Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 708 задач
Міжнародні олімпіади
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-008

Неперетинні пари з обмеженими сумами

Нехай n≥1n \geq 1 — ціле число. Яка найбільша можлива кількість попарно неперетинних пар елементів множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} таких, що суми різних пар є різними цілими числами, які не перевищують nn?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-002

Чотири точки на одному колі у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, діагоналі ACAC і BDBD якого перетинаються в точці EE. Продовження сторін ADAD і BCBC за точки AA і BB перетинаються в точці FF. Нехай GG — точка така, що ECGDECGD — паралелограм, а HH — образ точки EE при відбитті відносно прямої ADAD. Доведіть, що точки DD, HH, FF, GG лежать на одному колі.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-003

Паралельні прямі через інцентри та центри описаних кіл

У гострокутному трикутнику ABCA B C точки DD, EE і FF — основи висот, проведених з вершин AA, BB і CC відповідно. Інцентри трикутників AEFA E F і BDFB D F — це I1I_{1} і I2I_{2} відповідно; центри описаних кіл трикутників ACI1A C I_{1} і BCI2B C I_{2} — це O1O_{1} і O2O_{2} відповідно. Доведіть, що прямі I1I2I_{1} I_{2} і O1O2O_{1} O_{2} паралельні.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-009

Максимум трійок у розфарбованій таблиці

У квадратній таблиці 999×999999 \times 999 деякі клітинки білі, а решта — червоні. Нехай TT — кількість трійок (C1,C2,C3)(C_{1}, C_{2}, C_{3}) клітинок, з яких перші дві стоять в одному рядку, а останні дві — в одному стовпці, причому C1C_{1} і C3C_{3} білі, а C2C_{2} червона. Знайдіть найбільше можливе значення TT.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-010

Мінімальна кількість монет для гри з коробками по колу

Гравці AA і BB грають у гру з N≥2012N \geq 2012 монетами та 20122012 коробками, розташованими по колу. Спочатку AA розкладає монети по коробках так, щоб у кожній коробці була принаймні 11 монета. Потім вони роблять ходи в порядку B,A,B,A,…B, A, B, A, \ldots за такими правилами: - Кожним своїм ходом BB перекладає по 11 монеті з кожної коробки до сусідньої коробки. - Кожним своїм ходом AA вибирає кілька монет, які не були задіяні в попередньому ході BB і лежать у різних коробках. Кожну вибрану монету вона перекладає до сусідньої коробки. Мета гравчині AA — забезпечити принаймні по 11 монеті в кожній коробці після кожного її ходу, незалежно від того, як грає BB і скільки ходів буде зроблено. Знайдіть найменше NN, за якого вона може досягти успіху.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-004

Вписаний чотирикутник з відбиттям точки на бісектрисі

Нехай ABCAB C — трикутник, у якому AB≠ACAB \neq AC, з центром описаного кола OO. Бісектриса ∠BAC\angle BAC перетинає BCBC в точці DD. Нехай EE — точка, симетрична DD відносно середини сторони BCBC. Прямі, які проходять через DD і EE та перпендикулярні до BCBC, перетинають прямі AOAO і ADAD у точках XX і YY відповідно. Доведіть, що чотирикутник BXCYBX CY є вписаним.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-013

Дружні цілі числа з кубічного рівняння

Ціле число aa називається дружнім, якщо рівняння (m2+n)(n2+m)=a(m−n)3(m^{2}+n)(n^{2}+m)=a(m-n)^{3} має розв'язок у натуральних числах. a. Доведіть, що в множині {1,2,…,2012}\{1,2, \ldots, 2012\} є принаймні 500 дружніх цілих чисел. b. З'ясуйте, чи є a=2a=2 дружнім.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-014

Многочлени з радикальною подільністю

Для невід'ємного цілого числа nn означимо rad⁡(n)=1\operatorname{rad}(n)=1, якщо n=0n=0 або n=1n=1, і rad⁡(n)=p1p2⋯pk\operatorname{rad}(n)=p_{1} p_{2} \cdots p_{k}, де p1<p2<⋯<pkp_{1}<p_{2}<\cdots<p_{k} — усі прості дільники числа nn. Знайдіть усі многочлени f(x)f(x) з невід'ємними цілими коефіцієнтами такі, що rad⁡(f(n))\operatorname{rad}(f(n)) ділить rad⁡(f(nrad⁡(n)))\operatorname{rad}\left(f\left(n^{\operatorname{rad}(n)}\right)\right) для кожного невід'ємного цілого числа nn.
10–11 класиТеорема Ейлера2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-011

