Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 708 задач
Міжнародні олімпіади
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-004

Перетин прямих FK і GL та пряма AO

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC, а точка OO — його центр. Коло Γ\Gamma із центром AA перетинає відрізок BCBC у точках DD і EE так, що точки BB, DD, EE і CC — усі різні та лежать на прямій BCBC у наведеному порядку. Нехай FF і GG — точки перетину кіл Γ\Gamma та Ω\Omega, при цьому точки AA, FF, BB, CC і GG лежать на колі Ω\Omega у наведеному порядку. Нехай KK — друга точка перетину описаного кола трикутника BDFBDF та відрізка ABAB, а LL — друга точка перетину описаного кола трикутника CGECGE та відрізка ACAC. Нехай прямі FKFK і GLGL різні та перетинаються в точці XX. Доведіть, що точка XX лежить на прямій AOAO.
10–11 класиСиметрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-005

Функціональне рівняння з сумою та добутком аргументів

Знайдіть усі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що задовольняють рівність f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x) для довільних дійсних чисел xx і yy.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-006

Цілочисельна послідовність з різними сумами і обмеженими відхиленнями

Послідовність цілих чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots задовольняє такі умови: 1⩽aj⩽2015для всіх j⩾1;1 \leqslant a_j \leqslant 2015 \quad \text{для всіх } j \geqslant 1; k+ak≠l+alдля всіх 1⩽k<l.k + a_k \ne l + a_l \quad \text{для всіх } 1 \leqslant k < l. Доведіть, що існують два натуральних числа bb та NN таких, що ∣∑j=m+1n(aj−b)∣⩽10072\left|\displaystyle\sum_{j=m+1}^{n} (a_j - b)\right| \leqslant 1007^2 для всіх цілих чисел mm і nn, що задовольняють умову n>m⩾Nn > m \geqslant N.
10–11 класиОрієнтовані графи
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-005

Бульдозери, що змітають міста в ряд

У Лінленді є n⩾1n \geqslant 1 міст, розташованих уздовж дороги, що йде зліва направо. Кожне місто має лівий бульдозер (поставлений зліва від міста і спрямований ліворуч) та правий бульдозер (поставлений справа від міста і спрямований праворуч). Розміри всіх 2n2n бульдозерів різні. Щоразу, коли правий і лівий бульдозери зустрічаються лоб у лоб, більший бульдозер зіштовхує менший з дороги. Натомість бульдозери зовсім незахищені ззаду; тож якщо один бульдозер дістається до заднього кінця іншого, перший зіштовхує другий з дороги незалежно від їхніх розмірів. Нехай AA і BB — два міста, причому BB розташоване праворуч від AA. Кажемо, що місто AA може змести місто BB, якщо правий бульдозер міста AA може дійти до BB, зіштовхуючи всі бульдозери, які зустрічає на шляху. Аналогічно, BB може змести AA, якщо лівий бульдозер міста BB може дійти до AA, зіштовхуючи всі бульдозери всіх міст на своєму шляху. Доведіть, що існує рівно одне місто, яке не може бути зметене жодним іншим.
10–11 класиМетод математичної індукції3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-003

Ортоцентр трикутника, паралелограм і коло GCI

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH. Нехай GG — точка, така, що чотирикутник ABGHABGH — паралелограм. Нехай II — точка на прямій GHGH така, що ACAC ділить навпіл відрізок HIHI. Припустімо, що пряма ACAC перетинає описане коло трикутника GCIGCI в точках CC і JJ. Доведіть, що IJ=AHIJ = AH. (Австралія)
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-004

Відношення в паралелограмі на описаному колі

Нехай ABCA B C — гострокутний трикутник, а MM — середина сторони ACA C. Коло ω\omega, що проходить через BB і MM, перетинає сторони ABA B і BCB C вдруге в точках PP і QQ відповідно. Нехай TT — така точка, що чотирикутник BPTQB P T Q є паралелограмом. Припустімо, що TT лежить на описаному колі трикутника ABCA B C. Визначте всі можливі значення BT/BMB T / B M.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-001

Функціональне рівняння з непарними значеннями на цілих числах

Нехай 2Z+12 \mathbb{Z} + 1 позначає множину непарних цілих чисел. Знайдіть усі функції f:Z→2Z+1f: \mathbb{Z} \rightarrow 2 \mathbb{Z} + 1, які задовольняють f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x + y) + f(x - y) \tag{1} для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}.
10–11 класиПеріодичні функції
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-008

