Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 708 задач
Міжнародні олімпіади
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-006

Функціональне рівняння з квадратом і добутком

Знайдіть усі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що задовольняють співвідношення f(y2+2xf(y)+f2(x))=(y+f(x))(x+f(y))f\left(y^2+2xf(y)+f^2(x)\right)=(y+f(x))(x+f(y)) для довільних дійсних чисел xx, yy.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-001

Нескінченна зростаюча послідовність і її середнє арифметичне

Нехай a0<a1<a2<…a_0 < a_1 < a_2 < \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел. Доведіть, що існує єдине натуральне число nn таке, що an<a0+a1+…+ann⩽an+1.a_n < \frac{a_0 + a_1 + \ldots + a_n}{n} \leqslant a_{n+1}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-002

Мирні тури та порожній квадрат k × k

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Дано шахівницю розміром n×nn \times n, яка складається з n2n^2 одиничних клітинок. Розміщення nn тур у клітинках дошки називають мирним, якщо в кожному горизонтальному та кожному вертикальному ряду стоїть рівно по одній турі. Знайдіть найбільше натуральне kk таке, що для кожного мирного розміщення nn тур знайдеться клітчастий квадрат розміром k×kk \times k, у жодній із k2k^2 клітинок якого немає тури.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-003

Чотирикутник з двома прямими кутами та дотична до кола

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якому ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^\circ. Точка HH — основа перпендикуляра, опущеного з точки AA на пряму BDBD. Точки SS і TT вибрали на відрізках ABAB і ADAD відповідно таким чином, що точка HH знаходиться всередині трикутника SCTSCT і виконуються рівності ∠CHS−∠CSB=90∘,∠THC−∠DTC=90∘.\angle CHS - \angle CSB = 90^\circ, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^\circ. Доведіть, що пряма BDBD дотикається до кола, описаного навколо трикутника TSHTSH.
10–11 класиІнверсія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-004

Перетин прямих BM і CN на описаному колі

Точки PP і QQ вибрали на стороні BCBC гострокутного трикутника ABCABC так, що ∠PAB=∠BCA\angle PAB = \angle BCA і ∠CAQ=∠ABC\angle CAQ = \angle ABC. Точки MM і NN вибрали на променях APAP і AQAQ відповідно таким чином, що точка PP — середина відрізка AMAM, а точка QQ — середина відрізка ANAN. Доведіть, що прямі BMBM і CNCN перетинаються на колі, описаному навколо трикутника ABCABC.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-005

Монети з номіналами 1/n та розбиття на групи

Банк Кейптауна випустив монети номіналом 1n\frac{1}{n} для кожного натурального nn. Задано скінченний набір таких монет, сума номіналів яких не перевищує 99+1299+\frac{1}{2} (номінали монет не обов’язково різні). Доведіть, що всі монети можна розбити на 100100 або меншу кількість груп так, що сума номіналів монет у кожній групі не перевищуватиме 11.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-006

Сині прямі загального положення та межі обмежених частин

Будемо казати, що прямі на площині є прямими загального положення, якщо жодні дві з них не паралельні, а жодні три з них не проходять через одну точку. Довільні декілька прямих загального положення розбивають площину на частини. Обмеженими частинами розбиття будемо називати ті з них, які мають скінченну площу. Доведіть, що для достатньо великих значень nn справджується таке твердження: у кожній множині з nn прямих загального положення на площині можна пофарбувати не менше n\sqrt{n} прямих у синій колір так, щоб межа кожної обмеженої частини розбиття не була повністю синьою. Примітка. За доведення твердження задачі, у якому n\sqrt{n} замінено на cnc\sqrt{n}, бали нараховують залежно від константи cc.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-003

Сума радіусів вписаних кіл у чевіанних трикутниках

Нехай ABCABC — трикутник. Точки KK, LL і MM лежать на відрізках BCBC, CACA і ABAB відповідно так, що прямі AKAK, BLBL і CMCM перетинаються в одній точці. Доведіть, що можна вибрати два з трикутників ALMALM, BMKBMK і CKLCKL, сума радіусів вписаних кіл яких не менша за радіус вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-002

