Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 708 задач
Міжнародні олімпіади
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-002

Нерівність x(f(x)+f(y)) ≥ (f(f(x))+y)f(y)

Нехай R>0\mathbb{R}_{>0} — множина додатних дійсних чисел. Знайдіть усі функції f:R>0→R>0f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0} такі, що x(f(x)+f(y))⩾(f(f(x))+y)f(y)x(f(x)+f(y)) \geqslant (f(f(x))+y) f(y) для всіх x,y∈R>0x, y \in \mathbb{R}_{>0}.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-003

Перестановка з різницями сусідніх членів

Нехай a1,a2,…,a2023a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2023} — натуральні числа такі, що - a1,a2,…,a2023a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2023} — перестановка чисел 1,2,…,20231,2, \ldots, 2023, і - ∣a1−a2∣,∣a2−a3∣,…,∣a2022−a2023∣\left|a_{1}-a_{2}\right|,\left|a_{2}-a_{3}\right|, \ldots,\left|a_{2022}-a_{2023}\right| — перестановка чисел 1,2,…,20221,2, \ldots, 2022. Доведіть, що max⁡(a1,a2023)⩾507\max \left(a_{1}, a_{2023}\right) \geqslant 507.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-009

Скрині зі скарбами з обмеженою різницею

Еліза має 2023 скрині зі скарбами, усі вони спочатку відімкнені й порожні. Щодня Еліза додає новий самоцвіт в одну з відімкнених скринь на свій вибір, а після цього фея діє за такими правилами: - якщо відімкнено більше ніж одну скриню, вона замикає одну з них, або - якщо відімкнена лише одна скриня, вона відмикає всі скрині. Відомо, що цей процес триває нескінченно довго. Доведіть, що існує стала CC з такою властивістю: Еліза може забезпечити, щоб різниця між кількостями самоцвітів у будь-яких двох скринях ніколи не перевищувала CC, незалежно від того, як фея вибирає скрині для замикання.
10–11 класиЖадібний алгоритм2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-013

Кавайні послідовності та подільність

Послідовність цілих чисел a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots називається кавайною, якщо a0=0,a1=1a_{0}=0, a_{1}=1 і для будь-якого натурального числа nn виконується (an+1−3an+2an−1)(an+1−4an+3an−1)=0.\left(a_{n+1}-3 a_{n}+2 a_{n-1}\right)\left(a_{n+1}-4 a_{n}+3 a_{n-1}\right)=0 . Ціле число називається кавайним, якщо воно належить деякій кавайній послідовності. Припустимо, що два послідовні додатні цілі числа mm і m+1m+1 є кавайними (не обов’язково належать одній і тій самій кавайній послідовності). Доведіть, що 3 ділить mm і що m/3m / 3 є кавайним.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-010

Розбиття дошки на монотонні шляхи

Нехай NN — натуральне число, розглянемо клітинну дошку N×NN \times N. Шляхом вправо-вниз називається послідовність клітин дошки, в якій кожна клітина розташована або на одну клітину праворуч, або на одну клітину нижче від попередньої клітини в послідовності. Шляхом вправо-вгору називається послідовність клітин дошки, в якій кожна клітина розташована або на одну клітину праворуч, або на одну клітину вище від попередньої клітини в послідовності. Доведіть, що клітини дошки N×NN \times N не можна розбити на менше ніж NN шляхів вправо-вниз або вправо-вгору. Наприклад, таке розбиття дошки 5×55 \times 5 використовує 5 шляхів.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-014

Сума чисел з умовою на гармонійне середнє

Нехай a,b,c,da, b, c, d — натуральні числа, що задовольняють aba+b+cdc+d=(a+b)(c+d)a+b+c+d\frac{a b}{a+b}+\frac{c d}{c+d}=\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d} Знайдіть усі можливі значення a+b+c+da+b+c+d.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-011

