Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

692 задачі
Всеукраїнський етап
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-111

Дотик кіл через симетричні відносно сторін точки

У трикутнику ABCABC пряма, яка не збігається зі сторонами трикутника та проходить через точку AA, перетинає висоти BH2BH_2 та CH3CH_3 у точках D1D_1 та E1E_1 відповідно. Точки D2D_2 та E2E_2 симетричні точкам D1D_1 та E1E_1 відносно сторін ABAB і ACAC відповідно. Доведіть, що кола, описані навколо трикутників D2ABD_2AB та E2ACE_2AC, дотикаються.
10 класСиметрія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-115

Найбільша кількість есмінців, що напевно вціліє

На острів насуває ескадра, у якій є 1010 потужних есмінців, а також 2020 невеликих катерів. Усі судна вишикувані в одну лінію, причому відстані між сусідніми суднами рівні, і саме так вони наближаються до острова. Захищають острів два торпедоносних катери, у кожного з яких є рівно по 1010 торпед. Пускові установки в них налаштовані так, що перший може випустити водночас усі 1010 торпед по сусідніх 1010 цілях, а другий — усі 1010 торпед по 1010 цілях, які йдуть через одну. Відомо, що катери стріляють одночасно (тобто в деякі цілі можуть улучити водночас дві торпеди). Яка найбільша кількість есмінців може напевно залишитися цілою за будь-яких дій оборони острова?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-116

Рекурентна послідовність з рівно 2018 різними членами

Послідовність (xn)(x_n) задано умовами x1=ax_1 = a, xn+1=12(xn−1xn)x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(x_n - \dfrac{1}{x_n}\right), n∈Nn \in \mathbb{N}. Доведіть, що існує aa, для якого послідовність (xn)(x_n) містить рівно 20182018 попарно різних членів. Примітка. Якщо деякий член послідовності дорівнює 0, то послідовність на цьому елементі обривається.
11 класТригонометричні заміни
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-117

Радіуси описаних кіл трикутників KIL і ABC

Дано гострокутний трикутник ABCABC, AA1AA_1 і CC1CC_1 — його бісектриси, точка II — центр вписаного кола, точки MM і NN — середини відрізків AIAI та CICI відповідно. Усередині трикутників AC1IAC_1I та A1CIA_1CI відповідно вибрали точки KK і LL так, що ∠AKI=∠CLI=∠AIC\angle AKI=\angle CLI=\angle AIC, ∠AKM=∠ICA\angle AKM=\angle ICA, ∠CLN=∠IAC\angle CLN=\angle IAC. Доведіть, що радіуси описаних кіл трикутників KILKIL та ABCABC рівні.
11 класТеорема про тризуб
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-096

Добуток п'яти чисел і парність їх суми

Олеся вибрала п’ять чисел із множини {1;2;3;4;5;6;7}\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}. Вона повідомила значення їхнього добутку Павлику та попросила його визначити парність суми вибраних нею чисел. Павлик відповів, що він не може цього зробити однозначно. Яким міг бути добуток вибраних Олесею чисел?
8 класПарність та непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-097

Кути трикутника з бісектрисою, висотою і паралельністю

У гострокутному трикутнику ABCABC (∠ACB=60∘\angle ACB = 60^\circ) проведено бісектрису BLBL та висоту BHBH. З точки LL на сторону BCBC опущено перпендикуляр LDLD. Знайдіть кути трикутника ABCABC, якщо AB∥HDAB \parallel HD.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-098

Натуральні n з натуральною сумою з коренями

При яких натуральних nn число NN також є натуральним, де N=2⋅112+1+4+12−1+4+2⋅222+2+4+22−2+4+…+2nn2+n+4+n2−n+4 ?N=\frac{2\cdot 1}{\sqrt{1^2+1+4}+\sqrt{1^2-1+4}}+\frac{2\cdot 2}{\sqrt{2^2+2+4}+\sqrt{2^2-2+4}}+\ldots+\frac{2n}{\sqrt{n^2+n+4}+\sqrt{n^2-n+4}}\,?
8 класСуми послідовностей
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-099

Симетричне розсування фішок по клітинках квадрата

У деякій клітинці квадрата n×nn \times n, розбитого на n2n^2 клітинок, лежить n2n^2 фішок. За один крок дозволено з клітинки, у якій розташовано не менше двох фішок, пересунути по одній фішці у дві клітинки, що симетричні відносно даної та мають з нею принаймні одну спільну точку. Чи можливо, щоб через декілька кроків у кожній клітинці квадрата знаходилося рівно по одній фішці, якщо: а) n=2016n = 2016; б) n=2017n = 2017?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-104

