Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 708 задач
Міжнародні олімпіади
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-002

Нерівність з сумами коренів з модулів сум і різниць

Доведіть, що нерівність ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣⩽∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i+x_j|} справджується для довільних дійсних x1,…,xnx_1, \ldots, x_n.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-003

Внутрішня точка трикутника та прямі BC, EF, O1O2

Точка DD — внутрішня точка гострокутного трикутника ABCABC, у якому AB>ACAB > AC і ∠DAB=∠CAD\angle DAB = \angle CAD. Точка EE на відрізку ACAC задовольняє умову ∠ADE=∠BCD\angle ADE = \angle BCD, точка FF на відрізку ABAB задовольняє умову ∠FDA=∠DBC\angle FDA = \angle DBC, точка XX на прямій ACAC задовольняє умову CX=BXCX = BX. Нехай точки O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників ADCADC і EXDEXD відповідно. Доведіть, що прямі BCBC, EFEF і O1O2O_1O_2 — конкурентні, тобто перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-004

Рівність сум сторін чотирикутників ADTX і CDYZ

Дано коло Γ\Gamma із центром у точці II. Опуклий чотирикутник ABCDABCD — описаний навколо кола Γ\Gamma. Коло ww — описане навколо трикутника AICAIC. Продовження відрізка BABA за точку AA перетинає коло ww у точці XX, продовження відрізка BCBC за точку CC перетинає коло ww у точці ZZ. Продовження відрізків ADAD і CDCD за точку DD перетинають коло ww у точках YY і TT відповідно. Доведіть, що AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.AD + DT + TX + XA = CD + DY + YZ + ZC.
10–11 класиДотична кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-005

Обміни горішків-сусідів у ямках навколо дерева

Івасик і Телесик зібрали на зиму 20212021 горішок. Івасик пронумерував горішки числами від 11 до 20212021 та вирив 20212021 ямку навколо їхнього улюбленого дерева. Наступного ранку він побачив, що Телесик поклав у кожну ямку по одному горішку, геть не турбуючись про порядок горішків. Івасик засмутився та вирішив упорядкувати горішки через таку послідовність з 20212021 дії: протягом kk-ї дії він міняє місцями горішки, що є сусідніми з горішком за номером kk. Доведіть, що знайдеться таке kk, коли впродовж kk-ї дії помінялися місцями горішки з номерами aa і bb, де a<k<ba < k < b.
10–11 класиПарність і непарність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-006

Підмножини множини цілих чисел із сумами mᵏ

Дано ціле число m⩾2m \geqslant 2. У скінченній множині AA, що складається із цілих, не обов’язково додатних чисел, знайшлися такі підмножини B1,B2,B3,…,BmB_1, B_2, B_3, \ldots, B_m, що для кожного k=1,m‾k = \overline{1, m} сума елементів множини BkB_k дорівнює mkm^k. Доведіть, що множина AA містить принаймні 12m\frac{1}{2}m елементів.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-006

Перетин прямих у паралелограмі

Нехай ABCDA B C D — паралелограм такий, що AC=BCA C = B C. Точку PP вибрано на продовженні відрізка ABA B за точку BB. Описане коло трикутника ACDA C D перетинає відрізок PDP D знову в точці QQ, а описане коло трикутника APQA P Q перетинає відрізок PCP C знову в точці RR. Доведіть, що прямі CDC D, AQA Q і BRB R перетинаються в одній точці.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-011

Трійки з різними значеннями НСД

Нехай SS — нескінченна множина натуральних чисел така, що існують чотири попарно різні a,b,c,d∈Sa, b, c, d \in S, для яких НСД(a,b)≠НСД(c,d)\text{НСД}(a, b) \neq \text{НСД}(c, d). Доведіть, що існують три попарно різні x,y,z∈Sx, y, z \in S такі, що НСД(x,y)=НСД(y,z)≠НСД(z,x)\text{НСД}(x, y)=\text{НСД}(y, z) \neq \text{НСД}(z, x).
10–11 класиПринцип Діріхле (інші випадки)
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-001