Перестановка фішок із циклічною зміною кольорів

Стовпці та рядки квадратної дошки 3n×3n3n \times 3n пронумеровано числами 1,2,…,3n1, 2, \ldots, 3n. Кожну клітинку (x,y)(x, y) з 1≤x,y≤3n1 \leq x, y \leq 3n пофарбовано у спаржевий, візантійський або цитриновий колір залежно від остачі за модулем 33 числа x+yx+y, яка дорівнює 00, 11 чи 22 відповідно. На кожну клітинку покладено по одній фішці спаржевого, візантійського або цитринового кольору так, що кожного кольору є 3n23n^{2} фішок. Припустимо, що фішки можна переставити так, що кожна фішка переміститься на відстань не більше dd від свого початкового положення, кожна спаржева фішка замінить візантійську фішку, кожна візантійська фішка замінить цитринову фішку, а кожна цитринова фішка замінить спаржеву фішку. Доведіть, що фішки можна переставити так, що кожна фішка переміститься на відстань не більше d+2d+2 від свого початкового положення, і кожна клітинка міститиме фішку того самого кольору, що й клітинка.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-005

Рівність відстаней до центра описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник з центром описаного кола OO та інцентром II. Точки DD, EE і FF на сторонах BCBC, CACA і ABAB відповідно такі, що BD+BF=CABD + BF = CA і CD+CE=ABCD + CE = AB. Описані кола трикутників BFDBFD і CDECDE перетинаються в точці P≠DP \neq D. Доведіть, що OP=OIOP = OI.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-015

Подільність степеня двійки мінус один на лінійний вираз

Нехай xx і yy — натуральні числа. Якщо x2n−1x^{2^{n}}-1 ділиться на 2ny+12^{n} y+1 для кожного натурального числа nn, доведіть, що x=1x=1.
10–11 класиТеорема Евкліда про нескінченніст…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-001

Замкненість метаполіномів відносно множення

Функцію f:Rk→Rf: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R} називаємо метаполіномом, якщо для деяких натуральних чисел mm і nn вона подається у вигляді f(x1,…,xk)=max⁡i=1,…,mmin⁡j=1,…,nPi,j(x1,…,xk)f\left(x_1, \ldots, x_k\right)=\max_{i=1, \ldots, m} \min_{j=1, \ldots, n} P_{i, j}\left(x_1, \ldots, x_k\right) де Pi,jP_{i, j} — многочлени від кількох змінних. Доведіть, що добуток двох метаполіномів також є метаполіномом.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-006

Описані чотирикутники з паралельними сторонами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник з непаралельними сторонами BCBC і ADAD. Припустимо, що існує точка EE на стороні BCBC така, що чотирикутники ABEDABED і AECDAECD є описаними. Доведіть, що існує точка FF на стороні ADAD така, що чотирикутники ABCFABCF і BCDFBCDF є описаними, тоді й лише тоді, коли сторона ABAB паралельна стороні CDCD.
10–11 класиВписане коло
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-016

Зображення остач сумою квадрата й п'ятого степеня

Доведіть, що для кожного простого p>100p > 100 і кожного цілого rr існують такі цілі числа aa і bb, що pp ділить a2+b5−ra^{2} + b^{5} - r.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-001

Ціле значення виразу за квадратичної умови

Дійсні числа aa, bb, cc такі, що a2+b2=2c2a^{2} + b^{2} = 2c^{2}, а також a≠ba \neq b, c≠−ac \neq -a, c≠−bc \neq -b. Доведіть, що (a+b+2c)(2a2−b2−c2)(a−b)(a+c)(b+c)\frac{(a+b+2c)\left(2a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)}{(a-b)(a+c)(b+c)} є цілим числом.
10–11 класиРозкладання на множники і розкрит…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-002

Коло, дотичне до паралелі через середину дуги

Нехай дано трикутник ABCABC, нехай PP — точка на описаному колі трикутника, що є серединою дуги BCBC, яка не містить AA. Пряму ll проведено через точку PP так, щоб ll була паралельною до ABAB. Позначимо через kk коло, яке проходить через точку BB і дотикається до прямої ll у точці PP. Нехай QQ — друга точка перетину кола kk з прямою ABAB (якщо другої точки перетину немає, покладемо Q=BQ = B). Доведіть, що AQ=ACAQ = AC.
10–11 класиТеорема про тризуб2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-003

Цілочисельний набір із заданими сумою і добутком

Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого існують nn цілих чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} (не обов'язково різних) з 1≤xk≤n,1≤k≤n1 \leq x_{k} \leq n, 1 \leq k \leq n, таких, що x1+x2+⋯+xn=n(n+1)2, і x1x2⋯xn=n!x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=\frac{n(n+1)}{2}, \quad \text{ і } \quad x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=n! але {x1,x2,…,xn}≠{1,2,…,n}\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\} \neq\{1,2, \ldots, n\}.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-004