Періодична послідовність різниць функції

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел. Розглянемо функцію f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}. Для будь-яких m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0} пишемо fn(m)=f(f(…f⏟n(m)…))f^{n}(m)=\underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m) \ldots)). Припустимо, що ff має такі дві властивості: (i) Якщо m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0}, то fn(m)−mn∈Z>0\frac{f^{n}(m)-m}{n} \in \mathbb{Z}_{>0}; (ii) Множина Z>0\{f(n)∣n∈Z>0}\mathbb{Z}_{>0} \backslash\left\{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}_{>0}\right\} скінченна. Доведіть, що послідовність f(1)−1,f(2)−2,f(3)−3,…f(1)-1, f(2)-2, f(3)-3, \ldots є періодичною.
10–11 класиАрифметична прогресія
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-002

Блок-подібні многочлени фіксованого степеня

Нехай nn — фіксоване ціле число таке, що n⩾2n \geqslant 2. Будемо казати, що два многочлени PP і QQ з дійсними коефіцієнтами є блок-подібними, якщо для кожного i∈{1,2,…,n}i \in\{1,2, \ldots, n\} послідовності P(2015i),P(2015i−1),…,P(2015i−2014) і Q(2015i),Q(2015i−1),…,Q(2015i−2014)\begin{aligned} & P(2015 i), P(2015 i-1), \ldots, P(2015 i-2014) \quad \text{ і } \\ & Q(2015 i), Q(2015 i-1), \ldots, Q(2015 i-2014) \end{aligned} є перестановками одна одної. a. Доведіть, що існують різні блок-подібні многочлени степеня n+1n+1. b. Доведіть, що не існує різних блок-подібних многочленів степеня nn.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-006

Єдині подання непарною сумою в множині

Нехай SS — непорожня множина натуральних чисел. Будемо казати, що натуральне число nn є чистим, якщо воно має єдине подання у вигляді суми непарної кількості різних елементів множини SS. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел, які не є чистими.
10–11 класиПарність і непарність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-007

Розбиття графа з малою кількістю непарних циклів

У компанії людей деякі пари є ворогами. Група людей називається недружньою, якщо кількість її членів непарна і становить принаймні 33, і всіх її членів можна розсадити навколо круглого столу так, щоб будь-які двоє сусідів були ворогами. Відомо, що недружніх груп не більше ніж 20152015. Доведіть, що компанію можна розбити на 1111 частин так, щоб жодні двоє ворогів не опинилися в одній частині.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-009

Обмеження на НСД для цілозначної функції

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел. Для довільного натурального числа kk функцію f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} називають kk-доброю, якщо НСД(f(m)+n,f(n)+m)⩽k\text{НСД}(f(m)+n, f(n)+m) \leqslant k для всіх m≠nm \neq n. Знайдіть усі kk, для яких існує kk-добра функція.
10–11 класиКитайська теорема про остачі2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-010

Строго зростаючі функції з обмеженням на великі прості дільники

Для кожного натурального числа nn з розкладом на прості множники n=∏i=1kpiαin=\prod_{i=1}^{k} p_{i}^{\alpha_{i}} визначимо ℧(n)=∑i:pi>10100αi\mho(n)=\sum_{i: p_{i}>10^{100}} \alpha_{i} Тобто ℧(n)\mho(n) — це кількість простих дільників числа nn, більших за 1010010^{100}, порахованих з кратністю. Знайдіть усі строго зростаючі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} такі, що ℧(f(a)−f(b))⩽℧(a−b) для всіх цілих a і b таких, що a>b.\mho(f(a)-f(b)) \leqslant \mho(a-b) \quad \text{ для всіх цілих } a \text{ і } b \text{ таких, що } a>b .
10–11 класиМіркування за модулем
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2015-001

Колінеарність з бісектрис і вписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — коло з діаметром ABAB. Бісектриси кутів ∠BAC\angle BAC та ∠ABC\angle ABC перетинають Γ\Gamma (також) у точках DD та EE відповідно. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC та ACAC у точках FF та GG відповідно. Доведіть, що D,E,FD, E, F і GG лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2015-002

Три прості числа, добуток і сума в 101 раз

Знайдіть прості числа p,q,rp, q, r, якщо одне з чисел pqrp q r і p+q+rp+q+r у 101 раз більше за інше.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2015-003

Перестановки томами енциклопедії за допомогою операцій зі стосом

Енциклопедія складається з 20002000 пронумерованих томів. Томи складено в стопку по порядку, причому номер 11 — зверху, а 20002000 — знизу. Зі стопкою можна виконувати дві операції: (i) Для парного nn можна взяти верхні nn томів і покласти їх у низ стопки, не змінюючи порядку. (ii) Для непарного nn можна взяти верхні nn томів, обернути їхній порядок і знову покласти їх на верх стопки. Скільки різних перестановок томів можна отримати, неодноразово застосовуючи ці дві операції?
10–11 класиПерестановки3 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-001

