Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 708 задач
Міжнародні олімпіади
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-001

Додатні числа і вирази з тим самим упорядкуванням

Задано n⩾3n \geqslant 3 додатних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. Для кожного 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n покладемо bi=ai−1+ai+1aib_i = \dfrac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i} (тут уважаємо, що a0=ana_0 = a_n та a1=an+1a_1 = a_{n+1}). Припустимо, що для всіх ii та jj від 11 до nn справджується твердження ai⩽aja_i \leqslant a_j тоді й тільки тоді, коли bi⩽bjb_i \leqslant b_j.
10–11 класиНерівність Коші
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-002

Пряма KL через ортоцентр гострокутного трикутника

Задано гострокутний трикутник ABCABC. Позначимо таку точку DD на його описаному колі, у якому ADAD — діаметр. Припустимо, що точки KK та LL належать відрізкам ABAB та ACAC відповідно, а прямі DKDK та DLDL дотикаються до описаного кола трикутника AKLAKL. Доведіть, що пряма KLKL проходить через ортоцентр трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-003

Найменша кількість слів для заповнення таблиці k × k

Нехай kk — натуральне число. Гуска Стефанія має словник DD, що складається з кількох слів завдовжки kk, кожне з яких містить лише літери AA та BB. Стефанія хоче записати в кожну клітинку таблиці k×kk \times k літеру AA або BB так, щоб кожний стовпець містив слово зі словника DD при читанні згори донизу, а кожний рядок містив слово зі словника DD при читанні зліва направо. Якщо словник містить хоча б mm різних слів, то Стефанія може заповнити таблицю в описаний спосіб, незалежно від того, які слова містяться в ньому. Яким може бути при цьому найменше ціле число mm?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-004

Равлик на колі та ніколи не пройдена точка

Равлик Степан сидить у деякій точці кола завдовжки 11. Задано нескінченну послідовність додатних дійсних чисел c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots. Равлик Степан послідовно проповзає відстані c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots вздовж кола, щоразу вибираючи, повзти йому за рухом годинникової стрілки чи проти руху годинникової стрілки. Наприклад, якщо послідовність c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots задано як числа 0,40{,}4, 0,60{,}6, 0,30{,}3, …\ldots, то Степан може повзти таким чином, як це показано на рис. 9.1. Визначте найбільшу сталу C>0C > 0 з такою властивістю: для довільної послідовності додатних дійсних чисел c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots такої, що ci<Cc_i < C для всіх натуральних ii, Степан може (після дослідження послідовності) гарантувати, що на колі знайдеться точка, у якій він ніколи не зупинявся та не проповзав над нею.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-005

Великодні числа та поява одиниці в послідовності

Задано натуральне число s⩾2s \geqslant 2. Для кожного натурального kk його Великодним числом назвемо число k′k', яке визначається в такий спосіб: запишемо kk як суму as+bas + b, де aa, bb — цілі невід’ємні числа, а b<sb < s, тоді k′=bs+ak' = bs + a. Для натурального числа nn розглянемо нескінченну послідовність d1,d2,d3,…d_1, d_2, d_3, \ldots, де di+1d_{i+1} є Великодним числом числа did_i для кожного натурального ii. Доведіть, що ця послідовність містить 11 тоді й тільки тоді, коли остача від ділення числа nn на s2−1s^2 - 1 дорівнює 11 або ss.
10–11 класиОстача від ділення
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-006

Пряма INa і спільна пряма двох дотичних кіл

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC. Через SbS_b та ScS_c позначимо середини дуг ACAC та ABAB відповідно, що не містять третю вершину трикутника ABCABC, а через NaN_a позначимо середину дуги BACBAC (дуга BCBC, що містить вершину AA). Нехай ωb\omega_b — коло, що дотикається до прямої ABAB та внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega у точці SbS_b. Нехай ωc\omega_c — коло, що дотикається до прямої ACAC та внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega у точці ScS_c. Доведіть, що пряма INaIN_a та пряма, яка проходить через точку перетину кіл ωb\omega_b та ωc\omega_c, перетинаються на колі Ω\Omega, де через II позначено центр вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиРадикальна вісь
Європейський математичний кубокEMC-2023-001

