Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 708 задач
Міжнародні олімпіади
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-022

Ворожі многокутники та опуклість

Нехай n≥4n \ge 4, і розглянемо nn-кутник P1P2...PnP_1P_2...P_n без самоперетинів на площині. Припустимо, що для кожної вершини PkP_k існує єдина інша вершина QkQ_k серед P1,...,PnP_1, ..., P_n, найближча до неї. Многокутник називається ворожим, якщо Qk≠Pk±1Q_k \ne P_{k \pm 1} для всіх kk (індекси вважаються циклічними). a. Доведіть, що не існує опуклих ворожих многокутників. b. Знайдіть усі nn, для яких існує вгнутий ворожий nn-кутник.
10–11 класиНерівність трикутника
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-033

Гра зі з'єднанням вершин сніжинок

Дві жінки, Інґер та Еллен, грають у таку гру. На великому аркуші паперу є 20192019 шестипроменевих сніжинок ∗*, розміщених у загальному положенні (і таких, що не дотикаються). Кожен із шести променів сніжинки має крайній кінець, що називається вершиною. Хід полягає в проведенні кривої, що з'єднує дві вершини, які можуть належати одній і тій самій сніжинці. Крива не може перетинати сама себе і не може дотикатися до жодної з раніше проведених кривих. Також вона не може дотикатися до жодної зі сніжинок (крім двох вершин, які є її кінцями). Кожну вершину можна використати лише один раз. Інґер робить перший хід, а далі гравці ходять по черзі. Гравець, який першим не може зробити хід, програв гру. Який гравець має виграшну стратегію?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-034

Незростаючі функції з нерухомими точками

Для натурального числа nn розглянемо всі незростаючі функції f:{1,…,n}→{1,…,n}f: \{1, \dots, n\} \to \{1, \dots, n\}. Деякі з них мають нерухому точку (c=f(c)c = f(c)), а деякі — ні. Яких більше? Знайдіть різницю між кількостями функцій цих двох видів.
10–11 класиБієкції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-011

Ітеративна заміна в послідовності добутків

Нехай m≥2m \ge 2 — натуральне число. Розглянемо 2m2m чисел 1⋅2,2⋅3,3⋅4,…,2m(2m+1).1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \dots, 2m(2m + 1). Хід полягає у виборі трьох чисел a,b,ca, b, c і заміні їх одним числом abcab+bc+ca.\frac{abc}{ab + bc + ca}. Після m−1m-1 таких ходів залишаться лише два числа. Припустивши, що одне з них дорівнює 43\frac{4}{3}, доведіть, що інше перевищує 4.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-035

Відокремлення точок кругами

На площині задано декілька точок. Дитина хоче намалювати kk (замкнених) кругів так, щоб для будь-яких двох точок A,BA, B (A≠BA \neq B) існував круг, який містить лише одну з цих точок. Яке найменше kk, таке, що для будь-якої початкової конфігурації з 2019 точок можна намалювати kk кругів із зазначеною властивістю?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-001

Трійки дійсних чисел з рівностями на добутки

Знайдіть усі трійки дійсних чисел (a,b,c)(a, b, c), що задовольняють умови: ab+bc+ca=1 та a2b+c=b2c+a=c2a+b.ab + bc + ca = 1 \text{ та } a^2b + c = b^2c + a = c^2a + b.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-002

Найбільша кількість доміно на дошці 2n × 2n

Дано натуральне число nn. На дошці розміром 2n×2n2n \times 2n розташовано декілька фігурок доміно таким чином, що кожна клітинка дошки є сусідньою рівно до однієї клітинки, що покрита фігуркою доміно. Для кожного nn знайдіть найбільшу кількість фігурок доміно, які можна так розташувати. Примітка. Фігуркою доміно вважаємо прямокутники розміром 2×12 \times 1 або 1×21 \times 2. Кожну фігурку доміно розміщуємо таким чином, щоб вона покривала рівно дві одиничні клітинки дошки, а жодні дві з них не накладались одна на одну. Дві клітинки назвемо сусідніми, якщо вони різні та мають спільну сторону.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-003

