Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 708 задач
Міжнародні олімпіади
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-007

Добуток дробів із четвертими степенями до 2018

Обчисліть такий добуток: ∏m=12018(2m−1)4+14(2m)4+14\prod_{m=1}^{2018} \frac{(2m-1)^4 + \frac{1}{4}}{(2m)^4 + \frac{1}{4}}
10–11 класиРозкладання на множники і розкрит…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-018

Дотичні до вписаного кола описаного чотирикутника

Чотирикутник ABCDABCD описано навколо кола ω\omega. EE — точка перетину кола ω\omega і діагоналі ACAC, найближча до AA. Точка FF діаметрально протилежна точці EE в колі ω\omega. Пряма, дотична до кола ω\omega в точці FF, перетинає прямі ABAB і BCBC в точках A1A_1 і C1C_1, а прямі ADAD і CDCD — в точках A2A_2 і C2C_2 відповідно. Доведіть, що A1C1=A2C2A_1C_1 = A_2C_2.
10–11 класиЗовнівписане коло
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-029

Гра зі стиранням послідовних чисел

На дошці написано натуральні числа від 11 до nn. Перший гравець вибирає одне число і стирає його. Потім другий гравець вибирає два послідовні числа і стирає їх. Після цього перший гравець вибирає три послідовні числа і стирає їх. І нарешті другий гравець вибирає чотири послідовні числа і стирає їх. Яке найменше значення nn, за якого другий гравець може гарантувати, що виконає обидва свої ходи?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-008

Породжувальні многочлени та зображення сумами

Многочлен f(x)f(x) з дійсними коефіцієнтами називається породжувальним, якщо для кожного многочлена φ(x)\varphi(x) з дійсними коефіцієнтами існує натуральне число kk і многочлени g1(x),…,gk(x)g_1(x), \dots, g_k(x) такі, що φ(x)=f(g1(x))+⋯+f(gk(x)).\varphi(x) = f(g_1(x)) + \dots + f(g_k(x)). Знайдіть усі породжувальні многочлени.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-019

Два кола зі спільною точкою і середина відрізка

Нехай ω1\omega_1 і ω2\omega_2 — два кола з центрами O1O_1 і O2O_2 відповідно, причому O2O_2 лежить на колі ω1\omega_1. Нехай AA — спільна точка кіл ω1\omega_1 і ω2\omega_2. Пряма через AA перетинає ω1\omega_1 в точці B≠AB \neq A і ω2\omega_2 в точці C≠AC \neq A так, що AA лежить між BB і CC. Промінь O2O1O_2O_1 перетинає ω2\omega_2 в точці DD і містить точку EE таку, що ∠EAD=∠DCO2\angle EAD = \angle DCO_2 і DD лежить між O2O_2 і EE. Доведіть, що пряма BO2BO_2 ділить CECE навпіл.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-039

Ціла сума відношень четвертих степенів

Знайдіть усі трійки невід'ємних цілих чисел (a,b,c)(a, b, c), для яких число (a+b)4c+(b+c)4a+(c+a)4b\frac{(a+b)^4}{c} + \frac{(b+c)^4}{a} + \frac{(c+a)^4}{b} є цілим, а a+b+ca + b + c — просте число.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-030

Найдовший ланцюжок вкладених баків

У дідуся на горищі є скінченна кількість порожніх сміттєвих баків. Кожен бак — це прямокутний паралелепіпед із цілими довжинами сторін. Бак можна викинути в інший тоді й лише тоді, коли довжини сторін цих баків можна поставити у взаємно однозначну відповідність так, щоб довжини сторін першого бака були менші за відповідні довжини сторін іншого бака. Жоден бак не може містити два інші баки, якщо останні не вкладені один в одного. Дідусь хоче викинути якомога більше баків, щоб заощадити місце. Він розробив такий алгоритм: знайти найдовший ланцюжок баків, які можна викидати один в одного, потім повторити те саме з рештою баків і т. д., доки більше жодного бака не можна буде викинути. При виконанні цього алгоритму найдовший ланцюжок баків для вибору на кожному кроці виявився єдиним. Чи обов'язково в результаті цього процесу буде викинуто максимально можливу кількість баків?
10–11 класиЖадібний алгоритм
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-009

