Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 708 задач
Міжнародні олімпіади
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-006

Дві обмежені послідовності з умовою для різниць

Чи існують дві такі обмежені послідовності (an)(a_n) та (bn)(b_n), що для довільних натуральних m>nm > n справджується принаймні одна з двох умов: ∣am−an∣>1nабо∣bm−bn∣>1n.|a_m - a_n| > \frac{1}{\sqrt{n}} \quad \text{або} \quad |b_m - b_n| > \frac{1}{\sqrt{n}}.
10–11 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2022-001

Рівняння f(f(x)) = 1 - f(x) з добутком

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що f(f(x)f(1−x))=f(x) і f(f(x))=1−f(x)f(f(x) f(1-x))=f(x) \quad \text{ і } \quad f(f(x))=1-f(x) для всіх дійсних xx.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2022-002

Парні підсистеми доріг та загальна кількість доріг у списку

У Дивокраї міста сполучені дорогами, причому коли між двома містами є пряма дорога, то між цими двома містами існує також маршрут, який не використовує цю дорогу. (Між будь-якими двома містами є не більше однієї прямої дороги.) Чирвова Королева наказала Пікам скласти список усіх «парних» підсистем системи доріг, тобто систем, утворених підмножинами множини доріг, у яких кожне місто сполучене з парною кількістю доріг (можливо, з жодною). Для кожної такої підсистеми вони мають перелічити її дороги. Якщо загалом у Дивокраї є nn доріг і у списку Пік є xx підсистем, то скільки доріг є у їхньому списку, якщо кожну дорогу рахувати стільки разів, скільки разів вона перелічена?
10–11 класиБієкції
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2022-003

Гра з розбиттям чисел та умовою за модулем n

Антон і Брітта грають у гру з множиною M={1,2,3,…,n−1}M=\{1,2,3, \ldots, n-1\}, де n≥5n \geq 5 — непарне ціле число. На кожному кроці Антон вилучає число з множини MM і додає його до своєї множини AA, а Брітта вилучає число з множини MM і додає його до своєї множини BB (спочатку AA і BB порожні). Коли MM стає порожньою, Антон вибирає два різні числа x1,x2x_{1}, x_{2} з множини AA і показує їх Брітті. Потім Брітта вибирає два різні числа y1,y2y_{1}, y_{2} з множини BB. Брітта виграє, якщо (x1x2(x1−y1)(x2−y2))n−12≡1 mod n\left(x_{1} x_{2}\left(x_{1}-y_{1}\right)\left(x_{2}-y_{2}\right)\right)^{\frac{n-1}{2}} \equiv 1 \quad \bmod n інакше виграє Антон. Знайдіть усі nn, для яких Брітта має виграшну стратегію.
10–11 класиМала теорема Ферма
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2022-004

Відображення та перетин кіл у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом kk і центром описаного кола OO. Пряма, що проходить через OO, перетинає сторони ABAB і ACAC у точках DD і EE. Позначимо через B′B' і C′C' точки, симетричні точкам BB і CC відносно OO відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників ODC′ODC' і OEB′OEB' перетинаються на колі kk.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-022

Розбиття рівностороннього трикутника на n рівносторонніх трикутників

Дано рівносторонній трикутник. Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що його можна розбити на nn рівносторонніх трикутників (не обов’язково однакового розміру).
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-001

Затиснення зсунутого синуса між оцінками

Нехай aa — дійсне число. Доведіть, що існують дійсні числа bb і cc такі, що нерівності min⁡{sin⁡(x),sin⁡(a+x)}≤bsin⁡(x+c)≤max⁡{sin⁡(x),sin⁡(a+x)}\min \{\sin(x), \sin(a+x)\} \le b \sin(x+c) \le \max \{\sin(x), \sin(a+x)\} виконуються для всіх дійсних чисел xx, а рівності виконуються лише якщо sin⁡(x)=sin⁡(a+x)\sin(x) = \sin(a+x).
10–11 класиПеретворення тригонометричних вир…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-002

Функціональне рівняння зі степенем і зсувом

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що задовольняють рівняння f(x)nf(x+y)=f(x)n+1+xnf(y)f(x)^n f(x+y) = f(x)^{n+1} + x^n f(y) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-032