Бісектриси кутів DAB та CXB і пряма BC

Нехай трикутник ABCABC з інцентром у точці II такий, що ∠CAB>∠ABC\angle CAB > \angle ABC. Нехай точка DD на відрізку BCBC така, що ∠CAD=∠ABC\angle CAD = \angle ABC. Нехай коло ww дотикається до сторони ACAC у точці AA та проходить через інцентр II. Нехай точка XX є другою точкою перетину кола ww та описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що бісектриси кутів DABDAB та CXBCXB перетинаються в точці, що належить прямій BCBC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-004

Пряма через точки на сторонах і вписане коло трикутника

Нехай трикутник ABCABC має інцентр у точці II. Коло, що проходить через точку BB та дотикається до прямої AIAI в точці II, перетинає сторону ABAB удруге в точці PP. Коло, що проходить через точку CC та дотикається до прямої AIAI в точці II, перетинає сторону ACAC удруге в точці QQ. Доведіть, що пряма PQPQ є дотичною до вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиДотична кола
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-005

Наступники чисел з різними остачами та малою сумою

Нехай n⩾2n \geqslant 2 є цілим числом та нехай a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n є натуральними числами. Доведіть, що існують натуральні числа b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n, що задовольняють такі три умови: а) ai⩽bia_i \leqslant b_i, i=1,n‾i = \overline{1, n}; б) остачі від ділення чисел b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n на число nn є попарно різними; в) b1+b2+…+bn⩽n(n−12+[a1+a2+…+ann])b_1 + b_2 + \ldots + b_n \leqslant n\left(\dfrac{n-1}{2} + \left[\dfrac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\right]\right). Примітка. Через [x][x] позначено цілу частину числа xx, тобто найбільше ціле число, що не перевищує xx.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-006

2019 хорд у колі з числами 0 і 1

У колі Аліна провела 20192019 хорд з попарно різними кінцями. Назвемо точку особливою, якщо для неї виконується одна з умов: - а) вона є однією із 40384038 кінців проведених хорд; - б) вона є точкою перетину щонайменше двох хорд. Поряд з кожною особливою точкою з тих 40384038 точок, що задовольняють умову а), Аліна записує таке число: поряд з якимись 20192019 точками — число 00, поряд з іншими 20192019 точками — число 11. Поряд з точками, що задовольняють умову б), вона записує довільне ціле число (не обов'язково додатне). На кожній хорді Аліна розглядає відрізки, що сполучають дві сусідні особливі точки. Хорда з kk особливими точками має (k−1)(k-1) такий відрізок. Для кожного такого відрізка вона записує жовтим кольором суму чисел, записаних на кінцях цього відрізка, а синім кольором — модуль їхньої різниці. Аліна помітила, що N+1N+1 пораховане жовте число — це точно числа 0,1,…,N0, 1, \ldots, N. Доведіть, що хоча б одне записане синім кольором число ділиться на 33.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-001

Функціональне рівняння f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b))

Нехай ZZ — множина всіх цілих чисел. Знайдіть усі функції f:Z→Zf : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} такі, що для будь-яких цілих чисел aa і bb справджується рівність f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b)).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-002

Точки на чевіанах трикутника на одному колі

У трикутнику ABCABC точка A1A_1 лежить на відрізку BCBC, а точка B1B_1 — на відрізку ACAC. Нехай точки PP і QQ вибрано на відрізках AA1AA_1 та BB1BB_1 відповідно так, що пряма PQ∥ABPQ \parallel AB. Точку P1P_1 вибрано на прямій PB1PB_1 так, що точка B1B_1 розміщується строго між точками PP і P1P_1, при цьому ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C = \angle BAC. Аналогічно точку Q1Q_1 вибрано на прямій QA1QA_1 так, що точка A1A_1 розміщується строго між точками QQ і Q1Q_1, при цьому ∠QQ1C=∠CBA\angle QQ_1C = \angle CBA. Доведіть, що точки PP, QQ, P1P_1 і Q1Q_1 належать одному колу.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-003

