Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

9 153 задачі
Закордонні олімпіади
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-138

Трикутник із серединою відрізка OH на стороні

У трикутнику ABCABC, де AB<ACAB < AC, нехай HH — ортоцентр, а OO — центр описаного кола. Відомо, що середина відрізка OHOH лежить на прямій BCBC, BC=1BC = 1, а периметр трикутника ABCABC дорівнює 66, знайдіть площу трикутника ABCABC.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-111

Відношення відрізків при зовнішній бісектрисі трикутника

У △ABC\triangle ABC зовнішня бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає пряму BCBC в точці DD. EE — точка на промені AC→\overrightarrow{AC} така, що ∠BDE=2∠ADB\angle BDE = 2 \angle ADB. Якщо AB=10AB = 10, AC=12AC = 12 і CE=33CE = 33, обчисліть відношення DBDE\frac{DB}{DE}.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-101

Пари цілих чисел з умовою на мінімум і максимум

Обчисліть кількість впорядкованих пар цілих чисел (x,y)(x, y) таких, що x2+y2<2019x^{2}+y^{2}<2019 і x2+min⁡(x,y)=y2+max⁡(x,y)x^{2}+\min (x, y)=y^{2}+\max (x, y)
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-013

Розфарбування точок решітки з умовою суміжності

Чи можна множину точок цілочисельної решітки {(x,y)∣x,y∈Z,1≤x,y≤252,x≠y}\{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{Z}, 1 \leq x, y \leq 252, x \neq y\} розфарбувати у 10 різних кольорів так, щоб для всіх a≠b,b≠ca \neq b, b \neq c кольори (a,b)(a, b) і (b,c)(b, c) були різними?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-038

Покриття шестикутника рівносторонніми трикутниками

Правильний шестикутник PROFITP R O F I T має площу 11. Щохвилини жадібний Джордж розміщує найбільший можливий рівносторонній трикутник, що не перетинається з уже розміщеними трикутниками всередині шестикутника, причому у разі рівності вибір довільний. Скільки трикутників знадобиться Джорджеві, щоб покрити принаймні 90%90\% площі шестикутника?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-129

Сума модулів k для k-гармонійних розстановок гіперкуба

Тесса-гіпермураха має 2019-вимірний гіперкуб. Для дійсного числа kk вона називає розстановку ненульових дійсних чисел у 220192^{2019} вершинах гіперкуба kk-гармонійною, якщо для будь-якої вершини сума всіх 2019 чисел у вершинах, суміжних з нею по ребру, дорівнює числу в цій вершині, помноженому на kk. Нехай SS — множина всіх можливих значень kk, для яких існує kk-гармонійна розстановка. Знайдіть ∑k∈S∣k∣\sum_{k \in S}|k|.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-102

Рівнобічна трапеція з прямим кутом

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція, у якій AD=BC=255AD = BC = 255 і AB=128AB = 128. Нехай MM — середина сторони CDCD, а NN — основа перпендикуляра з AA на пряму CDCD. Якщо ∠MBC=90∘\angle MBC = 90^{\circ}, обчисліть tg⁡∠NBM\operatorname{tg} \angle NBM.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-039

Впорядковані пари сімей власних підмножин

Позначимо P={S,T}P=\{\mathrm{S}, \mathrm{T}\} і нехай P\mathcal{P} — множина всіх власних підмножин PP. (Власна підмножина — це підмножина, яка не збігається із самою множиною.) Скільки існує впорядкованих пар (S,T)(\mathcal{S}, \mathcal{T}) власних підмножин P\mathcal{P} таких, що a) S\mathcal{S} не є власною підмножиною T\mathcal{T}, а T\mathcal{T} не є власною підмножиною S\mathcal{S}; і b) для будь-яких множин S∈SS \in \mathcal{S} і T∈TT \in \mathcal{T}, SS не є власною підмножиною TT, а TT не є власною підмножиною SS?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-112

Лазерні відбиття та освітлені точки

Вілл стоїть у точці PP на краю круглої кімнати з ідеально відбивними стінами. Він світить у кімнату двома лазерними вказівками, які утворюють кути n∘n^{\circ} і (n+1)∘(n+1)^{\circ} з дотичною в точці PP, де nn — натуральне число, менше за 9090. Лазери відбиваються від стін, освітлюючи точки стін, у які вони влучають, доки знову не досягнуть PP. (PP наприкінці також освітлюється.) Яка найменша можлива кількість освітлених точок на стінах кімнати?
10–11 класиНСД та НСК
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-139

П'ятикутник у паралелепіпеді з рівними сторонами

У прямокутному паралелепіпеді ABCDEFGHA B C D E F G H з довжинами ребер AB=AD=6A B = A D = 6 і AE=49A E = 49 площина проходить через точку AA і перетинає ребра BFB F, FGF G, GHG H, HDH D у точках PP, QQ, RR, SS відповідно. Відомо, що AP=ASA P = A S і PQ=QR=RSP Q = Q R = R S. Знайдіть площу п'ятикутника APQRSA P Q R S.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-120

