Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 708 задач
Міжнародні олімпіади
Європейський математичний кубокEMC-2020-005

Паралелограм, коло і перетин прямих AT та BO

Нехай ABCDABCD — паралелограм, у якому AB>BCAB > BC. Позначимо літерою OO точку на прямій CDCD, для якої OB=ODOB = OD. Нехай дано коло ww із центром у точці OO та радіусом OCOC. Нехай TT — це друга точка перетину кола ww та прямої CDCD. Доведіть, що точка перетину прямих ATAT і BOBO лежить на колі ww.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Європейський математичний кубокEMC-2020-006

Пари n і k з різними k-мутаціями перестановок

Нехай nn та kk — натуральні числа. Кортеж (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) називають перестановкою, якщо кожне число з множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} трапляється в ньому рівно один раз. Для перестановки (p1,p2,…,pn)(p_1, p_2, \ldots, p_n) назвемо kk-мутацією такий кортеж (p1+p1+k,p2+p2+k,…,pn+pn+k),(p_1 + p_{1+k}, p_2 + p_{2+k}, \ldots, p_n + p_{n+k}), де індекси пораховано за модулем nn. Знайдіть усі такі пари чисел (n,k)(n, k), для яких кожні дві різні перестановки мають різні kk-мутації. Примітка. Наприклад, якщо (n,k)=(4,2)(n, k) = (4, 2), то 22-мутацією перестановки (1,2,4,3)(1, 2, 4, 3) є кортеж (1+4,2+3,4+1,3+2)=(5,5,5,5)(1 + 4, 2 + 3, 4 + 1, 3 + 2) = (5, 5, 5, 5).
10–11 класиПарність і непарність
Європейський математичний кубокEMC-2020-007

Гра з додаванням і множенням до кратності простому числу

Нехай pp — просте число. Трой та Абед грають у таку гру. Трой записує натуральне число XX на дошці та задає для Абеда послідовність натуральних чисел (an)(a_n). Після цього Абед робить послідовність ходів, nn-й хід є таким: записане на дошці число YY замінив на число Y+anY + a_n або на число Y⋅anY \cdot a_n. Абед перемагає, якщо в певний момент число, що записане на дошці, кратне pp. Визначте, чи може Абед виграти незалежно від вибору Троя, якщо: а) p=109+7p = 10^9 + 7; б) p=109+9p = 10^9 + 9. Примітка. Обидва числа p=109+7p = 10^9 + 7 та p=109+9p = 10^9 + 9 є простими.
10–11 класиРозв’язування конгруенцій ax ≡ b…
Європейський математичний кубокEMC-2020-008

Рівняння з f(x + y) і f(x f(y) + 1)

Позначимо множину як R+=(0,+∞)\mathbb{R}^+ = (0, +\infty). Знайдіть усі функції f:R+→R+f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ такі, що для довільних x,y∈R+x, y \in \mathbb{R}^+ справджується рівність xf(x+y)+f(xf(y)+1)=f(xf(x)).xf(x + y) + f(xf(y) + 1) = f(xf(x)).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-001

Дільник числа 2n² та вираз d²n² + d³

Задано натуральне число nn. Доведіть, що не існує натурального дільника dd числа 2n22n^2 такого, що вираз d2n2+d3d^2n^2 + d^3 є точним квадратом цілого числа.
7–10 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-002

Нерівність із сумою дробів від a, b, c

Нехай aa, bb, cc — додатні числа. Доведіть, що справджується нерівність 1ab(b+1)(c+1)+1bc(c+1)(a+1)+1ca(a+1)(b+1)⩾3(1+abc)2.\frac{1}{ab(b+1)(c+1)}+\frac{1}{bc(c+1)(a+1)}+\frac{1}{ca(a+1)(b+1)} \geqslant \frac{3}{(1+abc)^2}.
7–10 класиНерівність Коші
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-003

k чорних клітинок без дотиків у рядках і стовпцях

Нехай kk, n>1n > 1, k<nk < n — натуральні числа. Задано дошку розміром n×nn \times n, що складається з одиничних квадратиків. Андрій і Дарина вчиняють у такий спосіб: на кожному кроці деякий одиничний квадратик дошки зафарбовують чорним кольором так, що чорні квадратики не мають спільних сторін і спільних вершин. При якому найменшому натуральному nn вони зможуть отримати конфігурацію, коли в кожному рядку та кожному стовпці містяться рівно kk чорних клітинок? Намалюйте хоча б один приклад такого розфарбування.
7–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-004

Трикутник з кутом 60° та кола BOC і ADE

Нехай дано трикутник ABCABC, у якому ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Нехай точки DD і EE — основи перпендикулярів, проведених з точки AA до бісектрис зовнішніх кутів BB і CC у трикутнику ABCABC відповідно. Позначимо літерою OO центр описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що описане коло трикутника BOCBOC має рівно одну спільну точку з описаним колом трикутника ADEADE.
7–10 класиКола, що дотикаються
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-005