Сума елементів таблиці з цілими частинами

Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 розглянемо таблицю n×nn \times n з елементом ⌊ijn+1⌋\left\lfloor\frac{ij}{n+1}\right\rfloor на перетині рядка ii і стовпця jj, для всіх i=1,…,ni=1, \ldots, n і j=1,…,nj=1, \ldots, n. Визначте всі цілі n⩾1n \geqslant 1, для яких сума всіх n2n^{2} елементів таблиці дорівнює 14n2(n−1)\frac{1}{4} n^{2}(n-1).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-012

Барвисте розфарбування кола з послідовними умовами

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — ціле число. Ціле число m⩾n+1m \geqslant n+1 називається nn-барвистим, якщо, маючи нескінченно багато кульок кожного з nn кольорів C1,C2,…,CnC_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}, можна розмістити mm з них по колу так, що в будь-якій групі з n+1n+1 послідовних кульок є принаймні одна кулька кольору CiC_{i} для кожного i=1,…,ni=1, \ldots, n. Доведіть, що існує лише скінченно багато додатних цілих чисел, які не є nn-барвистими. Знайдіть найбільше серед них.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-007

Найбільша сума площ чотирикутників на решітці

Версія 1. Нехай nn — фіксоване натуральне число, а SS — множина точок (x,y)(x, y) на декартовій площині, таких, що обидві координати xx і yy є невід’ємними цілими числами, меншими за 2n2n (отже, ∣S∣=4n2|S| = 4n^2). Припустимо, що F\mathcal{F} — множина, яка складається з n2n^2 чотирикутників, таких, що всі їхні вершини лежать у множині SS, а кожна точка множини SS є вершиною рівно одного з чотирикутників множини F\mathcal{F}. Визначте найбільшу можливу суму площ усіх n2n^2 чотирикутників множини F\mathcal{F}. Версія 2. Нехай nn — фіксоване натуральне число, а SS — множина точок (x,y)(x, y) на декартовій площині, таких, що обидві координати xx і yy є невід’ємними цілими числами, меншими за 2n2n (отже, ∣S∣=4n2|S| = 4n^2). Припустимо, що F\mathcal{F} — множина многокутників, таких, що всі вершини многокутників множини F\mathcal{F} лежать у множині SS, а кожна точка множини SS є вершиною рівно одного з многокутників множини F\mathcal{F}. Визначте найбільшу можливу суму площ усіх многокутників множини F\mathcal{F}.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-013

Кругові обміни наперстків з нерівностями

У фокусника є 2021 наперсток з номерами від 1 до 2021. Наперстки розставлено по колу в довільному порядку. Фокусник виконує послідовність із 2021 ходів; на k-муk^{\text{-му}} ході він міняє місцями два наперстки, сусідні з наперстком kk. Доведіть, що існує таке значення kk, що на k-муk^{\text{-му}} ході фокусник міняє місцями деякі наперстки aa і bb такі, що a<k<ba < k < b.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-005

Сума цілих частин за перестановкою

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть найменше значення ⌊a11⌋+⌊a22⌋+⋯+⌊ann⌋\left\lfloor\frac{a_{1}}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a_{2}}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{a_{n}}{n}\right\rfloor за всіма перестановками (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) чисел (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-018

Рухи намистин з раціональним масштабуванням

Алісі дано раціональне число r>1r>1 і пряму з двома точками B≠RB \neq R, причому в точці RR міститься червона намистина, а в точці BB — синя намистина. Аліса грає сама, виконуючи послідовність ходів. У кожному ході вона вибирає ціле число kk (не обов'язково додатне) і намистину, яку рухатиме. Якщо ця намистина стоїть у точці XX, а інша намистина — у точці YY, то Аліса переміщує вибрану намистину в точку X′X^{\prime}, для якої YX′→=rkYX→\overrightarrow{Y X^{\prime}}=r^{k} \overrightarrow{Y X}. Мета Аліси — перемістити червону намистину в точку BB. Знайдіть усі раціональні числа r>1r>1, для яких Аліса може досягти своєї мети не більше ніж за 2021 хід.
10–11 класиМіркування за модулем
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-014