Досяжність цілих чисел квадратичними стрибками

Коник стрибає вздовж множини Z\mathbb{Z} цілих чисел. Він стартує з початку координат, і для кожного стрибка він може вирішувати, стрибати ліворуч чи праворуч. Для кожного n∈N0n \in \mathbb{N}_0 довжина nn-го стрибка дорівнює n2n^2. Доведіть або спростуйте, що для кожного k∈Zk \in \mathbb{Z} коник може потрапити в kk, починаючи з початку координат.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-020

Спільна точка кіл у конфігурації трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція з AD∥BCAD \parallel BC та ∠ADC=∠BAD\angle ADC = \angle BAD, а ℓ\ell — пряма, що не перетинає відрізки ACAC чи BDBD. Припустимо, що ℓ\ell перетинає прямі AC,AD,BC,BDAC, AD, BC, BD та CDCD в точках P,Q,R,SP, Q, R, S та TT відповідно. Доведіть, що три кола ⊙(DQT),⊙(BRQ)\odot(DQT), \odot(BRQ) і ⊙(BPS)\odot(BPS) перетинаються в спільній точці, де ⊙(XYZ)\odot(XYZ) позначає описане коло трикутника XYZXYZ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-021

Геометричне місце ортоцентра для діаметрів двох кіл

На площині дано два кола, які не перетинаються. Виберемо діаметри A1B1A_1B_1 і A2B2A_2B_2 цих кіл так, щоб відрізки A1A2A_1A_2 і B1B2B_1B_2 перетиналися. Нехай AA і BB — середини відрізків A1A2A_1A_2 і B1B2B_1B_2, а CC — їхня точка перетину. Доведіть, що ортоцентр трикутника ABCABC належить фіксованій прямій, яка не залежить від вибору діаметрів.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-040

Факторіали як потрійні добутки

Знайдіть усі четвірки (x,y,z,t)(x, y, z, t) натуральних чисел, які задовольняють систему рівнянь {xyz=t!(x+1)(y+1)(z+1)=(t+1)!\begin{cases} xyz = t! \\ (x+1)(y+1)(z+1) = (t+1)! \end{cases}
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-010

Перетворення оператора і звідність виразів

Нехай є оператор ∗*. Для виразу, що містить цей оператор, можна виконувати такі перетворення: 1. Вираз вигляду x∗(y∗z)x * (y * z) можна переписати як ((1∗x)∗y)∗z((1 * x) * y) * z; 2. Вираз вигляду x∗1x * 1 можна переписати як xx. Перетворення можна застосовувати лише до всього виразу, а не до підвиразів. Наприклад, (1∗1)∗(1∗1)(1 * 1) * (1 * 1) за допомогою перетворення першого виду можна переписати лише як ((1∗(1∗1))∗1)∗1((1 * (1 * 1)) * 1) * 1, але його не можна за один крок перетворити на 1∗(1∗1)1 * (1 * 1) чи (1∗1)∗1(1 * 1) * 1 — в останніх двох випадках перетворення другого виду було б застосовано лише до лівого або правого підвиразу вигляду 1∗11 * 1. Для яких натуральних чисел nn вираз 1∗(1∗(1∗(⋯∗(1∗1))))1 * (1 * (1 * (\cdots * (1 * 1)))) можна переписати так, щоб отримати вираз, який не містить жодного входження оператора ∗*?
10–11 класиРетроспективний алгоритм
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-001

Рівнобедрений трикутник з кутом 120° та точки на колі

У трикутнику ABCABC відомо, що CA=CBCA = CB і ∠ACB=120∘\angle ACB = 120^\circ. Позначимо точку MM — середину сторони ABAB. Нехай PP — деяка точка описаного кола трикутника ABCABC, а QQ — точка на відрізку CPCP, що задовольняє умову QP=2QCQP = 2QC. Пряма, що перпендикулярна до сторони ABAB та проходить через точку PP, перетинає пряму MQMQ в єдиній точці NN. Доведіть, що існує таке коло, що точка NN належить цьому колу за всіх можливих розташувань точки PP.
10–11 класиПаралельний перенос
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-002