Число 2016 як сума кубів трьох і чотирьох чисел

Чи можна подати число 20162016 у вигляді суми кубів: а) трьох натуральних чисел; б) чотирьох натуральних чисел?
9 класМіркування за модулем
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-105

Бісектриса кута, перпендикуляр і паралельна пряма в трикутнику

Бісектриса кута ABCABC трикутника ABCABC перетинає описане коло трикутника в точці KK. Точка NN належить відрізку ABAB, при цьому NK⊥ABNK \perp AB. Через точку PP — середину відрізка NBNB — проведено пряму, паралельну прямій BCBC, яка перетинає пряму BKBK у точці TT. Доведіть, що пряма NTNT ділить відрізок ACAC навпіл.
9 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-106

Нерівність для чисел з сумою степенів і добутком

Для додатних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, що задовольняють умову x1n−1+x2n−1+…+xnn−1=x1x2…xn,x_1^{n-1} + x_2^{n-1} + \ldots + x_n^{n-1} = x_1 x_2 \ldots x_n, доведіть нерівність (x1−n+1)(x2−n+1)…(xn−n+1)⩾1.(x_1 - n + 1)(x_2 - n + 1) \ldots (x_n - n + 1) \geqslant 1.
9 класІнші класичні нерівності
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-107

Фішки в квадраті n×n і чотири типи ходів

Для деякого непарного nn квадрат n×nn \times n розбито на n2n^2 клітинок і в деякій його клітинці лежить n2n^2 фішок. За один крок дозволено з клітинки, у якій лежить не менше двох фішок, пересунути дві фішки у клітинки, що симетричні відносно даної та мають з нею принаймні одну спільну точку. Є чотири типи ходів: (1), коли фішки пересувають по вертикалі; (2), коли фішки пересувають по горизонталі; (3), коли фішки пересувають паралельно діагоналі квадрата, що йде з лівого нижнього кута у правий верхній; (4), коли фішки пересувають паралельно другій діагоналі квадрата. Через декілька кроків виявилося, що в кожній клітинці квадрата лежить рівно по одній фішці. Доведіть, що ходів типу (3) було зроблено таку саму кількість, що й ходів типу (4).
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-112

Складена частка суми степенів на n + 1

Доведіть, що для всіх натуральних n⩾2n \geqslant 2 складеним є число n1003+n1002+n1001+1n+1.\frac{n^{1003}+n^{1002}+n^{1001}+1}{n+1}.
10 класМетод факторизації (розкладання н…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-113

Гра зі зменшенням числа 2016 на дошці

На дошці записано число 20162016. Олеся та Андрій грають у таку гру: вони за чергою (починає Олеся) зменшують число на дошці на натуральне число, що не перевищує номера ходу (першим ходом Олеся має обов'язково зменшити число на 11, Андрій своїм ходом — на 11 чи на 22, далі Олеся — на 11, 22 чи 33 й т. д.) Виграє той, хто першим зможе записати на дошці число 00. Хто перемагає в разі правильної гри обох супротивників?
10 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-114

Існування функції з нерівністю для дійсних x і y

Чи існує функція f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} така, що для будь-яких дійсних чисел xx, yy справджується нерівність f(x−f(y))⩽x−yf(x)?f(x-f(y))\leqslant x-yf(x)?
10 класБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-119

Вписане коло трикутника і перетин трьох прямих

Коло, що вписане в трикутник ABCABC, дотикається до його сторін ABAB, BCBC та CACA в точках NN, PP, KK відповідно. Відрізок BKBK удруге перетинає вписане коло в точці LL. Визначимо точки T=AL∩NKT = AL \cap NK, Q=CL∩KPQ = CL \cap KP. Доведіть, що прямі BKBK, NQNQ та PTPT перетинаються в одній точці.
11 класТеорема Чеви
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-120

Міцний квадрат n×n з прямокутників m×1

Назвемо квадрат n×nn\times n, який розбито на прямокутники меншого розміру, міцним, якщо не існує прямої, яка розділяє квадрат на дві частини та при цьому не перетинає жодного маленького прямокутника у внутрішніх точках. Так, на рис. 4.1 зображено міцний квадрат 4×44\times4, а на рис. 4.2 — квадрат, який не є міцним. Для довільного заданого натурального mm з'ясуйте, при яких натуральних nn можна розбити квадрат n×nn\times n на прямокутники m×1m\times1 та 1×m1\times m так, щоб цей квадрат був міцним.
11 класРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-100

Добуток для розв'язків системи з четвертими степенями

Відомо, що числа aa, bb, cc задовольняють умови: a2+2=b4,b2+2=c4,c2+2=a4.a^2+2=b^4,\qquad b^2+2=c^4,\qquad c^2+2=a^4. Яких значень може набувати вираз (a2−1)(b2−1)(c2−1)(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)?
8 класСиметричні системи рівнянь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-101