Функції з рівнянням f(f(x)+y) і x²+y

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що для довільних дійсних xx, yy справджується рівність f(f(x)+y)+1=f(x2+y)+2f(x)+2y.f(f(x)+y)+1=f(x^2+y)+2f(x)+2y.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-006

Числа від 1 до 15 і сумарне значення виразів

На аркуші паперу записано числа 1,2,3,…,14,151, 2, 3, \ldots, 14, 15. Андрій і Дарина виконують такі дії: Андрій вибирає на аркуші два довільних числа, наприклад xx і yy, витирає їх і записує суму x+yx + y на цьому аркуші. Водночас Дарина записує значення виразу xy(x+y)xy(x + y) у свій зошит. Вони виконують ці операції, доки на аркуші не залишиться єдине число. Тоді Дарина додає всі числа, що були записані в її зошиті. Позначимо їх суму через kk. а) Доведіть, що значення kk не залежить від порядку виконання операцій. б) Знайдіть значення kk.
10–11 класиІнші інваріанти
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-007

Натуральні n, всі менші взаємно прості з якими прості

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що всі натуральні mm, 1<m<n1 < m < n, що є взаємно простими з nn, є простими числами.
10–11 класиПостулат Бертрана
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-001

Бісектриси кутів ADP, PCB і серединний перпендикуляр до AB

Усередині опуклого чотирикутника ABCDABCD знайшлася точка PP така, що справджуються рівності ∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC. Доведіть, що в одній точці перетинаються три такі прямі: внутрішні бісектриси кутів ADPADP і PCBPCB та серединний перпендикуляр до відрізка ABAB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-002

Нерівність для впорядкованих чисел із сумою 1

Дано дійсні числа aa, bb, cc, dd такі, що a⩾b⩾c⩾d>0a \geqslant b \geqslant c \geqslant d > 0 та a+b+c+d=1a + b + c + d = 1. Доведіть, що (a+2b+3c+4d) aabbccdd<1.(a+2b+3c+4d)\,a^a b^b c^c d^d < 1.
10–11 класиНерівність Коші
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-003

Дві рівні купки камінців 1…4n за кольорами

Маємо 4n4n камінців масою 1,2,3,…,4n1, 2, 3, \ldots, 4n. Кожний камінець пофарбовано в один з nn кольорів, при цьому маємо по 44 камінці кожного кольору. Доведіть, що камінці можна розділити на дві купки рівної сумарної маси так, щоб у кожній купці було по 22 камінці кожного кольору.
10–11 класиШляхи на графах
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-004

Дві компанії на схилі зі спільним сполученням станцій

Дано число n>1n > 1. На попарно різних висотах гірського схилу розташовано n2n^2 станцій фунікулеру. Кожна з двох компаній AA та BB володіє kk підйомниками. Кожний підйомник виконує регулярний трансфер (без пересадок) з однієї станції на іншу, розташовану вище. kk трансферів компанії AA починаються на kk різних станціях; закінчуються вони також на kk різних станціях; при цьому трансфер, який починається вище, закінчується також вище. Ті самі умови виконано й для компанії BB. Казатимемо, що дві станції сполучені компанією, якщо можна дістатися з нижньої станції на верхню, використовуючи один чи декілька трансферів цієї компанії (інші пересування між станціями заборонено). Знайдіть найменше kk, при якому гарантовано знайдуться дві станції, що сполучені обома компаніями.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-005

При яких n середні на картках дають рівні числа

Маємо n>1n > 1 карток, на кожній з яких записано натуральне число. Виявилося, що для довільних двох карток середнє арифметичне записаних на них чисел дорівнює середньому геометричному чисел, записаних на картках деякого набору, що складається з однієї або більше карток. При яких nn із цього випливає, що всі числа, записані на картках, рівні?
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-006

Розділяюча пряма, віддалена від точок множини

Доведіть, що існує константа cc, для якої справджується таке твердження. Нехай SS — множина з n>1n > 1 точок площини, у якій відстані між довільними двома точками не менші за 11. Тоді існує пряма ll, яка розділяє множину SS точок таким чином, що відстань від довільної точки множини SS до прямої ll не менша ніж cn−13cn^{-\frac{1}{3}}. Пряма ll розділяє множину SS, якщо вона перетинає деякій відрізок, кінці якого належать множині SS. Примітка. Більш слабкі результати із заміною cn−13cn^{-\frac{1}{3}} на cn−αcn^{-\alpha} можна оцінювати залежно від значень константи α>13\alpha > \frac{1}{3}.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-005

Перестановки зі зваженими нерівностями

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть кількість перестановок a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} послідовності 1,2,…,n1,2, \ldots, n, що задовольняють a1⩽2a2⩽3a3⩽…⩽nana_{1} \leqslant 2 a_{2} \leqslant 3 a_{3} \leqslant \ldots \leqslant n a_{n}
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-001