Сума трьох НСД та НСД чисел b і c

Натуральні числа aa, bb, cc задовольняють умову НСД(a,b)+НСД(a,c)+НСД(b,c)=b+c+2023.\text{НСД}(a, b) + \text{НСД}(a, c) + \text{НСД}(b, c) = b + c + 2023. Доведіть, що НСД(b,c)=2023\text{НСД}(b, c) = 2023.
7–10 класиНСД та НСК
Європейський математичний кубокEMC-2023-002

Видалення точок і сума змін вершин опуклої оболонки

Задано натуральне число n⩾5n \geqslant 5. На площині позначено nn точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Кожного дня Том прибирає одну з точок, допоки не залишиться лише три точки. В ii-день, 1⩽i⩽n−31 \leqslant i \leqslant n-3, перед тим як прибрати чергову точку, Том записує кількість вершин v(i)v(i), які має опукла оболонка всіх точок, що залишилися. В останній день він записує число v(n−2)=3v(n-2)=3. Знайдіть найбільше можливе значення виразу: ∣v(1)−v(2)∣+∣v(2)−v(3)∣+…+∣v(n−3)−v(n−2)∣|v(1)-v(2)|+|v(2)-v(3)|+\ldots+|v(n-3)-v(n-2)| серед усіх можливих початкових конфігурацій nn точок на площині та всіх можливих послідовностей ходів Тома. Примітка. Опуклою оболонкою скінченного набору точок на площині називають найменший опуклий многокутник, що містить усі зазначені точки (як усередині, так і на межі).
7–10 класиОпуклі множини
Європейський математичний кубокEMC-2023-003

Перетин прямих NF, DE та GM у трикутнику

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Точки MM та NN — це середини відрізків BCBC та ABAB відповідно. Коло, побудоване на відрізку ABAB як на діаметрі, перетинає прямі BCBC, AMAM та ACAC у точках DD, EE та FF відповідно. Точка GG є серединою відрізка FCFC. Доведіть, що прямі NFNF, DEDE та GMGM перетинаються в одній точці.
7–10 класиРадикальна вісь
Європейський математичний кубокEMC-2023-004

Найменша зважена сума приємного набору

Набір із 20232023 невід’ємних цілих чисел (a1,a2,…,a2023)(a_1, a_2, \ldots, a_{2023}) назвемо приємним, якщо виконуються такі дві умови: - a1+a2+…+a2023=2023a_1 + a_2 + \ldots + a_{2023} = 2023; - a121+a222+…+a202322023⩽1\frac{a_1}{2^1} + \frac{a_2}{2^2} + \ldots + \frac{a_{2023}}{2^{2023}} \leqslant 1. Знайдіть найбільше натуральне число LL, для якого нерівність a1+2a2+…+2023a2023⩾La_1 + 2a_2 + \ldots + 2023a_{2023} \geqslant L справджується для всіх приємних наборів (a1,a2,…,a2023)(a_1, a_2, \ldots, a_{2023}).
7–10 класиМетод Штурма
Європейський математичний кубокEMC-2023-005

Усі множини дійсних чисел з коренем різниці квадратів

Знайдіть усі множини дійсних чисел SS такі, що: - 11 є найменшим елементом множини SS, - для всіх x,y∈Sx, y \in S таких, що x>yx > y, справджується умова x2−y2∈S\sqrt{x^2 - y^2} \in S.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Європейський математичний кубокEMC-2023-006

Прямокутний трикутник і рівні радіуси двох кіл

Дано трикутник ABCABC такий, що ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Точка MM є серединою відрізка EFEF. Точка PP — це проєкція точки AA на пряму BCBC. Прямі MPMP та ADAD перетинаються в точці KK. Доведіть, що описані кола трикутників AFEAFE та PDKPDK мають рівні радіуси.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейський математичний кубокEMC-2023-007

Найбільша розділена підмножина двійкових послідовностей

Дано натуральне число nn. Нехай BnB_n — це множина всіх двійкових послідовностей завдовжки nn. Для двійкової послідовності s1s2…sns_1s_2\ldots s_n визначимо її зміну таким чином. Спершу порахуємо, зі скількох блоків послідовних однакових цифр складається ця послідовність. Позначимо цю кількість як bb. Тоді замінимо член послідовності sbs_b на число 1−sb1-s_b. Послідовність (a)(a) назвемо нащадком послідовності (b)(b), якщо aa можна отримати з підмножини bb за допомогою скінченної кількості змін. Підмножину множини BnB_n назвемо розділеною, якщо жодні два елементи цієї підмножини не мають спільного нащадка. Знайдіть найбільшу кількість елементів, яку може мати розділена підмножина множини BnB_n.
10–11 класиЗв’язність
Європейський математичний кубокEMC-2023-008