Цілі розв'язки лінійної системи

Доведіть, що жодні ненульові цілі числа aa, bb, xx, yy не задовольняють {ax−by=256ay+bx=1\begin{cases} ax - by = 256 \\ ay + bx = 1 \end{cases}
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-023

Підмножина без фіксованої різниці

Нехай tt — ненульове дійсне число, а nn — натуральне число. Нехай a1,a2,…,a2n−1a_1, a_2, \dots, a_{2n-1} — дійсні числа (не обов’язково різні). Доведіть, що існують індекси i1<i2<⋯<ini_1 < i_2 < \dots < i_n такі, що aik−ail≠ta_{i_k} - a_{i_{l}} \neq t для будь-яких 1≤k,l≤n1 \le k, l \le n.
10–11 класиДвочасткові графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-012

Відображення центра описаного кола і конкурентність

Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Нехай DD, EE і FF — образи точки OO при симетрії відносно прямих BCBC, CACA і ABAB відповідно. Доведіть, що прямі ADAD, BEBE і CFCF перетинаються в одній точці.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-013

Ізогональне спряження через симетрію відносно середини

Точка PP лежить усередині трикутника ABCABC, MM — середина сторони BCBC, а P′P' — точка, симетрична точці PP відносно MM. KK і HH — проєкції точки PP на прямі ABAB і ACAC відповідно, причому KM=HMKM = HM. Доведіть, що ∠PAB=∠CAP′\angle PAB = \angle CAP'.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-014

Вписаний чотирикутник із перетинів кіл

Нехай точки AA і BB лежать на колі ω\omega з центром OO. Припустимо, що OO не лежить на прямій ABAB. Нехай точка CC лежить на відрізку ABAB, а MM і NN — середини відрізків ACAC і CBCB відповідно. Описане коло трикутника AONAON перетинає ω\omega в точках AA і KK, а описане коло трикутника BOMBOM перетинає ω\omega в точках BB і LL. Крім того, описані кола трикутників AONAON і BOMBOM перетинаються між собою в точках OO і XX. Доведіть, що чотирикутник CKXLCKXL є вписаним.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-003

Нерівність для сум сторін трикутника

Нехай a,b,ca, b, c — дійсні числа, що є довжинами сторін трикутника. Доведіть, що 4(a+b)(a+c)(b+c)≥(a+b+c)3.4(a + b)(a + c)(b + c) \ge (a + b + c)^3.
10–11 класиЛінійні заміни (зведення до нуля,…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-033

Дільники системи сум квадратів

Різні натуральні числа aa, bb, cc, dd задовольняють {a∣b2+c2+d2b∣a2+c2+d2c∣a2+b2+d2d∣a2+b2+c2.\begin{cases} a|b^2 + c^2 + d^2 \\ b|a^2 + c^2 + d^2 \\ c|a^2 + b^2 + d^2 \\ d|a^2 + b^2 + c^2 \end{cases} . Відомо також, що жодне з них не більше за добуток трьох інших. Яка найбільша можлива кількість простих чисел серед них?
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-024

Рух фішки на шестикутній дошці

Анна, Еллі та Майло грають у гру на шестикутній дошці, викладеній шестикутниками, n>2n > 2 шестикутників на кожній стороні. Гра починається з фішки на клітинці в одному з кутів дошки. Еллі та Майло в одній команді, грають проти Анни, і вони виграють, якщо фішка потрапить у центр дошки. Анна, Еллі та Майло по черзі рухають фішку, починає Анна, потім Еллі, а потім Майло. Ходи відбуваються так: Анна має пересунути фішку в сусідній шестикутник у будь-якому напрямку. Еллі має пересунути фішку на два шестикутники в будь-якому з 6 можливих напрямків. Майло може пропустити хід або пересунути фішку на три шестикутники в будь-якому з 6 можливих напрямків. Знайдіть усі n>2n > 2, для яких Еллі та Майло мають виграшну стратегію. Рисунок 1: Дошка з 5 шестикутниками на кожній стороні.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-004

