Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

477 задач
Відбір до збірної
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-008

Різниця локального максимуму та мінімуму многочлена четвертого степеня

Нехай многочлен f(x)=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4f(x)=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4 з дійсними коефіцієнтами має локальний максимум MM та абсолютний мінімум mm. Довести, що 310(a124−2a23)2<M−m<3(a124−2a23)2\frac{3}{10}\left(\frac{a_1^2}{4}-\frac{2a_2}{3}\right)^2 < M-m < 3\left(\frac{a_1^2}{4}-\frac{2a_2}{3}\right)^2.
10–11 класиМногочлени третього степеня
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-009

Подібність трикутників з перетинів кіл і симетричних точок

Точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 обрані на сторонах BC,CA,ABBC, CA, AB трикутника ABCABC відповідно. Кола, що описані навколо трикутників AB1C1AB_1C_1, BC1A1BC_1A_1, CA1B1CA_1B_1, перетинають описане навколо трикутника ABCABC коло в точках A2,B2,C2A_2, B_2, C_2 відповідно (A2≠A,B2≠B,C2≠C)\left(A_2 \ne A, B_2 \ne B, C_2 \ne C\right). Точки A3,B3,C3A_3, B_3, C_3 є симетричними точкам A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 відносно середин сторін BC,CA,ABBC, CA, AB відповідно. Довести, що трикутники A2B2C2A_2B_2C_2, A3B3C3A_3B_3C_3 є подібними.
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-010

Розбиття трикутника на вписані чотирикутники з геометричною прогресією

Для яких натуральних nn гострокутний трикутник ABCABC з кутом ∠BAC<45∘\angle BAC < 45^\circ можна розбити на nn вписаних чотирикутників таких, що радіуси описаних навколо них кіл утворюють геометричну прогресію?
10–11 класиОписане коло
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-011

Лампи в ряд і момент одночасного вимкнення

Є n≥2n \ge 2 ламп L1,…,LnL_1, \ldots, L_n, розташованих в ряд, кожна з яких може бути в одному з двох станів – «вкл» або «викл». Кожної секунди лампи одночасно змінюють свій стан за такими правилами: – якщо лампа LiL_i та її сусіди (при i=1,i=ni=1, i=n лампа має рівно одного сусіда, при інших – двох) перебувають в однаковому стані, то вона приймає стан «викл»; – інакше вона приймає стан «вкл». У початковому положенні усі лампи перебувають у стані «викл», окрім крайньої лівої лампи, яка має стан «вкл». а) Довести, що існує нескінченно багато таких натуральних nn, для яких усі лампи будуть з часом у стані «викл». б) Довести, що існує нескінченно багато таких натуральних nn, для яких лампи не будуть усі одночасно в положенні «викл» ні в який момент часу.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-012

Нескінченно багато n з малими простими дільниками n²+n+1

Довести, що існує нескінченно багато таких натуральних чисел nn, що всі прості дільники числа (n2+n+1)(n^2+n+1) не перевищують n\sqrt{n}.
10–11 класиРівняння Пелля
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-001

Нерівність із сумою (a+b-2c)/(b+c) для a, b, c

Нехай aa, bb і cc — додатні дійсні числа. Доведіть, що a+b−2cb+c+b+c−2ac+a+c+a−2ba+b≥0.\frac{a + b - 2c}{b + c} + \frac{b + c - 2a}{c + a} + \frac{c + a - 2b}{a + b} \ge 0.
10–11 класиМетод Штурма
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-002

Функціональне рівняння для функцій з натуральних в натуральні

Знайдіть усі такі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, що для всіх m∈Nm \in \mathbb{N} і n∈Nn \in \mathbb{N} справджується рівність f(m−n+f(n))=f(m)+f(n)f\left(m - n + f(n)\right) = f(m) + f(n).
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-003

Внутрішнє дотичне коло до кіл на сторонах трапеції

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому сторони ADAD і BCBC є паралельними. Позначимо через ω1\omega_1, ω2\omega_2, ω3\omega_3, ω4\omega_4 кола, побудовані як на діаметрах на сторонах ABAB, BCBC, CDCD, DADA відповідно. Доведіть, що коло, центр якого міститься всередині чотирикутника ABCDABCD і яке дотикається зсередини до всіх кіл ω1\omega_1, ω2\omega_2, ω3\omega_3, ω4\omega_4, існує тоді й тільки тоді, коли чотирикутник ABCDABCD є паралелограмом.
10–11 класиНерівність трикутника
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-004