Ін'єктивність функції з умовою про повні квадрати

Нехай функція f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} така, що для всіх натуральних чисел xx та yy число f(x)+yf(x) + y є повним квадратом тоді й тільки тоді, коли число x+f(y)x + f(y) є повним квадратом. Доведіть, що ff — ін’єктивна функція. Примітка. Функцію f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} називають ін’єктивною, якщо для всіх пар (x,y)(x, y) різних натуральних чисел справджується умова f(x)≠f(y)f(x) \neq f(y).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-001

Складені числа з умовою подільності сусідніх дільників

Знайдіть усі складені натуральні числа n>1n > 1, які задовольняють таку умову: якщо d1,d2,…,dkd_1, d_2, \ldots, d_k — це всі натуральні дільники числа nn, причому 1=d1<d2<…<dk=n1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n, то число di+1+di+2d_{i+1} + d_{i+2} ділиться націло на did_i для всіх 1⩽i⩽k−21 \leqslant i \leqslant k - 2.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-002

Нескінченні послідовності з многочленом і добутком членів

Для кожного натурального k⩾2k \geqslant 2 знайдіть усі нескінченні послідовності натуральних чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots, для яких існує многочлен вигляду P(x)=xk+ck−1xk−1+…+c1x+c0,P(x) = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + \ldots + c_1x + c_0, де c0,c1,…,ck−1c_0, c_1, \ldots, c_{k-1} — цілі невід’ємні числа, такий що P(an)=an+1an+2…an+kP(a_n) = a_{n+1}a_{n+2}\ldots a_{n+k} для n⩾1n \geqslant 1.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-003

Різні додатні числа та цілі значення коренів сум

Нехай x1,x2,…,x2023x_1, x_2, \ldots, x_{2023} — це попарно різні додатні дійсні числа, такі що число an=(x1+x2+…+xn)(1x1+…+1xn)a_n = \sqrt{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n)\left(\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}\right)} є цілим для всіх n=1,2023‾n = \overline{1, 2023}. Доведіть, що a2023⩾3034a_{2023} \geqslant 3034.
10–11 класиНерівність Коші
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-004

Шлях ніндзя з найменшою кількістю сірих кружків

Дано натуральне число nn. Японський трикутник складається з 1+2+…+n1 + 2 + \ldots + n кружків, розташованих у формі рівностороннього трикутника так, що для кожного i=1,n‾i = \overline{1, n} ii-й рядок містить ii кружків та рівно один із них пофарбовано сірим кольором. Шляхом ніндзя в японському трикутнику назвемо довільну послідовність із nn кружків, яку отримано в такий спосіб: починаємо з єдиного кружка у верхньому рядку та послідовно спускаємося з нього до одного з двох кружків, що знаходяться одразу під даним, та закінчуємо кружком у нижньому рядку. На рис. 6.1 зображено приклад японського трикутника для n=6n = 6 разом із прикладом шляху ніндзя для цього трикутника, який містить два сірих кружки. Знайдіть залежно від nn найбільше натуральне kk таке, щоб у довільному японському трикутнику існував шлях ніндзя, який містить найменшу кількість kk сірих кружків.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-005

Перетин описаних кіл трикутників AA1A2, BB1B2 і CC1C2

Дано рівносторонній трикутник ABCABC. Точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 — внутрішні точки трикутника ABCABC такі, що BA1=A1CBA_1 = A_1C, CB1=B1ACB_1 = B_1A, AC1=C1BAC_1 = C_1B та ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C + \angle CB_1A + \angle AC_1B = 480^\circ. Нехай прямі BC1BC_1 та CB1CB_1 перетинаються в точці A2A_2, прямі CA1CA_1 та AC1AC_1 перетинаються в точці B2B_2, а прямі AB1AB_1 та BA1BA_1 перетинаються в точці C2C_2. Доведіть, що коли трикутник A1B1C1A_1B_1C_1 різносторонній, то перетином описаних кіл трикутників AA1A2AA_1A_2, BB1B2BB_1B_2 та CC1C2CC_1C_2 є рівно дві точки.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-001