Добутки елементів множини 1 + 1/k

Розглянемо множину A={1+1k∣k=1,2,3,…}A = \left\{ 1 + \dfrac{1}{k} \mid k = 1, 2, 3, \ldots \right\}. а) Доведіть, що довільне ціле число x⩾2x \geqslant 2 можна подати у вигляді добутку одного або декількох (не обов'язково різних) елементів із множини AA. б) Для кожного цілого x⩾2x \geqslant 2 позначимо через f(x)f(x) мінімальне ціле число таке, що xx можна буде подати у вигляді добутку f(x)f(x) елементів (не обов'язково різних) із множини AA. Доведіть, що існує нескінченно багато пар цілих чисел (x,y)(x, y), для яких x⩾2x \geqslant 2, y⩾2y \geqslant 2 та f(xy)<f(x)+f(y)f(xy) < f(x) + f(y). Примітка. Пари (x1,y1)(x_1, y_1) та (x2,y2)(x_2, y_2) різні тоді й тільки тоді, коли x1≠y1x_1 \neq y_1 або x2≠y2x_2 \neq y_2.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-003

Черга учасниць EGMO і найбільша кількість євро

Через C1,…,CnC_1, \ldots, C_n позначимо nn учасниць EGMO. По завершенні змагання вони шикуються в чергу перед рестораном за таким правилом: - журі вибирає початкове розміщення учасниць; - щохвилини журі вибирає ціле число ii, що задовольняє умови 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n: - якщо перед учасницею CiC_i стоїть принаймні ii інших учасниць, то вона сплачує 1 євро журі та переміщується вперед у черзі рівно на ii позицій; - якщо перед учасницею CiC_i стоїть менше ніж ii інших учасниць, то ресторан відкривається, і переміщення закінчуються. а) Доведіть, що такий процес не може тривати нескінченно довго, незалежно від дій журі. б) Для кожного nn визначте найбільшу кількість євро, що журі може отримати, вибираючи початкове розташування учасниць і порядок їхніх переміщень.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-004

Збалансоване розташування доміношок і найменша їх кількість

Назвемо доміношками прямокутники розмірами 1×21 \times 2 та 2×12 \times 1. Нехай n⩾3n \geqslant 3 — деяке ціле число. Доміношки викладають на дошку розміром n×nn \times n так, що кожна доміношка займає рівно дві сусідні клітинки дошки й доміношки не перекриваються. Вагою рядка або стовпчика назвемо кількість доміношок, що займають принаймні одну клітинку в цьому рядку або стовпчику. Розташування доміношок на дошці назвемо збалансованим, якщо існує таке k⩾1k \geqslant 1, що кожний рядок і кожний стовпчик має вагу kk. Доведіть, що для кожного n⩾3n \geqslant 3 існує збалансоване розташування, та знайдіть найменшу кількість доміношок, що потрібна для такого розташування.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-005

Коло, дотичне до АВ, бісектриса і рівність кутів

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC. Деяке коло Ω\Omega дотикається до відрізка ABAB і до кола Γ\Gamma у точці, що лежить по один бік з точкою CC відносно прямої ABAB. Бісектриса кута BCABCA перетинає коло Ω\Omega у двох різних точках PP і QQ. Доведіть, що ∠ABP=∠QBC\angle ABP = \angle QBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-006

Наближення чисел множини кратними інших чисел

а) Доведіть, що для кожного дійсного tt такого, що 0<t<120 < t < \dfrac{1}{2}, існує натуральне число nn з такою властивістю: для довільної множини SS, що складається з nn натуральних чисел, знайдуться два різних елементи xx і yy із цієї множини та невід'ємне число mm (тобто m⩾0m \geqslant 0) такі, що ∣x−my∣⩽ty|x - my| \leqslant ty. б) Чи правда, що для кожного дійсного tt такого, що 0<t<120 < t < \dfrac{1}{2}, існує нескінченна множина SS натуральних чисел така, що ∣x−my∣>ty|x - my| > ty для кожної пари різних елементів xx і yy із цієї множини та довільного додатного числа mm (тобто m>0m > 0)?
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-001