Різноманітні шляхи в турнірному графі

Королівство Анізотропія складається з nn міст. Для кожних двох міст існує рівно одна пряма дорога з одностороннім рухом між ними. Кажуть, що шлях з XX до YY — це послідовність доріг, якою можна дістатися з XX до YY без повернення до вже відвіданого міста. Набір шляхів називається різноманітним, якщо жодна дорога не належить двом чи більше шляхам цього набору. Нехай AA і BB — два різні міста в Анізотропії. Нехай NABN_{A B} позначає максимальну кількість шляхів у різноманітному наборі шляхів з AA до BB. Аналогічно, нехай NBAN_{B A} позначає максимальну кількість шляхів у різноманітному наборі шляхів з BB до AA. Доведіть, що рівність NAB=NBAN_{A B}=N_{B A} виконується тоді й лише тоді, коли кількість доріг, що виходять з AA, збігається з кількістю доріг, що виходять з BB.
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-008

Вписаний чотирикутник з дотичними колами

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, усі сторони якого попарно різні. Нехай OO — центр описаного кола чотирикутника ABCDABCD. Внутрішні бісектриси кутів ∠ABC\angle ABC і ∠ADC\angle ADC перетинають ACAC у точках B1B_{1} і D1D_{1} відповідно. Нехай OBO_{B} — центр кола, яке проходить через BB і дотикається до прямої ACAC у точці D1D_{1}. Аналогічно, нехай ODO_{D} — центр кола, яке проходить через DD і дотикається до прямої ACAC у точці B1B_{1}. Припустимо, що BD1∥DB1B D_{1} \parallel D B_{1}. Доведіть, що OO лежить на прямій OBODO_{B} O_{D}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-002

Нерівність для суми нормованих дійсних чисел

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число, а a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — додатні дійсні числа такі, що a1+a2+⋯+an=1a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=1. Доведіть, що ∑k=1nak1−ak(a1+a2+⋯+ak−1)2<13.\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}}{1-a_{k}}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k-1}\right)^{2}<\frac{1}{3} .
10–11 класиСуми послідовностей3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-019

Подільність зваженої суми для перестановок

Знайдіть усі цілі числа n⩾2n \geqslant 2 з такою властивістю: будь-які nn попарно різних цілих чисел, сума яких не ділиться на nn, можна розташувати в деякому порядку a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} так, щоб nn ділило 1⋅a1+2⋅a2+⋯+n⋅an1 \cdot a_{1}+2 \cdot a_{2}+\cdots+n \cdot a_{n}.
10–11 класиРозв’язування конгруенцій ax ≡ b…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-009

Рівносторонні трикутники в многокутниках зі стороною 1

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3, які мають таку властивість: кожен опуклий nn-кутник, усі сторони якого мають довжину 11, містить рівносторонній трикутник зі стороною 11. (Вважається, що кожен многокутник містить свою межу.)
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-015

Кролик на розфарбованій нескінченній сітці

Мисливець і невидимий кролик грають у гру на нескінченній клітинній дошці. Спочатку мисливець фіксує розфарбування клітин у скінченну кількість кольорів. Потім кролик таємно обирає клітину, з якої стартує. Щохвилини кролик повідомляє мисливцеві колір клітини, в якій він перебуває, а потім таємно переміщується в сусідню клітину, в якій він ще не був (дві клітини сусідні, якщо мають спільну сторону). Мисливець виграє, якщо через деякий скінченний час або - кролик не може ходити; або - мисливець може визначити клітину, з якої кролик стартував. Визначте, чи існує виграшна стратегія для мисливця.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-003