Мінімізація суми абсолютних відхилень

Професор Оук годує своїх 100 покемонів. Кожен покемон має миску, місткість якої — додатне дійсне число кілограмів. Ці місткості відомі професору Оуку. Сумарна місткість усіх мисок становить 100 кілограмів. Професор Оук розподіляє 100 кілограмів їжі так, що кожен покемон отримує невід'ємну цілу кількість кілограмів їжі (яка може бути більшою за місткість його миски). Рівень незадоволення покемона, який отримав NN кілограмів їжі і чия миска має місткість CC кілограмів, дорівнює ∣N−C∣|N-C|. Знайдіть найменше дійсне число DD таке, що незалежно від місткостей мисок професор Оук може розподілити їжу так, щоб сума рівнів незадоволення всіх 100 покемонів була не більшою за DD.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-005

Перетин перпендикулярів на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AC>BCAC > BC. Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCABC, а rr — радіус кола ω\omega. Точка PP лежить на відрізку ACAC так, що BC=CPBC = CP, а точка SS — основа перпендикуляра, опущеного з PP на пряму ABAB. Нехай промінь BPBP перетинає ω\omega вдруге в точці DD, а точка QQ лежить на прямій SPSP так, що PQ=rPQ = r, причому точки S,P,QS, P, Q лежать на цій прямій саме в такому порядку. Нарешті, нехай пряма, проведена через AA перпендикулярно до CQCQ, перетинає пряму, проведену через BB перпендикулярно до DQDQ, у точці EE. Доведіть, що EE лежить на колі ω\omega.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-006

Перетин прямих у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, у якому ∠BAD<∠ADC\angle BAD < \angle ADC. Нехай MM — середина дуги CDCD, що не містить AA. Припустимо, що всередині чотирикутника ABCDABCD існує точка PP така, що ∠ADB=∠CPD\angle ADB = \angle CPD і ∠ADP=∠PCB\angle ADP = \angle PCB. Доведіть, що прямі ADAD, PMPM, BCBC перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-007

Перетин дотичної на бісектрисі кута

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Позначимо його описане коло через Ω\Omega, а середину дуги CABCAB — через SS. Нехай перпендикуляр з AA до BCBC перетинає BSBS і Ω\Omega у точках DD і E≠AE \neq A відповідно. Нехай пряма через DD, паралельна до BCBC, перетинає пряму BEBE у точці LL, а описане коло трикутника BDLBDL позначимо через ω\omega. Нехай коло ω\omega перетинає Ω\Omega знову в точці P≠BP \neq B. Доведіть, що дотична до кола ω\omega в точці PP і пряма BSBS перетинаються на внутрішній бісектрисі кута ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиГомотерія і подібність3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-008

Найменша кількість частин смужки для квадрата з подільністю

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Пол має прямокутну смужку 1×n21 \times n^{2}, що складається з n2n^{2} одиничних квадратиків, де i-йi^{\text{-й}} квадратик позначено числом ii для всіх 1⩽i⩽n21 \leqslant i \leqslant n^{2}. Він хоче розрізати смужку на кілька частин, кожна з яких складається з кількох послідовних одиничних квадратиків, а потім паралельним перенесенням (без поворотів і перегортань) скласти з цих частин квадрат n×nn \times n з такою властивістю: якщо одиничний квадратик в i-йi^{\text{-й}} рядку та j-йj^{\text{-й}} стовпчику позначено числом aija_{ij}, то aij−(i+j−1)a_{ij}-(i+j-1) ділиться на nn. Знайдіть найменшу кількість частин, на які Полу потрібно розрізати смужку, щоб це здійснити.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-012

Арифметична прогресія зсунутих добутків

Нехай a1,a2,…,an,b1,b2,…,bna_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n} — 2n2n натуральних чисел таких, що n+1n+1 добутків a1a2a3⋯an,b1a2a3⋯an,b1b2a3⋯an,⋮b1b2b3⋯bn\begin{gathered} a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{n}, \\ b_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{n}, \\ b_{1} b_{2} a_{3} \cdots a_{n}, \\ \vdots \\ b_{1} b_{2} b_{3} \cdots b_{n} \end{gathered} у такому порядку утворюють строго зростаючу арифметичну прогресію. Визначте найменше натуральне число, яке може бути різницею такої арифметичної прогресії.
10–11 класиНСД та НСК

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.