Нерівність для обернених квадратів членів арифметичної прогресії

Нехай n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥2n \ge 2, a1,a2,…,an,an+1a_1, a_2, \ldots, a_n, a_{n+1} — додатні дійсні числа, які задовольняють умову a2−a1=a3−a2=…=an+1−an≥0a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \ldots = a_{n+1} - a_n \ge 0. Доведіть, що 1a22+1a32+…+1an2≤n−12⋅a1an+a2an+1a1a2anan+1.\frac{1}{a_2^2} + \frac{1}{a_3^2} + \ldots + \frac{1}{a_n^2} \le \frac{n - 1}{2} \cdot \frac{a_1 a_n + a_2 a_{n+1}}{a_1 a_2 a_n a_{n+1}}. З'ясуйте, коли в цій нерівності досягається рівність.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-005

Два кола, що перетинаються, і паралельні дотичні

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в двох різних точках AA і BB. Через точку BB проведено пряму, яка вдруге перетинає коло ω1\omega_1 у точці KK, а коло ω2\omega_2 — у точці MM (точки KK і MM відмінні від AA). Нехай пряма ℓ1\ell_1 паралельна прямій AMAM і дотикається до кола ω1\omega_1 у точці QQ, відмінній від точок AA і BB. Пряма AQAQ вдруге перетинає коло ω2\omega_2 в точці RR. а) Доведіть, що пряма ℓ2\ell_2, яка дотикається до кола ω2\omega_2 в точці RR, паралельна прямій AKAK; б) Доведіть, що прямі ℓ1\ell_1, ℓ2\ell_2 і KMKM перетинаються в одній точці.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-006

Подільність 3^m + 1 на добуток mn

Знайдіть усі такі пари натуральних чисел mm і nn, що обидва числа 3m+13^m + 1 і 3n+13^n + 1 діляться без остачі на mnmn.
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-007

Прямокутний трикутник, бісектриса і перпендикуляр до прямої

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠C=90∘\angle C = 90^\circ. На сторонах ABAB і BCBC відмічено точки MM і NN відповідно так, що CN:NB=AC:BC=2CN : NB = AC : BC = 2 і MN∥ACMN \parallel AC. Нехай OO — точка перетину відрізків CMCM і ANAN. Точку KK відмічено на відрізку ONON так, що MO+OK=KNMO + OK = KN. Нехай TT — точка перетину бісектриси кута BB трикутника ABCABC і перпендикуляра до прямої ANAN, проведеного через точку KK. Доведіть, що ∠MTB=90∘\angle MTB = 90^\circ.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-008

Солдати в шерензі та двоє в кінці тренування

Капітан Петренко знову вишикував роту солдатів в одну шеренгу обличчям до себе і проводить з ними наступне стройове тренування. За його командою один із солдатів, що стоїть обличчям до капітана, але не є крайнім у шерензі, робить крок уперед і йде геть, а два його сусіди повертаються кругом, після чого шеренга змикається. Такі операції повторюються, доки це можливо. Для якої початкової кількості солдатів тренування може бути проведеним так, щоб у кінцевій ситуації в шерензі залишилися лише два солдати?
10–11 класиОстача від ділення
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-009

Функціональне рівняння з сумою та добутком

Знайдіть усі такі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що для всіх x∈Rx \in \mathbb{R} і y∈Ry \in \mathbb{R} виконується рівність f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)+2xyf(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + f(x) + f(y) + 2xy.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-010

Многочлен з n різними дійсними коренями і недодатний корінь

Нехай nn — натуральне число, n>4n > 4. Відомо, що многочлен P(x)=xn−5xn−1+12xn−2−15xn−3+an−4xn−4+…+a1x+a0P(x) = x^n - 5x^{n-1} + 12x^{n-2} - 15x^{n-3} + a_{n-4}x^{n-4} + \ldots + a_1 x + a_0, де an−4,…,a1,a0a_{n-4}, \ldots, a_1, a_0 — задані дійсні числа, має nn попарно різних дійсних коренів. Доведіть, що принаймні один з цих коренів не є додатним.
10–11 класиТеорема Вієта
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-011

Нерівність для членів рекурентної послідовності

Нехай {an}n=1∞\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} — така послідовність натуральних чисел, що a1=a2=1a_1 = a_2 = 1, для всіх n≥3n \ge 3 an−1<na_{n-1} < n і an=aan−1+an−an−1a_n = a_{a_{n-1}} + a_{n - a_{n-1}}. Доведіть, що a2n≤2ana_{2n} \le 2a_n для всіх натуральних nn.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-012