Кубічний корінь з добутку a² + bc для трикутника

Нехай a,b,ca, b, c — дійсні числа, які є довжинами сторін трикутника. Доведіть, що (a2+bc)(b2+ca)(c2+ab)3>a2+b2+c22.\sqrt[3]{(a^2 + bc)(b^2 + ca)(c^2 + ab)} > \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-025

Розфарбування ребер кругового орграфа

Орієнтований граф GG має 2021 вершину на колі, з кожної вершини графа GG виходить 101 орієнтоване ребро до наступних 101 вершини в напрямку проти годинникової стрілки. Ми хочемо розфарбувати ребра так, щоб для будь-яких двох вершин uu і vv можна було вибрати орієнтований шлях з uu до vv, у якому жодні два ребра не мають однакового кольору. Яка найменша кількість кольорів потрібна?
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-015

Циклічні точки з ортогональності дотичних

Нехай ω1\omega_1 і ω3\omega_3 — два кола, що дотикаються зовні у спільній точці PP. Нехай далі ω2\omega_2 і ω4\omega_4 — два кола, що дотикаються зовні в точці PP. Припустімо, що для i∈{1,2,3,4}i \in \{1, 2, 3, 4\} коло ωi\omega_i перетинає ω(i(mod4))+1\omega_{(i \pmod 4)+1} ще в точці AiA_i. Нехай ℓ1\ell_1 — спільна дотична до кіл ω1\omega_1 і ω3\omega_3, а ℓ2\ell_2 — спільна дотична до кіл ω2\omega_2 і ω4\omega_4. Доведіть, що A1,A2,A3A_1, A_2, A_3 і A4A_4 лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли прямі ℓ1\ell_1 і ℓ2\ell_2 перпендикулярні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-034

Цілочисельні розв'язки квадратного діофантового рівняння

Знайдіть усі трійки цілих чисел (a,b,c)(a, b, c), які задовольняють рівняння: 5a2+9b2=13c25a^2 + 9b^2 = 13c^2
10–11 класиМіркування за модулем
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-035

Многочлени з подільністю різниці на суму

Знайдіть усі многочлени PP з цілими коефіцієнтами такі, що число P(a)−P(b)P(a) - P(b) ділиться на a+ba + b для всіх цілих a,ba, b, за умови, що a+b≠0a + b \neq 0.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-005

Нерівність для сторін трикутника та площі

Дано трикутник з дійсними довжинами сторін aa, bb, cc та дійсною площею AA. Доведіть, що 3a2+3b2−c2≥43A.3a^2 + 3b^2 - c^2 \ge 4\sqrt{3}A.
10–11 класиПлоща трикутника
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-016

Основи перпендикулярів з A та точки K і L

Нехай II — інцентр трикутника ABCABC. Нехай FF і GG — основи перпендикулярів, проведених з AA до прямих BIBI і CICI відповідно. Промені AFAF і AGAG перетинають описані кола трикутників CFICFI і BGIBGI вдруге в точках KK і LL відповідно. Доведіть, що пряма AIAI ділить навпіл відрізок KLKL.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-036

Конгруенція з різницями 20 класів остач

AA — 20-елементна множина класів остач за модулем 397397. Доведіть, що для довільного невід’ємного цілого числа nn існують x1,x2,x3,x4∈Ax_1, x_2, x_3, x_4 \in A, такі, що x1≠x2x_1 \neq x_2 і (x1−x2)n≡x3−x4(mod397)(x_1 - x_2)n \equiv x_3 - x_4 \pmod{397}
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-026

Пошук фальшивої монети з ненадійним тестером

Під час одного тесту службовий собака нюхає купку монет і гавкає, якщо в ній є фальшива монета. Якщо собака хворий, то те, гавкає він чи ні, не залежить від наявності фальшивої монети: це відбувається випадково. Припустімо, що k≤2sk \le 2^s і що ми маємо 2k2^k монет, рівно одна з яких фальшива. Припустімо, що ми маємо надлишкову кількість службових собак, одна з яких хвора, але ми не знаємо, яка саме. Запропонуйте стратегію пошуку фальшивої монети, використовуючи не більше k+s+2k+s+2 тестів.
10–11 класиСистеми числення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.