Розфарбування ребер повного графа з гамільтоновою умовою

Архіпелаг Імомі складається з n⩾2n \geqslant 2 островів. Між кожною парою різних островів пролягає єдина поромна лінія, що працює в обох напрямках, і кожна поромна лінія обслуговується однією з kk компаній. Відомо, що якщо будь-яка одна з kk компаній закриє всі свої поромні лінії, то мандрівник, з якого б острова він не починав свій шлях, не зможе відвідати всі острови рівно по одному разу (зокрема, не повертаючись на острів, з якого він вирушив). Знайдіть найбільше можливе значення kk залежно від nn.
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-004

Перестановки з обмеженою сумою коренів

Нехай NN — додатне ціле число. Доведіть, що існують три перестановки a1,a2,…,aNa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}; b1,b2,…,bNb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{N}; та c1,c2,…,cNc_{1}, c_{2}, \ldots, c_{N} чисел 1,2,…,N1,2, \ldots, N такі, що ∣ak+bk+ck−2N∣<2023\left|\sqrt{a_{k}}+\sqrt{b_{k}}+\sqrt{c_{k}}-2 \sqrt{N}\right|<2023 для кожного k=1,2,…,Nk=1,2, \ldots, N.
10–11 класиКонструкція за індукцією3 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-001

Сума кубів дорівнює p(xy + p)

Знайдіть усі прості числа pp і всі натуральні числа xx та yy такі, що x3+y3=p(xy+p).x^3 + y^3 = p(xy + p).
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-002

Чудові та гарні трикутники на n точках

Зафіксуємо натуральне число n⩾3n \geqslant 3. Нехай SS — це множина nn точок на площині, жодні три з яких не є колінеарними. Для попарно різних точок AA, BB, CC із множини SS назвемо трикутник ABCABC чудовим для сторони ABAB, якщо SABC⩽SABXS_{ABC} \leqslant S_{ABX} для будь-якої точки XX із множини SS, що відмінна від точок AA та BB. Трикутник назвемо гарним, якщо його вершини належать множині SS і він є чудовим принаймні для двох його сторін. Доведіть, що існує щонайменше 12(n−1)\frac{1}{2}(n-1) гарних трикутників. Примітка. Для одного відрізка ABAB може бути декілька чудових трикутників.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-003

Найменший степінь многочлена для вершин правильного 2n-кутника

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число, а ff — многочлен з дійсними коефіцієнтами від 4n4n змінних. Припустимо, що для будь-яких 2n2n точок (x1,y1),…,(x2n,y2n)(x_1, y_1), \ldots, (x_{2n}, y_{2n}) на декартовій площині значення многочлена f(x1,y1,…,x2n,y2n)=0f(x_1, y_1, \ldots, x_{2n}, y_{2n}) = 0 тоді й тільки тоді, коли ці точки утворюють у деякому порядку вершини правильного 2n2n-кутника або всі збігаються. Знайдіть найменший можливий степінь многочлена ff. Примітка. Нагадаємо, що степінь многочлена дорівнює найбільшому зі степенів одночленів у його складі, тобто сумі показників степенів усіх змінних цього одночлена. Наприклад, степінь многочлена g(x,y)=4x3y4+yx+x−2g(x, y) = 4x^3y^4 + yx + x - 2 дорівнює 77, оскільки 7=3+47 = 3 + 4.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-004

Середина відрізка AH і проєкції точок B і C

У гострокутному трикутнику ABCABC нехай точки HH та OO є ортоцентром і центром описаного кола відповідно. Нехай точка KK — це середина відрізка AHAH. Нехай ll — це пряма, що проходить через точку OO, а точки PP та QQ — ортогональні проєкції на пряму ll точок BB і CC відповідно. Доведіть, що KP+KQ⩾BCKP + KQ \geqslant BC.
10–11 класиПоворот
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-005

Рівність композицій многочленів з подільними степенями

Нехай P(x)P(x), Q(x)Q(x), R(x)R(x) і S(x)S(x) — це непостійні многочлени з дійсними коефіцієнтами такі, що P(Q(x))=R(S(x))P(Q(x)) = R(S(x)). Припустимо, що степінь многочлена P(x)P(x) ділиться на степінь многочлена R(x)R(x). Доведіть, що існує многочлен T(x)T(x) з дійсними коефіцієнтами такий, що P(x)=R(T(x))P(x) = R(T(x)).
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-006