Точки перетину дотичних з перпендикулярами в трикутнику

Нехай точка OO — центр описаного кола ω\omega трикутника ABCABC. Позначимо через A1A_1 середину сторони BCBC. Нехай A2A_2 — друга точка перетину прямої AA1AA_1 з колом ω\omega, пряма ℓa\ell_a дотикається до кола ω\omega в точці A2A_2. Позначимо через PaP_a точку перетину прямої ℓa\ell_a з прямою, яка проходить через точку A1A_1 перпендикулярно до прямої AOAO. Точки PbP_b і PcP_c визначаються аналогічно. Доведіть, що точки PaP_a, PbP_b і PcP_c лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-001

Умова на m^p за модулем q і числа np+1

Нехай pp — просте число. Доведіть такі твердження: а) для будь-якого натурального числа mm, яке ділиться на pp, знайдеться таке просте число qq, що mp≡1(modq)m^p \equiv 1 \pmod{q}, але m≢1(modq)m \not\equiv 1 \pmod{q}; б) існує безліч таких натуральних чисел nn, що np+1np + 1 — просте число.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-002

Пряма EF через проєкції ортоцентра ділить відрізок HK

Гострокутний трикутник ABCABC є вписаним у коло ω\omega з центром OO. На дузі BCBC кола ω\omega, яка не містить точку AA, відмітили довільну точку PP, відмінну від BB і CC. Нехай DD — така точка, що чотирикутник APCDAPCD є паралелограмом. Позначимо через HH та KK ортоцентри трикутників ABCABC і ACDACD відповідно, а через EE і FF — ортогональні проекції точки KK на прямі BCBC і ACAC відповідно. Доведіть, що пряма EFEF ділить відрізок HKHK навпіл.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-003

Чудова таблиця 1019 × 1019 і найбільше число

Для таблиці розміром 1019×10191019 \times 1019, заповненої натуральними числами, позначимо через XiX_i множину чисел в її ii-му рядку, а через YiY_i — множину чисел в її ii-му стовпчику, 1≤i≤10191 \le i \le 1019. У випадку, якщо всі множини X1,X2,…,X1019X_1, X_2, \ldots, X_{1019}, Y1,Y2,…,Y1019Y_1, Y_2, \ldots, Y_{1019} є попарно різними, таку таблицю назвемо чудовою. Знайдіть найменше можливе значення найбільшого числа в чудовій таблиці.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-004

Нескінченна підмножина натуральних чисел з числом 2005

Чи існує така нескінченна підмножина SS множини всіх натуральних чисел, що для будь-яких двох чисел mm і nn з множини SS число m2n2m^2 n^2 ділиться на m2+2005mn+n2m^2 + 2005mn + n^2 без остачі?
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-005

Середини діагоналей вписаного чотирикутника

Чотирикутник ABCDABCD є вписаним у коло з центром OO. Середини діагоналей ACAC і BDBD позначено XX і YY відповідно. Доведіть, що точки BB, XX, OO і DD лежать на одному колі тоді й тільки тоді, коли точки AA, OO, YY і CC лежать на одному колі.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-006

Найбільше і найменше значення виразу з x, y, z

Знайдіть найбільше і найменше значення, яких може набувати вираз x4+y4+z4(x+y+z)4\dfrac{x^4 + y^4 + z^4}{\left(x + y + z\right)^4} за умови, що дійсні додатні числа xx, yy і zz задовольняють співвідношення (x+y+z)3=32xyz\left(x + y + z\right)^3 = 32xyz.
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-007

Вартість задач і підсумкові оцінки учасників олімпіади

У олімпіаді з математики взяли участь 30 учнів. Їм було запропоновано 8 задач. Спочатку журі перевірило роботи учасників, виставивши по кожній задачі оцінку “розв'язано” чи “не розв'язано”. Потім для кожної задачі було визначено її вартість — натуральне число, що дорівнює кількості учасників, які її не розв'язали. Сума вартостей усіх задач, розв'язаних тим чи іншим учнем, склала його підсумкову оцінку. З'ясувалося, що Петрик П'яточкін одержав оцінку, нижчу за всіх інших. Яку найбільшу оцінку він міг одержати?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-008

Нерівність з дробами від додатних x, y, z

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа. Доведіть нерівність xyx2+xy+yz+yzy2+yz+zx+zxz2+zx+xy≥xz+2x+yx+2y+zy+2z.\frac{xy}{x^2 + xy + yz} + \frac{yz}{y^2 + yz + zx} + \frac{zx}{z^2 + zx + xy} \ge \frac{x}{z + 2x} + \frac{y}{x + 2y} + \frac{z}{y + 2z}.
10–11 класиЗаміни в однорідних виразах

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.