Зростання послідовності розщепленням і стиранням нуля

На дошці написано число 11. Після цього послідовність чисел утворюється так: на кожному кроці кожне число aa на дошці замінюється числами a−1a-1 і a+1a+1; якщо з'являється число 00, його одразу стирають; якщо число трапляється більше ніж один раз, усі його входження залишають на дошці. Таким чином, на дошці буде 11 після 00 кроків; 22 після 11 кроку; 1,31, 3 після 22 кроків; 2,2,42, 2, 4 після 33 кроків і так далі. Скільки чисел буде на дошці після nn кроків?
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-004

Парність кількості достатніх підмножин хлопців і дівчат

Нехай задано скінченну групу хлопців і дівчат. Підмножину хлопців групи назвемо достатньою, якщо кожна дівчина знає хоч би одного хлопця з цієї підмножини, а підмножину дівчат назвемо достатньою, якщо кожен хлопець знає хоч би одну дівчину з цієї підмножини. Доведіть, що кількість достатніх підмножин хлопців має ту саму парність, що й кількість достатніх підмножин дівчат. Відношення знайомства симетричне, тобто якщо А знає Б, то й Б знає А.
10–11 класиПарність і непарність
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-001

Подільність 2²ⁿ⁺¹+1 на n без подільності 2ⁿ+1

Доведіть, що є нескінченно багато натуральних значень nn, для яких число 22n+1+12^{2^n+1}+1 ділиться на nn, а 2n+12^n+1 на nn не ділиться.
10–11 класиТеорема Ейлера
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-006

Лінійна оцінка монотонної функції з одноколірною адитивністю

Кожне натуральне число пофарбували в червоний або в синій колір. Функція f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} має такі властивості: — якщо x⩽yx \leqslant y, то f(x)⩽f(y)f(x) \leqslant f(y); — якщо натуральні числа xx, yy і zz (не обов'язково різні) пофарбовано в один колір, а x+y=zx + y = z, то f(x)+f(y)=f(z)f(x) + f(y) = f(z). Доведіть, що існує додатне число aa таке, що для всіх натуральних xx справджується нерівність f(x)⩽axf(x) \leqslant ax.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-005

Точка перетину медіан і описане коло трикутника PQR

У трикутнику ABCABC через DD, EE та FF позначили середини сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Коло, описане навколо трикутника BCFBCF, та пряма BEBE вдруге перетинаються у точці PP, а коло, описане навколо трикутника ABEABE, та пряма ADAD вдруге перетинаються у точці QQ. Прямі DPDP та FQFQ перетинаються в точці RR. Доведіть, що точка перетину медіан трикутника ABCABC лежить на описаному колі трикутника PQRPQR.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-002

Прямокутник 3x1 з трьома різними кольорами у таблиці nxn

Усі комірки квадратної таблиці n×nn \times n, n⩾3n \geqslant 3, пофарбували в один з [(n+2)23]\left[\dfrac{(n+2)^2}{3}\right] кольорів, причому в кожен колір пофарбували хоча б одну комірку. Доведіть, що в таблиці знайдеться прямокутник 3×13\times1 чи 1×31\times3, клітинки якого розфарбовано у три різні кольори.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-003

Кола через вершини трикутника, дотичні до вписаного кола

Точки II та OO — центри відповідно вписаного та описаного кіл трикутника ABCABC. Нехай ωA\omega_A — коло, що проходить через точки BB й CC, а також дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC. Кола ωB\omega_B та ωC\omega_C визначимо аналогічно. Нехай також A′A' — відмінна від AA точка перетину кіл ωB\omega_B та ωC\omega_C, B′B' і C′C' — точки, визначені в аналогічний спосіб. Доведіть, що прямі AA′AA', BB′BB' і CC′CC' перетинаються в одній точці і ця точка належить прямій IOIO.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-014

Вписаний чотирикутник проєкцій і подібні трикутники на сторонах

Нехай EE — внутрішня точка опуклого чотирикутника ABCDABCD. Нехай FF, GG, HH і II — точки, що лежать по інший бік прямих ABAB, BCBC, CDCD і DADA відповідно, ніж чотирикутник, такі, що △ABF∼△DCE\triangle ABF \sim \triangle DCE, △BCG∼△ADE\triangle BCG \sim \triangle ADE, △CDH∼△BAE\triangle CDH \sim \triangle BAE і △DAI∼△CBE\triangle DAI \sim \triangle CBE. Нехай PP, QQ, RR і SS — проєкції точки EE на прямі ABAB, BCBC, CDCD і DADA відповідно. Доведіть, що якщо чотирикутник PQRSPQRS є вписаним, то EF⋅CD=EG⋅DA=EH⋅AB=EI⋅BC.EF \cdot CD = EG \cdot DA = EH \cdot AB = EI \cdot BC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.