Рівні відрізки на сторонах трикутника та серединні перпендикуляри

Нехай Γ\Gamma — описане коло гострокутного трикутника ABCABC. Точки DD і EE лежать на відрізках ABAB і ACAC відповідно, при цьому AD=AEAD = AE. Проведено серединні перпендикуляри до відрізків BDBD і CECE кола Γ\Gamma у точках FF і GG відповідно. Доведіть, що прямі DEDE і FGFG паралельні або збігаються.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-002

Цілі n з циклічною послідовністю дійсних чисел

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3, для яких існують дійсні числа a1,a2,…,an+2a_1, a_2, \ldots, a_{n+2} такі, що an+1=a1a_{n+1} = a_1, an+2=a2a_{n+2} = a_2 і aiai+1+1=ai+2a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2} при всіх i=1,n‾i = \overline{1, n}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-003

Антипаскалів трикутник із 2018 рядків з усіма натуральними числами

Антипаскалів трикутник — це таблиця, що має вигляд рівностороннього трикутника, у якій кожне число, за винятком чисел нижнього рядка, дорівнює модулю різниці двох чисел, що стоять безпосередньо під ним. Нижче наведено приклад антипаскалева трикутника із чотирьох рядків, у якому є всі натуральні числа від 1 до 10 (рис. 6.1). Чи існує антипаскалів трикутник із 2018 рядків, у якому стоять усі натуральні числа від 1 до 1+2+…+20181 + 2 + \ldots + 2018?
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-004

Гарантована кількість червоних камінців у грі на сітці

На координатній площині відмічено всі точки (x,y)(x, y) з натуральними координатами xx і yy, що не перевищують 20. Спочатку кожна із 400 відмічених точок не зайнята. Аліна і Богдан грають у таку гру: вони по черзі кладуть камінці у відмічені, ще не зайняті точки, Аліна розпочинає першою. Своїм ходом Аліна має покласти новий червоний камінець у відмічену незайняту точку таким чином, щоб відстань між довільними двома точками із червоними камінцями не дорівнювала 5\sqrt{5}. Богдан своїм ходом кладе синій камінець у довільну відмічену незайняту точку (точка із синім камінцем може знаходитися на будь-якій відстані від довільної іншої зайнятої точки). Гра припиняється, коли один із гравців не може покласти камінець. Знайдіть найбільше значення KK, при якому Аліна гарантовано зможе покласти принаймні KK червоних камінців, незважаючи на ходи Богдана.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-005

Нескінченна послідовність з цілими циклічними сумами відношень

Нехай a1,a2,…a_1, a_2, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел. Припустимо, що існує ціле число N>1N>1 таке, що для кожного n⩾Nn\geqslant N число a1a2+a2a3+…+an−1an+ana1\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} є цілим. Доведіть, що існує натуральне число MM таке, що am=am+1a_m=a_{m+1} для всіх m⩾Mm\geqslant M.
10–11 класиНСД та НСК
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-006

Чотирикутник з рівними добутками сторін і рівними кутами

Опуклий чотирикутник ABCDABCD задовольняє умову AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA. Точка XX усередині чотирикутника ABCDABCD є такою, що ∠XAB=∠XCD\angle XAB=\angle XCD і ∠XBC=∠XDA\angle XBC=\angle XDA. Доведіть, що ∠BXA+∠DXC=180∘\angle BXA+\angle DXC=180^\circ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-009

Добутки рядків і стовпців таблиці

Нехай n>1n > 1 — натуральне число. Кожна клітинка таблиці n×nn \times n містить ціле число. Припустімо, що виконуються такі умови: (i) Кожне число в таблиці порівнянне з 11 за модулем nn; (ii) Сума чисел у будь-якому рядку, а також сума чисел у будь-якому стовпці, порівнянна з nn за модулем n2n^{2}. Нехай RiR_{i} — добуток чисел i-гоi^{\text{-го}} рядка, а CjC_{j} — добуток чисел j-гоj^{\text{-го}} стовпця. Доведіть, що суми R1+⋯+RnR_{1} + \cdots + R_{n} і C1+⋯+CnC_{1} + \cdots + C_{n} порівнянні за модулем n4n^{4}.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.