Кістякове дерево із заданою кількістю кольорових ребер

Нехай rr, gg, bb — це цілі невід’ємні числа. Нехай Γ\Gamma — це зв’язний граф на r+g+b+1r + g + b + 1 вершинах. Кожне ребро графа Γ\Gamma пофарбовано в червоний, зелений або синій колір. Виявилося, що граф Γ\Gamma містить: - кістякове дерево, у якому рівно rr з усіх ребер є червоними; - кістякове дерево, у якому рівно gg з усіх ребер є зеленими; - кістякове дерево, у якому рівно bb з усіх ребер є синіми. Доведіть, що граф Γ\Gamma містить кістякове дерево, у якому рівно rr червоних ребер, рівно gg зелених ребер і рівно bb синіх ребер. Примітка. Кістякове дерево графа Γ\Gamma — це граф, який має ті ж самі вершини, що й граф Γ\Gamma, ребра якого є також ребрами графа Γ\Gamma і для якого існує рівно один шлях між будь-якими двома його різними вершинами.
10–11 класиДерева
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-001

Гра на клітчастій дошці з квадратами k × k

Задано натуральне число k⩽2022k \leqslant 2022. Анна та Богдан грають у таку гру на клітчастій дошці розміром 2022×20222022 \times 2022 клітинки. На початку гри всі клітинки є білими. Гравці роблять ходи по черзі, починає Анна. У свій хід Анна може або пофарбувати одну білу клітинку в жовтий колір, або пропустити свій хід, а Богдан у свій хід може або пофарбувати квадрат розміром k×kk \times k клітинок, усі клітинки якого є білими, у синій колір, або пропустити свій хід. Як тільки обидва гравці пропускають свій хід, гра завершується, і того, хто зафарбував більше клітинок, оголошують переможцем (у грі можлива нічия). Для кожного 1⩽k⩽20221 \leqslant k \leqslant 2022 визначте, чи має хтось із гравців виграшну стратегію, і якщо так, то хто саме.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-002

Функціональне рівняння з дробом y+1 поділеним на f(y)

Знайдіть усі такі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f: (0, +\infty) \to (0, +\infty), що рівність f(f(x)+y+1f(y))=1f(y)+x+1f\left(f(x) + \frac{y+1}{f(y)}\right) = \frac{1}{f(y)} + x + 1 справджується для всіх x,y>0x, y > 0.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-003

Два кола, що перетинаються, пряма і дотичні

Кола Ω1\Omega_1 і Ω2\Omega_2 різних радіусів перетинаються у двох точках, позначимо одну з них через PP. Змінна пряма ℓ\ell, що проходить через точку PP, перетинає в точці X1X_1 дугу кола Ω1\Omega_1, яка лежить зовні кола Ω2\Omega_2, та перетинає в точці X2X_2 дугу Ω2\Omega_2, яка лежить зовні кола Ω1\Omega_1. Нехай RR — це така точка на відрізку X1X2X_1X_2, що X1P=RX2X_1P = RX_2. Дотична до кола Ω1\Omega_1, що проходить через точку X1X_1, перетинає дотичну до кола Ω2\Omega_2, проведену через точку X2X_2, у точці TT. Доведіть, що пряма RTRT дотикається до фіксованого кола, яке не залежить від вибору прямої ℓ\ell.
10–11 класиСиметрія
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-004

Кількість і сума дільників та корінь із числа

Для кожного натурального nn позначимо через τ(n)\tau(n) кількість додатних дільників числа nn, а через σ(n)\sigma(n) — суму всіх додатних дільників числа nn. Знайдіть усі натуральні nn, що задовольняють рівність σ(n)=τ(n) [x]⋅n [x].\sigma(n) = \tau(n)\,[x] \cdot \sqrt{n}\,[x]. Примітка. Тут через [x][x] позначено найменше ціле число, що не менше за xx.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-005

