Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

477 задач
Відбір до збірної
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-016

Знищення і клонування сплутаних молекул

Божевільний учений винайшов новий вид молекул. Після того як він розбив колбу, деякі молекули опинилися в лабораторії. Деякі пари молекул можуть бути сплутаними, і одна молекула може бути сплутаною з кількома іншими молекулами. Учений навчився виконувати такі операції з молекулами, по одній операції за раз: - якщо деяка молекула сплутана з непарною кількістю молекул, то вчений може знищити її; - учений може клонувати всі молекули, які є в деякий момент часу в лабораторії, зробивши копію I′I' кожної молекули II. При цьому дві копії I′I' та J′J' сплутані між собою тоді і тільки тоді, коли їхні прообрази II та JJ сплутані, а також сплутаними між собою є кожна копія I′I' і її прообраз II. Жодних інших зв'язків не може утворитись, і жоден інший зв'язок не може бути зруйнований у ході даної операції. Доведіть, що вчений за допомогою цих двох операцій може отримати набір молекул, жодні дві з яких не сплутані між собою.
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-001

Мурахи на вершинах 2n-кутника без прямих через центр

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2 і правильний 2n2n-кутник, у кожній вершині якого сидить по мурасі. У деякі моменти часу кожна мураха переповзає в одну з двох сусідніх вершин (у деяких вершинах може опинитись одночасно декілька мурах). Через kk таких операцій виявилося, що довільна пряма, яка сполучає дві різні вершини многокутника, у яких є мурахи, не проходить через його центр. Знайдіть для заданого nn найменше можливе значення kk.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-002

Максимальне значення суми дробів при добутку один

Для додатних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, добуток яких дорівнює 11, позначимо через S=x13+x23+…+xn3S = x_1^3 + x_2^3 + \ldots + x_n^3. Знайдіть максимальне значення виразу x1S−x13+x12+x2S−x23+x22+…+xnS−xn3+xn2.\frac{x_1}{S - x_1^3 + x_1^2} + \frac{x_2}{S - x_2^3 + x_2^2} + \ldots + \frac{x_n}{S - x_n^3 + x_n^2}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-003

Випуклий шестикутник з рівностями сторін і кутів

Задано випуклий шестикутник ABCDEFABCDEF, у якому AB=DEAB = DE, BC=EFBC = EF, CD=FACD = FA і ∠A−∠D=∠C−∠F=∠E−∠B\angle A - \angle D = \angle C - \angle F = \angle E - \angle B. Доведіть, що діагоналі ADAD, BEBE та CFCF перетинаються в одній точці.
10–11 класиПаралельний перенос
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-004

Бісектриса, зовнівписане коло і середина сторони

Зовнівписане коло різностороннього трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC у точці KK. Описані кола трикутників AKBAKB та AKCAKC удруге перетинають бісектрису кута AA в точках XX і YY. Нехай MM — середина сторони BCBC. Доведіть, що центр описаного кола трикутника XYMXYM лежить на BCBC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-005

Натуральні n з умовою парності на біноміальні коефіцієнти

Знайдіть усі натуральні числа n⩾2n \geqslant 2 такі, що рівність i+j≡Cni+Cnj(mod2)i + j \equiv C_n^i + C_n^j \pmod 2 справджується для довільних 0⩽i⩽j⩽n0 \leqslant i \leqslant j \leqslant n.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-006

Двоколірна дошка n × n з двома одноколірними шляхами

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — непарне натуральне число. Кожну клітинку дошки розміром n×nn \times n пофарбовано в жовтий або блакитний колір. Назвемо послідовність клітин S1,S2,…,SmS_1, S_2, \ldots, S_m шляхом, якщо всі вони одного кольору та клітинки SiS_i та SjS_j мають спільне ребро тоді і лише тоді, коли ∣i−j∣=1|i - j| = 1. Припустимо, що всі клітинки жовтого кольору утворюють шлях і всі клітинки блакитного кольору утворюють шлях. Доведіть, що один із двох шляхів починається або закінчується в центрі дошки.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-007

Найменше фішок двох кольорів на n×n з парним набором

Для кожного натурального n⩾4n \geqslant 4 знайдіть найменше натуральне число kk, яке задовольняє таку властивість: для довільного розташування kk фішок двох кольорів по клітинках дошки розміром n×nn \times n (не більше однієї фішки в клітинці) з них можна вибрати такий непорожній набір, щоб у кожному рядку й у кожному стовпчику стояла парна (можливо, нульова) кількість фішок кожного кольору.
10–11 класиДвочасткові графи
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-008

