 2019×20192019 \times 2019 поширюється заразна хвороба. Щодня деякі клітинки дошки хворі, а решта — здорові. Здорова клітинка, що межує з хворою клітинкою (по стороні), сама стає хворою наступного дня. Хвора клітинка наступного дня завжди стає здоровою. Здорова клітинка, яка вже хворіла раніше, може захворіти знову (якщо її заразить одна із сусідніх клітинок). У 1-й день хвора лише центральна клітинка. Скільки клітинок хворіє у день 100100? A) 200200 B) 298298 C) 396396 D) 99999999 E) 1000010000
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-018

Знаки на ребрах куба з найменшою сумою

На кожному з дванадцяти ребер куба записують число 11 або −1-1. Для кожної грані куба перемножують чотири числа на її ребрах і записують добуток на цій грані. Нарешті додають усі вісімнадцять записаних чисел. Який найменший (найбільш від'ємний) результат можна отримати? На рисунку показано приклад такого куба. Чисел на зворотному боці куба не видно.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-017

Вкладені кола в рівносторонньому трикутнику

Усередині рівностороннього трикутника проведено коло, яке дотикається до всіх трьох сторін. Радіус цього кола дорівнює 1010. Друге, менше, коло дотикається до першого кола та двох сторін трикутника. Третє, ще менше, коло дотикається до другого кола та двох сторін трикутника (див. рисунок). Чому дорівнює радіус третього кола?
10–11 класиГомотерія і подібність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-003

Коло, відбиття центра та бісектриси кутів

Точки AA, BB і CC лежать на колі з центром MM. Образ точки MM при симетрії відносно прямої ABAB лежить усередині трикутника ABCABC і є перетином бісектрис кутів AA і BB. (Бісектриса кута — це пряма, яка ділить кут на два рівні кути.) Пряма AMAM перетинає коло вдруге в точці DD. Доведіть, що ∣CA∣⋅∣CD∣=∣AB∣⋅∣AM∣|CA| \cdot |CD| = |AB| \cdot |AM|.
10–11 класиОзнаки подібності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-004

Сума обернених добутків чисел Фібоначчі

Послідовність чисел Фібоначчі F0,F1,F2,…F_0, F_1, F_2, \ldots задано умовами F0=F1=1F_0 = F_1 = 1 і Fn+2=Fn+Fn+1F_{n+2} = F_n + F_{n+1} для всіх n≥0n \ge 0. Наприклад, маємо F2=F0+F1=2,F3=F1+F2=3,F4=F2+F3=5,F5=8.F_2 = F_0 + F_1 = 2, \quad F_3 = F_1 + F_2 = 3, \quad F_4 = F_2 + F_3 = 5, \quad F_5 = 8. Послідовність a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \ldots задано формулою an=1FnFn+2для всіх n≥0.a_n = \frac{1}{F_n F_{n+2}} \quad \text{для всіх } n \ge 0. Доведіть, що для всіх m≥0m \ge 0 виконується: a0+a1+a2+⋯+am<1.a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_m < 1.
10–11 класиСуми послідовностей
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-019

Остача від ділення квадрата числа

Якщо спробувати поділити число 1919 на 55, то отримаємо остачу. Число 55 вміщується в 1919 33 рази, а в остачі залишиться 44. Існує два натуральні числа nn з такою властивістю: якщо поділити n2n^2 на 2n+12n + 1, то отримаємо остачу 10001000. Які це два числа?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-006

Найдовший ланцюжок двоцифрових чисел, кратних 7

Існує 1313 різних двоцифрових чисел, кратних 77. Потрібно скласти найдовший можливий ланцюжок із цих кратних так, щоб два кратні могли стояти поруч лише тоді, коли остання цифра лівого кратного дорівнює першій цифрі правого кратного. Кожне кратне можна використати не більше одного разу. Наприклад, 2121 – 1414 – 4949 — допустимий ланцюжок довжини 33. Яка найбільша можлива довжина допустимого ланцюжка? A) 66 B) 77 C) 88 D) 99 E) 1010
10–11 класиШляхи на графах
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-020

Восьмикутник із прямих до середин сторін квадрата

У квадраті ABCDABCD зі стороною 22 з кожної вершини проведено прямі до середин двох протилежних сторін. Наприклад, AA сполучено із серединою сторони BCBC та із серединою сторони CDCD. Вісім утворених прямих разом обмежують восьмикутник усередині квадрата (див. рисунок). Чому дорівнює площа цього восьмикутника?
10–11 класиВідношення площ трикутників
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-005