Соціальна мережа з 2019 користувачів і зміни дружби

У соціальній мережі є 20192019 користувачів. Деякі користувачі товаришують з деякими іншими, при цьому якщо користувач AA є другом користувача BB, то BB також є другом AA. Зміни наступного типу здійснюються послідовно, по одній зміні за раз: обирають трьох користувачів AA, BB та CC таких, що AA є другом BB та CC, але BB і CC не є друзями; після цього BB та CC стають друзями, але AA перестає бути другом BB і CC. У всіх інших парах відношення не змінюються. Спочатку 10101010 користувачів мають по 10091009 друзів кожен, а 10091009 користувачів мають по 10101010 друзів кожен. Доведіть, що існує послідовність змін, після яких кожен користувач матиме не більш як одного друга.
10–11 класиЗв’язність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-004

Факторіал, що дорівнює добутку різниць степенів двійки

Знайдіть усі пари натуральних чисел (k,n)(k, n) таких, що k!=(2n−1)(2n−2)(2n−4)…(2n−2n−1).k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\ldots(2^n-2^{n-1}).
10–11 класиФормула Лежандра
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-005

Перевертання k-ї монети в ряді та середня тривалість процесу

Банк міста Бат карбує монети з літерою HH на одному боці та літерою TT на другому боці. Гаррі виклав nn таких монет у ряд зліва направо. Він послідовно виконує таку операцію: якщо в ряду рівно k>0k > 0 монет лежать догори літерою HH, то він перевертає kk-ту зліва монету; інакше всі монети лежать догори літерою TT, і він зупиняється. Наприклад, якщо n=3n = 3 і процес перегортання монет починається з конфігурації THTTHT, то послідовність операцій матиме такий вигляд: THT→HHT→HTT→TTTTHT \to HHT \to HTT \to TTT, тобто процес припиниться після трьох операцій. а) Доведіть, що для будь-якої початкової конфігурації процес припиниться після скінченної кількості операцій. б) Для кожної початкової конфігурації CC позначимо за L(C)L(C) кількість операцій, після яких процес припиниться, наприклад L(THT)=3L(THT) = 3 та L(TTT)=0L(TTT) = 0. Знайдіть середнє арифметичне значень L(C)L(C), якщо CC пробігає всі 2n2^n можливих початкових конфігурацій.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-006

Перетин прямих DI і PQ на перпендикулярі до AI

Нехай точка II — центр вписаного кола гострокутного трикутника ABCABC та AB≠ACAB \neq AC. Вписане коло ww трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC і ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до прямої EFEF, удруге перетинає коло ww у точці RR. Пряма ARAR удруге перетинає коло ww у точці PP. Описані кола трикутників PCEPCE та PBFPBF удруге перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі DIDI та PQPQ перетинаються на прямій, яка проходить через вершину AA перпендикулярно до прямої AIAI.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-005

Дотичні у точках перетину кола з трикутником

Нехай ABCABC — трикутник. Коло Γ\Gamma проходить через AA, перетинає відрізки ABAB і ACAC ще раз у точках DD і EE відповідно та перетинає відрізок BCBC у точках FF і GG так, що FF лежить між BB і GG. Дотична до кола BDFBDF у точці FF і дотична до кола CEGCEG у точці GG перетинаються в точці TT. Припустимо, що точки AA і TT різні. Доведіть, що пряма ATAT паралельна BCBC.
10–11 класиДотична кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-010

Послідовність з біноміальною властивістю суми

Нескінченна послідовність a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots (не обов'язково різних) цілих чисел має такі властивості: 0⩽ai⩽i0 \leqslant a_{i} \leqslant i для всіх цілих i⩾0i \geqslant 0, і (ka0)+(ka1)+⋯+(kak)=2k\binom{k}{a_{0}}+\binom{k}{a_{1}}+\cdots+\binom{k}{a_{k}}=2^{k} для всіх цілих k⩾0k \geqslant 0. Доведіть, що всі цілі числа N⩾0N \geqslant 0 трапляються в послідовності (тобто для всіх N⩾0N \geqslant 0 існує i⩾0i \geqslant 0 таке, що ai=Na_{i}=N).
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-017