Послідовність, взаємно прості лише сусідні члени

Чи існує нескінченна послідовність натуральних чисел a1, a2, a3, …a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots, така що ama_m та ana_n — взаємно прості тоді і лише тоді, коли ∣m−n∣=1|m-n| = 1?
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-002

Гра трьох фішок на n-кутнику зі збільшенням площі

Дано натуральне число n⩾5n \geqslant 5. Два гравці грають у таку гру на правильному nn-кутнику. Початково на трьох послідовних вершинах многокутника лежить по одній фішці. За хід гравець має вибрати довільну фішку та пересунути на будь-яку кількість ребер уздовж границі в іншу вершину nn-кутника, не перескочуючи через інші фішки. Хід називають допустимим, якщо площа трикутника, утвореного фішками, після ходу строго більша, ніж до нього. Гравці роблять допустимі ходи по черзі, і той, хто не може зробити допустимий хід, програє. Для яких значень nn у гравця, що робить перший хід, є виграшна стратегія?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-003

Числа k+1, …, k+n та отримання числа n!

На дошці написано кілька раціональних чисел. За одну операцію дозволено вибрати два числа aa, bb, стерти їх і замість них написати одне із чисел: a+b, a−b, b−a, a×b, a/b (якщо b≠0), b/a (якщо a≠0).a+b,\ a-b,\ b-a,\ a \times b,\ a/b\ (\text{якщо } b \neq 0),\ b/a\ (\text{якщо } a \neq 0). Доведіть, що для кожного n>100n > 100 існує тільки скінченна множина k⩾0k \geqslant 0, для яких, якщо виконати n−1n-1 операцію починаючи із чисел k+1, k+2, …, k+n,k+1,\ k+2,\ \ldots,\ k+n, можна отримати число n!n!.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-004

Центр описаного кола трикутника AJbJc на бісектрисі

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC у точці DD. Нехай JbJ_b та JcJ_c — центри вписаних кіл трикутників ABDABD та ACDACD відповідно. Доведіть, що центр описаного кола трикутника AJbJcAJ_bJ_c лежить на бісектрисі кута BACBAC.
10–11 класиВписане коло
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-005

Числа a менші за p з нерівністю для залишків

Нехай p⩾5p \geqslant 5 — просте число. Для натурального числа kk позначимо через R(k)R(k) залишок при діленні kk на pp, причому 0⩽R(k)⩽p−10 \leqslant R(k) \leqslant p-1. Знайдіть усі такі натуральні числа a<pa < p, що при всіх m=1,2,…,p−1m = 1, 2, \ldots, p-1 виконується нерівність m+R(ma)>a.m + R(ma) > a.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-006

Прямокутник з однією точкою в одиничному квадраті

Дано натуральне число nn. Знайдіть найбільше дійсне число μ\mu, що задовольняє таку умову: для довільної множини CC, що складається із 4n4n точок, які лежать строго всередині одиничного квадрата UU, знайдеться прямокутник TT, що лежить в UU, та такий, що: - сторони TT паралельні сторонам UU; - існує рівно одна точка множини CC, що лежить строго всередині TT; - площа TT не менша μ\mu.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-022

Розфарбування місць з непарними одноколірними серіями

Треба пофарбувати nn місць у ряд, кожне в червоний або зелений колір. Розфарбування називаємо непарним, якщо кожна одноколірна серія має непарну довжину. Під одноколірною серією розуміємо послідовність місць одного кольору, обмежену місцями іншого кольору або стінкою. Порахуйте, скільки існує способів непарного розфарбування.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-013

Хорди описаного кола з бісектрисою кута

Нехай Γ\Gamma — описане коло гострокутного трикутника ABCABC. Перпендикуляр до сторони ABAB з точки CC перетинає ABAB у точці DD, а Γ\Gamma знову в точці EE. Бісектриса кута CC перетинає ABAB у точці FF, а Γ\Gamma знову в точці GG. Пряма GDGD перетинає Γ\Gamma знову в точці HH, а пряма HFHF перетинає Γ\Gamma знову в точці II. Доведіть, що AI=EBAI = EB.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-033

Послідовність з цілою частиною і простими значеннями

Чи існують додатні дійсні числа aa і bb такі, що ⌊an+b⌋\lfloor an + b \rfloor є простим числом для кожного натурального числа nn?
10–11 класиРозподіл простих чисел

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.