Гра з картками на подільність різниці сум на 3

Томас і Нільс грають у гру. У них є кілька карток, пронумерованих 11, 22, 33 і так далі. На початку всі картки лежать на столі лицьовим боком догори. Вони ходять по черзі. Гравець, чия черга ходити, вибирає картку, яка ще лежить на столі, і вирішує або залишити її собі, або віддати іншому гравцеві. Коли всі картки розібрано, кожен з них обчислює суму чисел на своїх картках. Якщо різниця між цими двома сумами ділиться на 33, то перемагає Томас. Інакше перемагає Нільс. a. Припустімо, що вони грають із 20182018 картками (пронумерованими від 11 до 20182018) і що починає Томас. Доведіть, що Нільс може грати так, щоб напевно виграти гру. b. Припустімо, що вони грають із 20202020 картками (пронумерованими від 11 до 20202020) і що починає Нільс. Хто з двох гравців може грати так, щоб напевно виграти?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-009

Розфарбування таблиці 2 на 5 з умовами суміжності

У таблиці з двома рядками й п'ятьма стовпцями кожну клітинку пофарбовано в чорний або білий колір за такими правилами: Два сусідні стовпці ніколи не мають однакової кількості чорних клітинок. Два квадрати 2×22 \times 2, які перетинаються в одному стовпці, ніколи не мають однакової кількості чорних клітинок. Скільки існує можливих розфарбувань таблиці, що відповідають цим правилам?
10–11 класиРозбиття на випадки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-010

Найбільше значення із чотирма діями

Яке з наведених чисел є найбільшим із тих, які можна отримати, розставивши між числами 11, 22, 33, 44 і 55 знаки дій ++, −-, :: і ×\times, використавши кожен рівно один раз, при цьому можна використовувати дужки, щоб вказати порядок виконання дій? Наприклад: (5−3)×(4+1):2=5(5 - 3) \times (4 + 1) : 2 = 5. A) 2121 B) 532\frac{53}{2} C) 3333 D) 692\frac{69}{2} E) 3535
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-011

Логічна задача про велосипеди і кольори

Агата, Іса та Нік мають велосипеди різних типів. Один з них має електровелосипед, один — шосейний велосипед, а один — гірський велосипед. Велосипеди мають різні кольори: зелений, синій і чорний. Кожен із трьох власників робить по два твердження, з яких одне істинне, а друге хибне: Агата каже: «У мене електровелосипед. В Іси синій велосипед.» Іса каже: «У мене гірський велосипед. У Ніка електровелосипед.» Нік каже: «У мене синій велосипед. Шосейний велосипед — чорний.» Рівно одне з таких тверджень обов’язково є істинним. Яке саме? A) В Агати зелений велосипед. B) В Агати гірський велосипед. C) В Іси зелений велосипед. D) В Іси гірський велосипед. E) У Ніка електровелосипед.
10–11 класиРозбиття на випадки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-012

Описаний чотирикутник з прямими кутами

Чотирикутник ABCDABCD має прямі кути при вершинах AA і DD. Коло радіуса 1010 міститься всередині чотирикутника й дотикається до всіх чотирьох сторін. Довжина сторони BCBC дорівнює 2424. Середину сторони ADAD позначено EE, а середину сторони BCBC позначено FF. Чому дорівнює довжина відрізка EFEF? A) 432\frac{43}{2} B) 13211\frac{13}{2}\sqrt{11} C) 33511\frac{33}{5}\sqrt{11} D) 2222 E) 452\frac{45}{2}
10–11 класиВписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-005

Безсумові підмножини та оцінка їх кількості

Нехай SS — множина цілих чисел. Кажуть, що SS є безсумовою, якщо для всіх цілих чисел xx і yy, які належать SS, сума x+yx+y не належить SS. Для кожного цілого числа n⩾1n \geqslant 1 через sns_{n} позначимо кількість підмножин множини {1,2,…,2n}\{1,2, \ldots, 2 n\}, які є безсумовими. Доведіть, що sn⩾2ns_{n} \geqslant 2^{n}.
8–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-006

Лінійні комбінації, що дають повні квадрати

Нехай xx і yy — два цілі числа такі, що 5x+6y5x + 6y і 6x+5y6x + 5y є повними квадратами. Доведіть, що xx і yy обидва діляться на 1111. Зауваження: кажуть, що ціле число nn є повним квадратом, якщо воно є квадратом цілого числа.
8–10 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-024

Додавання чисел до сусідніх клітинок дошки 3 на 3

Спочатку кожна з 9 клітинок дошки 3×33 \times 3 містить 00. На кожному ході Педро вибирає дві клітинки зі спільною стороною та додає до обох клітинок або 11, або −1-1. Доведіть, що неможливо за скінченну кількість ходів досягти ситуації, коли всі клітинки містять 22.
8–10 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-007