Жадібне впорядкування з мінімальною ціною

Для послідовності x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} дійсних чисел визначимо її ціну як max⁡1⩽i⩽n∣x1+⋯+xi∣.\max_{1 \leqslant i \leqslant n}\left|x_{1}+\cdots+x_{i}\right| . Дано nn дійсних чисел, Дейв і Джордж хочуть розташувати їх у послідовність з малою ціною. Старанний Дейв перевіряє всі можливі способи і знаходить найменшу можливу ціну DD. Жадібний Джордж, натомість, вибирає x1x_{1} так, щоб ∣x1∣\left|x_{1}\right| було якомога меншим; серед решти чисел він вибирає x2x_{2} так, щоб ∣x1+x2∣\left|x_{1}+x_{2}\right| було якомога меншим, і так далі. Отже, на i-му i^{\text{-му }} кроці він вибирає xix_{i} серед решти чисел так, щоб мінімізувати значення ∣x1+x2+⋯+xi∣\left|x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{i}\right|. На кожному кроці, якщо кілька чисел дають те саме значення, Джордж вибирає одне навмання. Зрештою він отримує послідовність з ціною GG. Знайдіть найменшу можливу сталу cc таку, що для кожного натурального числа nn, для кожного набору з nn дійсних чисел і для кожної можливої послідовності, яку може отримати Джордж, отримані значення задовольняють нерівність G⩽cDG \leqslant c D.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-005

Фарбування прямих без монохроматичної області

На площині задано n⩾3n \geqslant 3 прямих таких, що жодні дві з них не паралельні й жодні три не проходять через одну точку. Ці прямі ділять площину на многокутні області; нехай F\mathcal{F} — множина областей зі скінченною площею. Доведіть, що можна пофарбувати ⌈n/2⌉\lceil\sqrt{n / 2}\rceil із цих прямих у синій колір так, щоб жодна область з множини F\mathcal{F} не мала повністю синьої межі. (Для дійсного числа x,⌈x⌉x,\lceil x\rceil позначає найменше ціле число, не менше за xx.)
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-006

Переможець за порядком карт

Дано нескінченну колоду карт, на кожній з яких написано дійсне число. Для кожного дійсного числа xx у колоді є рівно одна карта, на якій написано xx. Тепер двоє гравців беруть із цієї колоди неперетинні множини AA і BB по 100100 карт кожна. Ми хочемо визначити правило, яке оголошує одного з них переможцем. Це правило має задовольняти такі умови: 1. Переможець залежить лише від відносного порядку 200200 карт: якщо карти розкласти в порядку зростання сорочкою донизу і нам сказати, яка карта належить якому гравцеві, але не сказати, які числа на них написані, ми все одно зможемо визначити переможця. 2. Якщо записати елементи обох множин у порядку зростання як A={a1,a2,…,a100}A=\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{100}\} і B={b1,b2,…,b100}B=\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{100}\}, і ai>bia_{i}>b_{i} для всіх ii, то AA перемагає BB. 3. Якщо троє гравців беруть із колоди три попарно неперетинні множини A,B,CA, B, C, AA перемагає BB і BB перемагає CC, то AA також перемагає CC. Скількома способами можна визначити таке правило? Тут два правила вважаємо різними, якщо існують дві множини AA і BB такі, що AA перемагає BB за одним правилом, але BB перемагає AA за іншим.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-001

Функції з умовою f(f(n))² = n² + 4 f(n)

Знайдіть усі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} такі, що n2+4f(n)=f(f(n))2n^{2}+4 f(n)=f(f(n))^{2} для всіх n∈Zn \in \mathbb{Z}.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-009

Примітивні прості дільники кубічної послідовності

Нехай c⩾1c \geqslant 1 — ціле число. Визначимо послідовність натуральних чисел рівностями a1=ca_{1}=c і an+1=an3−4c⋅an2+5c2⋅an+ca_{n+1}=a_{n}^{3}-4 c \cdot a_{n}^{2}+5 c^{2} \cdot a_{n}+c для всіх n⩾1n \geqslant 1. Доведіть, що для кожного цілого n⩾2n \geqslant 2 існує просте число pp, яке ділить ana_{n}, але не ділить жодного з чисел a1,…,an−1a_{1}, \ldots, a_{n-1}.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-004

Колінеарність у трикутнику з інцентром

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Ω\Omega та інцентром II. Нехай пряма, що проходить через II і перпендикулярна до прямої CICI, перетинає відрізок BCBC і дугу BCBC (яка не містить AA) кола Ω\Omega в точках UU і VV відповідно. Нехай пряма, що проходить через UU і паралельна прямій AIAI, перетинає AVAV у точці XX, а пряма, що проходить через VV і паралельна прямій AIAI, перетинає ABAB у точці YY. Нехай WW і ZZ — середини відрізків AXAX і BCBC відповідно. Доведіть, що якщо точки II, XX і YY лежать на одній прямій, то точки II, WW і ZZ також лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-007

Перемикання ребер у плоскому многокутнику

Нехай MM — множина з n⩾4n \geqslant 4 точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Спочатку ці точки сполучено nn відрізками так, що кожна точка з MM є кінцем рівно двох відрізків. Далі на кожному кроці можна вибрати два відрізки ABAB і CDCD, що мають спільну внутрішню точку, і замінити їх відрізками ACAC і BDBD, якщо жодного з них на цей момент немає. Доведіть, що неможливо виконати n3/4n^{3} / 4 або більше таких ходів.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-008