Бісектриса, перпендикуляр до BC і коло через чотири точки

У трикутнику ABCABC, у якому AB<ACAB < AC, точка OO є центром описаного кола. Бісектриса кутів BACBAC перетинає сторону BCBC в точці DD. Пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до сторони BCBC, перетинає відрізок AOAO в точці XX. Нехай точка YY — це середина відрізка ADAD. Доведіть, що точки BB, CC, XX, YY лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-006

S-гарне слово з однаковою кількістю перестановок

Розглянемо 26 літер латинського алфавіту A,…,ZA, \ldots, Z. Словом назвемо будь-яку скінченну послідовність цих літер. Назвемо слово ss-гарним, якщо воно містить кожну з 26 літер цього алфавіту й кожна перестановка літер A,…,ZA, \ldots, Z трапляється в ньому як підпослідовність одну й ту саму кількість разів. Доведіть, що: а) гарне слово існує; б) будь-яке гарне слово містить принаймні 2022 літери. Примітка. Тут перестановка 26 літер π\pi трапляється як підпослідовність у слові s=s1s2s3…s = s_1 s_2 s_3 \ldots, якщо існують 26 таких індексів i1<i2<…<i26i_1 < i_2 < \ldots < i_{26}, що π=si1si2…si26\pi = s_{i_1} s_{i_2} \ldots s_{i_{26}}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-001

Ортоцентр, описане коло APQ і перетин BQ з CP

У гострокутному трикутнику ABCABC відомо, що BC<ABBC < AB та BC<CABC < CA. Точки PP і QQ вибрано на відрізках ABAB та ACAC відповідно так, що P≠BP \neq B, Q≠CQ \neq C і BQ=BC=CPBQ = BC = CP. Через TT позначили центр описаного кола трикутника APQAPQ, через HH — ортоцентр трикутника ABCABC, через SS — точку перетину прямих BQBQ та CPCP. Доведіть, що точки TT, HH та SS лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-002

Функції з умовами на добуток, суму і рівність

Знайдіть усі такі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, що для всіх натуральних чисел aa та bb виконуються дві умови: 1) f(ab)=f(a)f(b)f(ab) = f(a)f(b); 2) серед чисел f(a)f(a), f(b)f(b) та f(a+b)f(a + b) є хоча б два однакових.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-003

Квадратна послідовність із сумами у вигляді квадратів

Нескінченну послідовність натуральних чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots назвемо квадратною, якщо: 1) a1a_1 є точним квадратом; 2) для всіх натуральних n⩾2n \geqslant 2 ana_n є найменшим натуральним числом, для якого na1+(n−1)a2+…+2an−1+anna_1 + (n-1)a_2 + \ldots + 2a_{n-1} + a_n є точним квадратом. Доведіть, що для будь-якої квадратної послідовності a1,a2,…a_1, a_2, \ldots існує таке натуральне число kk, що рівність an=aka_n = a_k виконується для всіх натуральних n⩾kn \geqslant k.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-004

Найдовша послідовність дійсних чисел з двома умовами

Для кожного натурального n⩾2n \geqslant 2 знайдіть таке найбільше натуральне NN, що існують N+1N + 1 дійсне число a0,a1,…,aNa_0, a_1, \ldots, a_N, для яких: 1) a0+a1=−1na_0 + a_1 = -\frac{1}{n}; 2) (ak+ak−1)(ak+ak+1)=ak−1−ak+1(a_k + a_{k-1})(a_k + a_{k+1}) = a_{k-1} - a_{k+1}, де 1⩽k⩽N−11 \leqslant k \leqslant N - 1.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-005

Непарність кількості розбиттів дошки n × 2k на доміно

Для всіх натуральних nn та kk через f(n,2k)f(n, 2k) позначимо кількість способів розбити дошку розміром n×2kn \times 2k клітинки на nknk кісточок доміно розміром 2×12 \times 1 клітинку (наприклад, f(2,2)=2f(2, 2) = 2 та f(3,2)=3f(3, 2) = 3). Знайдіть усі такі натуральні nn, що для кожного натурального kk число f(n,2k)f(n, 2k) є непарним.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.