Сума кубів дорівнює квадрату добутку

Знайдіть усі трійки (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, таких, що a3+b3+c3=(abc)2a^{3} + b^{3} + c^{3} = (a b c)^{2}.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-006

Рівні хорди в дотику вписаних кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD, EE і FF — основи висот, проведених з AA, BB і CC на сторони BCBC, CACA і ABAB відповідно. Позначимо через ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} вписані кола трикутників BDFBDF і CDECDE, і нехай ці кола дотикаються до відрізків DFDF і DEDE в точках MM і NN відповідно. Нехай пряма MNMN перетинає кола ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} вдруге в точках P≠MP \neq M і Q≠NQ \neq N відповідно. Доведіть, що MP=NQMP = NQ.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-001

Екстремальний добуток за умови нульової суми

Нехай u1,u2,…,u2019u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019} — дійсні числа, які задовольняють u1+u2+⋯+u2019=0іu12+u22+⋯+u20192=1.u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{2019}=0 \quad \text{і} \quad u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots+u_{2019}^{2}=1 . Нехай a=min⁡(u1,u2,…,u2019)a=\min \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right) і b=max⁡(u1,u2,…,u2019)b=\max \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right). Доведіть, що ab⩽−12019a b \leqslant-\frac{1}{2019}
10–11 класиЧислові нерівності2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-011

Суми підмножин в обмеженому проміжку

Дано множину з nn блоків, кожен з яких важить принаймні 11; їхня сумарна вага дорівнює 2n2n. Доведіть, що для кожного дійсного числа rr такого, що 0⩽r⩽2n−20 \leqslant r \leqslant 2n-2, можна вибрати підмножину блоків, сумарна вага якої становить принаймні rr, але не більше за r+2r+2.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-018

Кореневі множини, що містять різниці степенів двійки

Множину SS цілих чисел називаємо кореневою, якщо для будь-якого натурального числа nn та будь-яких a0,a1,…,an∈Sa_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} \in S усі цілі корені многочлена a0+a1x+⋯+anxna_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n} також належать SS. Знайдіть усі кореневі множини цілих чисел, які містять усі числа виду 2a−2b2^{a}-2^{b} для натуральних чисел aa і bb.
10–11 класиТеорема Ейлера2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-012

Лабіринт з кольоровими стінами

На плоскій рівнині в Камелоті король Артур будує лабіринт L\mathfrak{L}, що складається з nn стін, кожна з яких є нескінченною прямою. Жодні дві стіни не паралельні, і жодні три стіни не мають спільної точки. Потім Мерлін фарбує один бік кожної стіни повністю в червоний колір, а другий бік — повністю в синій. На перетині двох стін утворюються чотири кути: два діаметрально протилежні кути, де сходяться червоний і синій боки, один кут, де сходяться два червоні боки, і один кут, де сходяться два сині боки. У кожному такому перетині є двосторонні двері, що з'єднують два діаметрально протилежні кути, в яких сходяться боки різних кольорів. Після того як Мерлін пофарбує стіни, Моргана розставляє в лабіринті кількох лицарів. Лицарі можуть проходити крізь двері, але не можуть проходити крізь стіни. Нехай k(L)k(\mathfrak{L}) — найбільше число kk таке, що, як би Мерлін не пофарбував лабіринт L\mathfrak{L}, Моргана завжди може розмістити принаймні kk лицарів так, щоб жодні двоє з них ніколи не змогли зустрітися. Для кожного nn знайдіть усі можливі значення k(L)k(\mathfrak{L}), де L\mathfrak{L} — лабіринт з nn стінами.
10–11 класиЗв’язність2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.