Розбиття опуклого і неопуклого семикутника на трикутники

а) Опуклий семикутник хочуть розбити на трикутники, проводячи діагоналі. Доведіть, що при цьому можна отримати 55 або 77 трикутників, але не можна дістати 66 трикутників. б) Доведіть, що існує неопуклий семикутник, який можна розбити внутрішніми діагоналями на 66 трикутників. Примітка. Внутрішньою діагоналлю многокутника називають відрізок, що сполучає дві його несусідні вершини та не виходить за межі многокутника.
8 класРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-102

Операція на натуральних числах та два її значення

Для кожної пари натуральних чисел aa, bb визначено ціле невід’ємне число a∗ba*b, яке задовольняє такі дві умови: 1) (a+b)∗b=a∗b+1(a+b)*b=a*b+1; 2) (a∗b)⋅(b∗a)=0(a*b)\cdot(b*a)=0. Знайдіть значення виразів 2016∗1212016*121 та 2016∗1442016*144.
8 класАрифметика остач (базові властиво…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-103

Трикутник з кутами 30° і нерівність для AD

Задано трикутник ABCABC, у якому ∠ABC=∠ACB=30∘\angle ABC = \angle ACB = 30^\circ. На стороні BCBC вибрано точку DD. Точка KK така, що DD є серединою AKAK. Виявилося, що ∠BKA>60∘\angle BKA > 60^\circ. Доведіть, що 3AD<CB3AD < CB.
8 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-108

Добуток (a+1)(b+1)(c+1) при системі рівнянь

Відомо, що числа aa, bb, cc задовольняють умови: a+ca+1=b,c+bc+1=a,b+ab+1=c.\frac{a+c}{a+1}=b, \qquad \frac{c+b}{c+1}=a, \qquad \frac{b+a}{b+1}=c. Яких значень може набувати вираз (a+1)(b+1)(c+1)(a+1)(b+1)(c+1)?
9 класСиметричні системи рівнянь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-109

Гра з фарбуванням чисел 1, 2, …, n

У рядок виписано числа 1,2,…,n1, 2, \ldots, n. При цьому числа 11 та nn пофарбовані в синій колір, а всі інші — у жовтий. Гравці Олеся та Андрій за чергою фарбують одне з жовтих чисел у синій колір за такими правилами: першим ходом Олеся (вона розпочинає) фарбує в синій колір будь-яке з жовтих чисел (позначимо його літерою kk). Тоді Андрій вибирає той із проміжків чисел (1,2,…,k)(1, 2, \ldots, k) або (k,k+1,…,n)(k, k + 1, \ldots, n), який містить більше жовтих чисел; якщо ці проміжки за кількістю жовтих чисел однакові, то будь-який із двох проміжків. Якщо, наприклад, більшим є проміжок (1,2,…,k)(1, 2, \ldots, k), то другий проміжок у подальшій грі участі не бере. Після цього Андрій фарбує в синій колір будь-яке з жовтих чисел нового проміжку. Тепер новий проміжок також розділився на два менших. Далі Олеся для свого ходу вибирає той із двох нових проміжків, що містить більше жовтих чисел, а другий проміжок залишається вже поза грою, і т. д. Перемагає той із гравців, кому вдасться пофарбувати в синій колір таке число, у якого сусідні числа, ліворуч та праворуч від нього, уже сині. Хто перемагає в разі правильної гри обох гравців?
9 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-110

Дотична до описаного кола трикутника і середини відрізків

Дано трикутник ABCABC, у якому AB>ACAB > AC. Через точку AA провели дотичну до описаного кола трикутника ABCABC. Ця дотична перетинає пряму BCBC у точці PP. На продовженні сторони BABA за точку AA відмітили точку QQ так, що AQ=ACAQ = AC. Нехай точки XX та YY — середини відрізків CQCQ і APAP відповідно, а точка RR належить відрізку APAP, причому AR=CPAR = CP. Доведіть, що CR=2XYCR = 2XY.
9 класОзнаки подібності
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-111

2n попарно різних чисел з рівними сумою і добутком

Для яких натуральних nn існують 2n2n попарно різних натуральних чисел a1a_1, a2a_2, …, ana_n та b1b_1, b2b_2, …, bnb_n, що задовольняють рівності a1+a2+…+an=b1+b2+…+bna_1 + a_2 + \ldots + a_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n та a1a2…an=b1b2…bna_1 a_2 \ldots a_n = b_1 b_2 \ldots b_n?
9 класКонструкція за індукцією

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.