Площа чотирикутника за сумою двох кутів

На вечерю Прія їсть смажені скибочки ананаса. Кожна скибочка має форму чотирикутника PINEPINE, у якому PI=6 смPI = 6~\text{см}, IN=15 смIN = 15~\text{см}, NE=6 смNE = 6~\text{см}, EP=25 смEP = 25~\text{см} і ∠NEP+∠EPI=60∘\angle NEP + \angle EPI = 60^\circ. Чому дорівнює площа кожної скибочки в см2\text{см}^2?
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-040

Математичне сподівання в процесі з підкиданням монети

Нехай pp — дійсне число між 00 і 11. Джоселін має монету, яка випадає гербом з імовірністю pp і решкою з імовірністю 1−p1-p; також у неї на дошці написано число. Щохвилини вона підкидає монету, і якщо випадає герб, то вона замінює число xx на дошці на 3x+13x+1; якщо випадає решка, то вона замінює його на x/2x/2. Відомо, що існують сталі a,ba, b такі, що математичне сподівання числа, написаного на дошці після tt хвилин, можна записати як at+bat+b для всіх натуральних чисел tt. Обчисліть pp.
10–11 класиАрифметична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-149

Невід'ємна таблиця з сумами рядків і стовпців

Скількома способами можна заповнити квадратну таблицю 3×33 \times 3 невід'ємними цілими числами так, щоб жодне ненульове число не траплялося більше ніж один раз в одному рядку або стовпці, а сума чисел у кожному рядку та кожному стовпці дорівнювала 77?
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-014

Композиційні пари многочленів над полем

Нехай p>2p > 2 — просте число. Fp[x]\mathbb{F}_p[x] означено як множина всіх многочленів від xx з коефіцієнтами з Fp\mathbb{F}_p (цілих чисел за модулем pp зі звичайними додаванням і відніманням), тож два многочлени рівні тоді й лише тоді, коли коефіцієнти при xkx^k рівні в Fp\mathbb{F}_p для кожного невід'ємного цілого числа kk. Наприклад, (x+2)(2x+3)=2x2+2x+1(x+2)(2x+3) = 2x^2 + 2x + 1 в F5[x]\mathbb{F}_5[x], оскільки відповідні коефіцієнти рівні за модулем 55. Нехай f,g∈Fp[x]f, g \in \mathbb{F}_p[x]. Пару (f,g)(f, g) називають композиційною, якщо f(g(x))≡xp2−xf(g(x)) \equiv x^{p^2} - x в Fp[x]\mathbb{F}_p[x]. Знайдіть з доведенням кількість композиційних пар (у термінах pp).
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-041

Медіана площ частин квадрата

Нехай ABCDABCD — квадрат зі стороною 55, а EE — середина сторони ABAB. Нехай PP і QQ — основи перпендикулярів з BB і DD на пряму CECE відповідно, а RR — основа перпендикуляра з AA на пряму DQDQ. Відрізки CECE, BPBP, DQDQ і ARAR розбивають квадрат ABCDABCD на п'ять областей. Чому дорівнює медіана площ цих п'яти областей?
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-015

Корені симетричного многочлена на одиничному колі

Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn всі комплексні корені rr многочлена P(x)=(2n)x2n+(2n−1)x2n−1+⋯+(n+1)xn+1+nxn+(n+1)xn−1+⋯+(2n−1)x+2nP(x) = (2 n) x^{2 n} + (2 n-1) x^{2 n-1} + \cdots + (n+1) x^{n+1} + n x^{n} + (n+1) x^{n-1} + \cdots + (2 n-1) x + 2 n лежать на одиничному колі (тобто ∣r∣=1|r|=1).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-121

Очікувана кількість шматків кулі від розрізів ґраткою

На десерт Мелінда їсть сферичну кульку морозива діаметром 22 дюйми. Однак вона любить їсти морозиво шматочками, схожими на кубики. У неї є спеціальна машина, яка для кулі, розміщеної в просторі, розрізає її площинами x=nx=n, y=ny=n та z=nz=n для кожного цілого nn (не обов'язково додатного). Мелінда розміщує центр кульки морозива рівномірно випадково всередині куба 0≤x,y,z≤10 \leq x, y, z \leq 1, а потім розрізає її на шматки за допомогою своєї машини. Знайдіть математичне сподівання кількості шматків, на які буде розрізано морозиво.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-103

Очікувана кількість шляхів на решітці, що оминають точку

Шляхом вгору-вправо між двома точками цілочисельної решітки PP і QQ називається шлях з PP до QQ, який складається з кроків довжини 1 вгору або вправо. Точку цілочисельної решітки (x,y)(x, y) з 0≤x,y≤50 \leq x, y \leq 5 вибрано навмання (усі точки рівноймовірні). Обчисліть математичне сподівання кількості шляхів вгору-вправо з (0,0)(0,0) до (5,5)(5,5), які не проходять через (x,y)(x, y).
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-130