Оптимальна стала в нерівності з коренем

Варіант 1. Нехай nn — натуральне число, і покладемо N=2nN=2^{n}. Знайдіть найменше дійсне число ana_{n} таке, що для всіх дійсних xx, x2N+12N⩽an(x−1)2+x.\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant a_{n}(x-1)^{2}+x . Варіант 2. Для кожного натурального числа NN знайдіть найменше дійсне число bNb_{N} таке, що для всіх дійсних xx, x2N+12N⩽bN(x−1)2+x\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant b_{N}(x-1)^{2}+x
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-002

Одночлени в симетричному ідеалі

Нехай A\mathcal{A} позначає множину всіх многочленів від трьох змінних x,y,zx, y, z з цілими коефіцієнтами. Нехай B\mathcal{B} позначає підмножину A\mathcal{A}, утворену всіма многочленами, які можна подати у вигляді (x+y+z)P(x,y,z)+(xy+yz+zx)Q(x,y,z)+xyzR(x,y,z)(x+y+z) P(x, y, z)+(x y+y z+z x) Q(x, y, z)+x y z R(x, y, z) для деяких P,Q,R∈AP, Q, R \in \mathcal{A}. Знайдіть найменше невід'ємне ціле число nn таке, що xiyjzk∈Bx^{i} y^{j} z^{k} \in \mathcal{B} для всіх невід'ємних цілих чисел i,j,ki, j, k, які задовольняють i+j+k⩾ni+j+k \geqslant n.
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-006

Неперетинні чотирикутники з вершинами різного кольору

У правильному 100-кутнику 41 вершину пофарбовано в чорний колір, а решту 59 вершин пофарбовано в білий колір. Доведіть, що існують 24 опуклі чотирикутники Q1,…,Q24Q_{1}, \ldots, Q_{24}, вершини яких є вершинами 100-кутника, такі, що - чотирикутники Q1,…,Q24Q_{1}, \ldots, Q_{24} попарно не перетинаються, і - кожен чотирикутник QiQ_{i} має три вершини одного кольору й одну вершину іншого кольору.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-003

Відновлення многочлена за впорядкованими значеннями

Фокусниця збирається показати такий фокус. Вона оголошує глядачам натуральне число nn разом із 2n2n дійсними числами x1<…<x2nx_{1} < \ldots < x_{2n}. Далі один із глядачів таємно вибирає многочлен P(x)P(x) степеня nn із дійсними коефіцієнтами, обчислює 2n2n значень P(x1),…,P(x2n)P(x_{1}), \ldots, P(x_{2n}) і записує ці 2n2n значень на дошці в неспадному порядку. Після цього фокусниця оголошує глядачам таємний многочлен. Чи може фокусниця знайти стратегію, щоб виконати такий фокус?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-004

Сума з обмеженою послідовністю та квадратними коренями

Нехай nn і kk — натуральні числа. Доведіть, що для a1,…,an∈[1,2k]a_{1}, \ldots, a_{n} \in [1,2^{k}] виконується ∑i=1naia12+…+ai2⩽4kn\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{\sqrt{a_{1}^{2}+\ldots+a_{i}^{2}}} \leqslant 4 \sqrt{k n}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-007

Мінімальні сідлові пари в матриці

Розглянемо довільну прямокутну таблицю зі скінченною кількістю рядків і стовпців, у клітинці в рядку rr і стовпці cc стоїть дійсне число a(r,c)a(r, c). Пару (R,CR, C), де RR — множина рядків, а CC — множина стовпців, називають сідловою парою, якщо виконуються такі дві умови: (i) Для кожного рядка r′r' існує r∈Rr \in R такий, що a(r,c)⩾a(r′,c)a(r, c) \geqslant a(r', c) для всіх c∈Cc \in C; (ii) Для кожного стовпця c′c' існує c∈Cc \in C такий, що a(r,c)⩽a(r,c′)a(r, c) \leqslant a(r, c') для всіх r∈Rr \in R. Сідлову пару (R,CR, C) називають мінімальною парою, якщо для кожної сідлової пари (R′,C′R', C'), для якої R′⊆RR' \subseteq R і C′⊆CC' \subseteq C, маємо R′=RR' = R і C′=CC' = C. Доведіть, що будь-які дві мінімальні пари містять однакову кількість рядків.
10–11 класиБієкції
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2020-001

Числа 2^a 3^b + 1 та 2^c + 3^d

Натуральне число nn таке, що ні при яких натуральних aa, bb число 2a3b+12^a 3^b + 1 не ділиться на nn. Доведіть, що число 2c+3d2^c + 3^d не ділиться на nn ні при яких натуральних cc, dd.
10–11 класиТеорема Ейлера

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.