Рівні кути в трапеції з паралельними сторонами

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якій (AB)(AB) паралельна (CD)(CD). Нехай PP — точка відрізка [AC][AC], а QQ — точка відрізка [BD][BD] такі, що APD^=BQC^\widehat{APD} = \widehat{BQC}. Доведіть, що AQD^=BPC^\widehat{AQD} = \widehat{BPC}.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-034

Сума дійсних чисел з кубічною нерівністю

Нехай aa і bb — два дійсні числа такі, що ab⩾a3+b3a b \geqslant a^{3}+b^{3}. Доведіть, що a+b⩽1a+b \leqslant 1.
9–11 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-028

Модульне зрівнювання на дошці 3 на 3

Карін і Сіріл грають у таку гру. Спочатку Сіріл вибирає ціле число n⩾1n \geqslant 1. Потім у кожну клітинку дошки 3×33 \times 3 (схожої на поле для гри в хрестики-нулики) він записує ціле число. Далі хід Карін. Вона може стільки разів, скільки забажає, виконувати таку операцію: вона вибирає клітинку c\mathbf{c}, потім збільшує на 1 значення в клітинці c\mathbf{c} та в її сусідах (тобто клітинок, які мають спільну сторону з клітинкою cc). Карін виграє партію, якщо їй вдасться зробити так, що всі 9 цілих чисел стануть рівними за модулем nn. Хто з гравців має виграшну стратегію?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-033

Середина сторони на прямій, визначеній серединою дуги

Нехай ABCABC — трикутник, усі кути якого гострі, причому AB≠ACAB \neq AC. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, а DD — середина дуги BC^\widehat{BC}, що не містить AA. Нехай EE і FF — точки, які належать відповідно відрізкам [AB][AB], [AC][AC], такі, що AE=AFAE = AF. Нехай PP — точка перетину, відмінна від AA, кола Γ\Gamma та описаного кола трикутника AEFAEF. Нехай GG і HH — точки перетину, відмінні від PP, кола Γ\Gamma з прямими (PE)(PE) і (PF)(PF) відповідно. Нарешті, нехай JJ — точка перетину прямих (AB)(AB) і (DG)(DG), а KK — точка перетину прямих (AC)(AC) і (DH)(DH). Доведіть, що середина відрізка [BC][BC] належить прямій (JK)(JK).
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-003

Нерівність із квадратного діофантового рівняння

Нехай mm, nn, kk — три натуральні числа такі, що m2+n=k2+km^{2} + n = k^{2} + k. Доведіть, що m⩽nm \leqslant n.
8–10 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-008

Факторіал не дорівнює квадрату плюс 2019

Нехай mm і nn — два натуральні числа. Доведіть, що n!≠m2+2019n!\neq m^{2}+2019.
8–10 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-009

Циклічна сума дробів з чисельниками 5 + 2b + c²

Нехай a,b,ca, b, c — невід'ємні дійсні числа такі, що a+b+c=1a+b+c=1. Доведіть, що 5+2b+c21+a+5+2c+a21+b+5+2a+b21+c⩾13\frac{5+2 b+c^{2}}{1+a}+\frac{5+2 c+a^{2}}{1+b}+\frac{5+2 a+b^{2}}{1+c} \geqslant 13
8–10 класиІнші класичні нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-010

Перетин хорди і діаметра

Нехай Γ\Gamma — коло з центром OO та радіусом rr, а ℓ\ell — пряма, яка не перетинає Γ\Gamma. Позначимо через EE точку перетину прямої ℓ\ell з прямою, перпендикулярною до ℓ\ell, що проходить через OO. Нехай MM — точка прямої ℓ\ell, відмінна від EE. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені через MM, дотикаються до кола Γ\Gamma у точках AA і BB. Нарешті, нехай HH — точка перетину прямих ABAB і OEOE. Доведіть, що OH=r2OEOH = \dfrac{r^2}{OE}.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-031

Розфарбування раціональних чисел з умовою на суму

Розфарбування Q\mathbb{Q} полягає у фарбуванні кожного раціонального числа або в червоний, або в синій колір. Кажуть, що розфарбування Q\mathbb{Q} є гармонійним, якщо для всіх раціональних чисел xx і yy одного кольору раціональне число x+yx+y також має той самий колір. Знайдіть усі розфарбування Q\mathbb{Q}, які є гармонійними.
9–11 класиРаціональні та ірраціональні числа

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.