Гра на парність із наборами цифр

Колода складається з 1024 карток. На кожній картці написано множину різних десяткових цифр так, що жодні дві з цих множин не збігаються (отже, одна з карток порожня). Двоє гравців по черзі беруть картки з колоди, по одній картці за хід. Після того як колода стане порожньою, кожен гравець перевіряє, чи може він викинути одну зі своїх карток так, щоб кожна з десяти цифр траплялася на парній кількості його решти карток. Якщо один гравець може це зробити, а інший — ні, то перемагає той, хто може; інакше оголошується нічия. Визначте всі можливі перші ходи першого гравця, після яких він має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-010

Відстані до найближчого цілого і степені простих чисел

Для кожного дійсного числа xx позначимо через ∥x∥\|x\| відстань між xx і найближчим цілим числом. Доведіть, що для кожної пари (a,b)(a, b) натуральних чисел існують непарне просте число pp і натуральне число kk, для яких виконується: ∥apk∥+∥bpk∥+∥a+bpk∥=1.\left\|\frac{a}{p^{k}}\right\|+\left\|\frac{b}{p^{k}}\right\|+\left\|\frac{a+b}{p^{k}}\right\|=1 .
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2014-001

Функціональне рівняння f(x²)-f(y²)=f(x+y)f(x-y)

Знайдіть усі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} (де N\mathbb{N} — множина натуральних чисел, яка містить 00) такі, що f(x2)−f(y2)=f(x+y)f(x−y)f\left(x^{2}\right)-f\left(y^{2}\right)=f(x+y) f(x-y) для всіх x,y∈Nx, y \in \mathbb{N} з x≥yx \geq y.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2014-002

Точка в рівносторонньому трикутнику із середнім геометричним відстаней

Дано рівносторонній трикутник. Знайдіть усі точки всередині трикутника такі, що відстань від точки до однієї зі сторін дорівнює середньому геометричному відстаней від точки до двох інших сторін трикутника. [Середнє геометричне двох чисел xx і yy дорівнює xy\sqrt{x y}.]
10–11 класиОзнаки подібності
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2014-003

Сума квадратних коренів дорівнює кореню

Знайдіть усі невід'ємні цілі числа a,b,ca, b, c такі, що a+b+c=2014\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \sqrt{2014}
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2014-004

Гра типу Нім на шаховій дошці

Гра відбувається на шаховій дошці n×nn \times n. На початку на кожній клітинці лежить по 99 камінців. Двоє гравців AA і BB ходять по черзі, причому кожним ходом гравець вибирає або рядок, або стовпець і забирає по одному камінцю з кожної клітинки вибраного рядка чи стовпця. Дозволено вибирати рядок чи стовпець, лише якщо на кожній його клітинці є принаймні один камінець. Гравець, який першим не може зробити хід, програє гру. Першим ходить гравець AA. Знайдіть усі nn, для яких гравець AA має виграшну стратегію.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-001

Послідовність з рекурсією за сумою квадратів

Знайдіть усі послідовності a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \dots додатних дійсних чисел такі, що an2+m2=anamna_{n^2+m^2} = a_n a_m^n для всіх n,mn, m.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-026

Вирівнювання кульок у коробках

В грі для одного гравця є nn коробок з номерами 1,2,3,…,n1, 2, 3, \dots, n. На початку є 21k21k кульок у коробці kk, k=1,2,3,…,nk = 1, 2, 3, \dots, n. За один хід ви берете дві кульки з коробки kk, одну з цих кульок кладете в коробку k−1k-1, а другу кульку викидаєте, 1<k≤n1 < k \le n. Для яких nn можна за скінченну кількість ходів отримати однакову кількість кульок у кожній коробці?
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-042

Ціле число зі збалансованим розбиттям суми

Натуральне число n назвемо чудовим, якщо існує ціле число xx, 1<x<n1 < x < n, таке, що 1+2+⋯+(x−1)=(x+1)+(x+2)+⋯+n.1 + 2 + \cdots + (x - 1) = (x + 1) + (x + 2) + \cdots + n. Чи існує чудове число N, яке задовольняє 20132013<N20132013<20132013+4.2013^{2013} < \frac{N}{2013^{2013}} < 2013^{2013} + 4.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-013

Добуток відрізків на висоті

У гострокутному трикутнику ABCABC з AC>ABAC > AB нехай DD — проєкція AA на пряму BCBC, нехай EE і FF — проєкції DD на прямі ABAB і ACAC, а GG і HH — другі перетини прямої ADAD з прямою EFEF і описаним колом трикутника ABCABC. Доведіть: AG⋅AH=AD2.AG \cdot AH = AD^2.
10–11 класиІнверсія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.