Нескінченна сума відношень членів цілочисельної послідовності

Послідовність цілих чисел {ai}i=0∞\{a_{i}\}_{i=0}^{\infty} задовольняє умови a0=3a_{0}=3, a1=4a_{1}=4 та an+2=an+1an+⌈an+12−1an2−1⌉a_{n+2}=a_{n+1} a_{n}+\left\lceil\sqrt{a_{n+1}^{2}-1} \sqrt{a_{n}^{2}-1}\right\rceil при n≥0n \geq 0. Обчисліть суму ∑n=0∞(an+3an+2−an+2an+an+1an+3−anan+1).\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{a_{n+3}}{a_{n+2}}-\frac{a_{n+2}}{a_{n}}+\frac{a_{n+1}}{a_{n+3}}-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right) .
10–11 класиСтрибки Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-043

Найменше число з остачами 2,3,4 при діленні на 3,5,7

Яке найменше натуральне число має остачі 2,3,42, 3, 4 при діленні на 3,5,73, 5, 7 відповідно?
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-113

Розбиття многокутника фіксованими діагоналями

Опуклий 2019-кутник A1A2…A2019A_{1} A_{2} \ldots A_{2019} розрізано на менші частини вздовж його 2019 діагоналей вигляду AiAi+3A_{i} A_{i+3} для 1≤i≤20191 \leq i \leq 2019, де A2020=A1A_{2020}=A_{1}, A2021=A2A_{2021}=A_{2} і A2022=A3A_{2022}=A_{3}. Яка найменша можлива кількість утворених частин?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-150

Ґраткові блукання у чотиривимірному просторі з обмеженням суми

Фред — чотиривимірна пухнаста вівця — гуляє у чотиривимірному просторі. Він починає з початку координат. Кожної хвилини він переходить зі свого поточного положення (a1,a2,a3,a4)(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) у деяке положення (x1,x2,x3,x4)(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) з цілими координатами, що задовольняють (x1−a1)2+(x2−a2)2+(x3−a3)2+(x4−a4)2=4(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+(x_{3}-a_{3})^{2}+(x_{4}-a_{4})^{2}=4 і ∣(x1+x2+x3+x4)−(a1+a2+a3+a4)∣=2.\left| (x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})-(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}) \right|=2. Скількома способами Фред може дістатися до (10,10,10,10)(10,10,10,10) рівно за 40 хвилин, якщо йому дозволено проходити через цю точку під час своєї прогулянки?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-042

Відношення добутків виразів із радикалами

Нехай A=(1+22+33+66)(2+62+3+36)(3+2+63+26)(6+32+23+6)B=(1+32+23+66)(2+2+63+36)(3+62+3+26)(6+22+33+6)\begin{aligned} & A=(1+2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}+6 \sqrt{6})(2+6 \sqrt{2}+\sqrt{3}+3 \sqrt{6})(3+\sqrt{2}+6 \sqrt{3}+2 \sqrt{6})(6+3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}+\sqrt{6}) \\ & B=(1+3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}+6 \sqrt{6})(2+\sqrt{2}+6 \sqrt{3}+3 \sqrt{6})(3+6 \sqrt{2}+\sqrt{3}+2 \sqrt{6})(6+2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}+\sqrt{6}) \end{aligned} Обчисліть значення A/BA / B.
10–11 класиРозкладання на множники і розкрит…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-140

Площа шестикутника з вкладених квадратів

У трикутнику ABCABC, AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Квадрати ABB1A2ABB_1A_2, BCC1B2BCC_1B_2, CAA1C2CAA_1C_2 побудовано назовні трикутника. Квадрати A1A2A3A4A_1A_2A_3A_4, B1B2B3B4B_1B_2B_3B_4, C1C2C3C4C_1C_2C_3C_4 побудовано назовні шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2. Квадрати A3B4B5A6A_3B_4B_5A_6, B3C4C5B6B_3C_4C_5B_6, C3A4A5C6C_3A_4A_5C_6 побудовано назовні шестикутника A4A3B4B3C4C3A_4A_3B_4B_3C_4C_3. Знайдіть площу шестикутника A5A6B5B6C5C6A_5A_6B_5B_6C_5C_6.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-044

Рекурентне співвідношення з експоненційним зростанням

У році 00 в Кембриджі є одна білка та один кролик. Обидві тварини швидко розмножуються. Зокрема, якщо в році kk є mm білок і nn кроликів, то в році k+1k+1 буде 2m+20192 m + 2019 білок і 4n−24 n - 2 кроликів. У якому році вперше кроликів стане строго більше, ніж білок?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.