Вписаний чотирикутник та колінеарність з центром кола

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло ω\omega із центром OO. Припустимо, що кути BB і CC тупі, а прямі ADAD і BCBC не паралельні. Прямі ABAB і CDCD перетинаються в точці EE. Нехай PP і RR — основи перпендикулярів, опущених з точки EE на прямі BCBC і ADAD відповідно. QQ — точка перетину прямих EPEP і ADAD, SS — точка перетину прямих ERER і BCBC. Нехай KK — середина відрізка QSQS. Доведіть, що точки EE, KK та OO колінеарні.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-009

Система двох степеневих сум із нескінченною кількістю розв'язків

Нехай mm, nn — непарні взаємно прості натуральні числа. Знайдіть усі пари цілих чисел aa, bb, для яких система рівнянь {xm+ym+zm=a,xn+yn+zn=b\begin{cases} x^m + y^m + z^m = a, \\ x^n + y^n + z^n = b \end{cases} має безліч розв'язків у цілих числах xx, yy, zz.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-010

Точки загального положення і трикутники з однією точкою всередині

Знайдіть усі натуральні числа n⩾4n \geqslant 4, для яких існують nn точок загального положення на площині таких, що довільний трикутник з вершинами, які належать випуклій оболонці цих nn точок, містить усередині рівно одну з n−3n - 3 точок, що залишилися.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-011

Функції з рівністю для четвірок з однаковою сумою

Знайдіть усі функції f ⁣:R→Rf\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, які задовольняють умову (f(x)−f(y))(u−v)=(f(u)−f(v))(x−y)(f(x) - f(y))(u - v) = (f(u) - f(v))(x - y) для довільних дійсних xx, yy, uu, vv таких, що x+y=u+vx + y = u + v.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-012

Кількість n з подільністю n!+1 на p

Доведіть, що для довільного простого p⩾3p \geqslant 3 кількість натуральних чисел nn, для яких p∣n!+1p \mid n!+1, не перевищує cp2/3cp^{2/3}, де cc — константа, яка не залежить від pp.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-001

Найбільша кількість різних букв у таблиці n × n

У клітини таблиці n×nn \times n вписано букви (у кожну клітину по одній букві) таким чином, що в кожному рядку та кожному стовпчику опинилося не більше трьох різних букв. Яка найбільша кількість різних букв може бути в таблиці?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-002

Пряма AI, точки дотику вписаного кола і циклічність

У трикутник ABCABC, у якому AB>ACAB > AC, вписано коло з центром у точці II, яке дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Точка MM — середина сторони BCBC, AHAH — висота трикутника ABCABC. Пряма AIAI перетинає прямі DEDE та DFDF у точках KK і LL відповідно. Доведіть, що точки MM, LL, HH, KK — циклічні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-003

Функціональне рівняння на раціональних числах з трьома змінними

Знайдіть усі функції f:Q→Qf : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}, для яких ∀x,y,z∈Q\forall x, y, z \in \mathbb{Q} справджується рівність f(x+f(y+f(z)))=y+f(x+z).f(x + f(y + f(z))) = y + f(x + z).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-004

Зростаюча послідовність більша за степені та подання чисел

Доведіть, що для довільного числа M>2M > 2 існує зростаюча послідовність натуральних чисел (an)(a_n), яка задовольняє такі умови: ∀i∈Nai>Mi;\forall i \in \mathbb{N} \quad a_i > M^i; ціле число n≠0⇔∃m∈Nn \neq 0 \Leftrightarrow \exists m \in \mathbb{N} та існують b1,b2,…,bm∈{−1,1}b_1, b_2, \ldots, b_m \in \{-1, 1\}, для яких справджується рівність n=b1a1+b2a2+…+bmamn = b_1 a_1 + b_2 a_2 + \ldots + b_m a_m.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-005

Цілі частини кратних пі та арифметичні прогресії

Доведіть, що множина S={[nπ] ⁣:n=0,1,2,3,…}S=\{[n\pi]\colon n=0,1,2,3,\ldots\} містить арифметичну прогресію довільної скінченної довжини, але не містить нескінченної арифметичної прогресії.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-006