Нерівність для послідовності з квадратичною умовою

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — ціле число, а x0,x1,…,xn+1x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n+1} — n+2n+2 невід'ємних дійсних чисел, які задовольняють xixi+1−xi−12⩾1x_{i} x_{i+1}-x_{i-1}^{2} \geqslant 1 для всіх i=1,2,…,ni=1,2, \ldots, n. Доведіть, що x0+x1+⋯+xn+xn+1>(2n3)3/2x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{n}+x_{n+1}>\left(\frac{2 n}{3}\right)^{3 / 2}
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-020

Періодичність послідовності з умовою подільності

Нехай a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел така, що an+2ma_{n+2m} ділить an+an+ma_{n} + a_{n+m} для всіх натуральних чисел nn і mm. Доведіть, що ця послідовність зрештою періодична, тобто існують натуральні числа NN і dd такі, що an=an+da_{n} = a_{n+d} для всіх n>Nn > N.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-016

Мінімальні блокувальні множини на дошці

Розглянемо клітчастий квадрат 3m×3m3m \times 3m, де mm — ціле число, більше за 11. Жабка сидить у лівій нижній кутовій клітинці SS і хоче дістатися до правої верхньої кутової клітинки FF. Жабка може стрибати з будь-якої клітинки або в наступну клітинку праворуч, або в наступну клітинку вгору. Деякі клітинки можуть бути липкими, і жабка потрапляє в пастку, щойно стрибає на таку клітинку. Множину XX клітинок називають блокувальною, якщо жабка не може дістатися з SS до FF, коли всі клітинки з XX липкі. Блокувальну множину називають мінімальною, якщо вона не містить меншої блокувальної множини. a. Доведіть, що існує мінімальна блокувальна множина, яка містить принаймні 3m2−3m3m^{2} - 3m клітинок. b. Доведіть, що кожна мінімальна блокувальна множина містить не більше ніж 3m23m^{2} клітинок. Зауваження. Приклад мінімальної блокувальної множини для m=2m=2 наведено нижче. Клітинки множини XX позначено літерами xx. | | | | | | FF | |:--- |:--- |:--- |:--- |:--- |:--- | | xx | xx | | | | | | | | xx | | | | | | | | xx | | | | | | | | xx | | | SS | | xx | | | |
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-017

Перестановки з попарним розділенням у стовпцях

Визначте найбільше NN, для якого існує таблиця TT цілих чисел з NN рядками та 100 стовпцями, що має такі властивості: (i) Кожен рядок містить числа 1,2,…,1001,2, \ldots, 100 у деякому порядку. (ii) Для будь-яких двох різних рядків rr і ss існує стовпець cc такий, що ∣T(r,c)−T(s,c)∣⩾2|T(r, c)-T(s, c)| \geqslant 2. Тут T(r,c)T(r, c) означає число на перетині рядка rr та стовпця cc.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-004

Циклічне функціональне рівняння на дійсних числах

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, які задовольняють (f(a)−f(b))(f(b)−f(c))(f(c)−f(a))=f(ab2+bc2+ca2)−f(a2b+b2c+c2a)(f(a)-f(b))(f(b)-f(c))(f(c)-f(a))=f\left(a b^{2}+b c^{2}+c a^{2}\right)-f\left(a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a\right) для всіх дійсних чисел a,b,ca, b, c.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-010

Перпендикуляр з перетину дотичних

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCA B C, а ΩA\Omega_{A} — його зовнівписане коло, яке дотикається до відрізка BCB C. Нехай XX і YY — точки перетину кіл ω\omega і ΩA\Omega_{A}. Нехай PP і QQ — проєкції AA на дотичні до кола ΩA\Omega_{A} у точках XX і YY відповідно. Дотична в точці PP до описаного кола трикутника APXA P X перетинає дотичну в точці QQ до описаного кола трикутника AQYA Q Y у точці RR. Доведіть, що AR⊥BCA R \perp B C.
10–11 класиПроєктивна геометрія2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.