Середини на прямій AB і дотична до описаного кола

Трикутник ABCABC має тупий кут при вершині BB, описане коло навколо нього позначимо через ww. Перпендикуляри до прямих CACA та CBCB, проведені в точці CC, перетинають пряму ABAB у точках PP і QQ відповідно. Позначимо середини відрізків BPBP і PQPQ через RR і SS відповідно. Відомо, що CB=CPCB=CP. Доведіть, що: а) CRCR дотикається до кола ww у точці CC; б) якщо TT — точка дотику іншої дотичної до кола ww, що проведена з точки RR, то CT⊥CSCT\perp CS.
10–11 класиДотична кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-007

Максимальна кількість кубів серед попарних добутків 2012 чисел

Для заданих 20122012 натуральних чисел a1a_1, a2a_2, …\ldots, a2012a_{2012}, кожне з яких не є точним кубом цілого числа, рахуються всі можливі попарні добутки aiaja_i a_j, де 1⩽i<j⩽20121\leqslant i<j\leqslant 2012. Яка максимальна кількість серед таких попарних добутків може дорівнювати кубу цілого числа?
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-008

Ітерації многочлена третього степеня і подільність на 101

Нехай многочлен P(x)=x3+14x2−2x+1P(x) = x^3 + 14x^2 - 2x + 1. Позначимо через P(n)(x)=P(P(n−1)(x))P^{(n)}(x) = P\left(P^{(n-1)}(x)\right). Покажіть, що існує таке натуральне NN, що для кожного цілого xx P(N)(x)−x⋮101P^{(N)}(x) - x \vdots 101.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-001

Середина відрізка MN на колі трикутника PQR

Навколо рівнобедреного трикутника ABCABC з основою BCBC описали коло. Відрізок ADAD — діаметр кола, а точка PP лежить на меншій дузі BDBD. Пряма DPDP перетинає промені ABAB та ACAC у точках MM і NN, а прямі BPBP і CPCP перетинають пряму ADAD у точках QQ і RR. Доведіть, що середина відрізка MNMN лежить на описаному колі трикутника PQRPQR.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-002

Найбільша кількість зірочок з умовою на рядки або стовпці

Учитель повідомив Петрику непарне натуральне число l⩽2013l\leqslant 2013 і дав хлопцю домашнє завдання. Петрик має розставити зірочки в комірках таблиці 2013×20132013\times 2013 так, щоб справджувалася умова: якщо в деякій клітинці таблиці стоїть зірочка, то або в рядку, або в стовпчику, де міститься ця клітинка, має стояти не більше ніж ll зірочок (включно з даною). При цьому в кожну комірку таблиці хлопець може поставити щонайбільше одну зірочку. Учитель пообіцяв Петрику, що його оцінка буде пропорційною кількості зірочок, які хлопцю вдасться розставити. Яку найбільшу кількість зірочок зможе розставити в таблиці Петрик?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-003

Многочлени з невід’ємними коефіцієнтами і подільність радикалів

Функцію rad⁡:N∪{0}→N\operatorname{rad} : \mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{N} визначено таким чином: rad⁡(0)=rad⁡(1)=1;\operatorname{rad}(0) = \operatorname{rad}(1) = 1; якщо n=p1α1p2α2⋅…⋅pkαkn = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k} — канонічний розклад натурального числа n⩾2n \geqslant 2 на прості множники, то rad⁡(n)=p1p2⋅…⋅pk\operatorname{rad}(n) = p_1 p_2 \cdot \ldots \cdot p_k. Знайдіть усі такі многочлени f(x)f(x) із цілими невід’ємними коефіцієнтами, що для довільного n∈Nn \in \mathbb{N} число rad⁡(f(nrad⁡(n)))\operatorname{rad}(f(n^{\operatorname{rad}(n)})) націло ділиться на rad⁡(f(n))\operatorname{rad}(f(n)).
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-12-13-004

Чарівні множини, що містять числа m і n

Назвімо чарівною множину AA цілих чисел, що має таку властивість: якщо x∈Ax \in A, y∈Ay \in A і kk — довільне ціле число, то x2+kxy+y2∈Ax^2 + kxy + y^2 \in A. Знайдіть усі пари m⩽nm \leqslant n цілих чисел, для яких єдиною чарівною множиною, що містить числа mm і nn водночас, є множина всіх цілих чисел.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.