Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

477 задач
Відбір до збірної
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-009

Пряма через перетин вписаних кіл трикутників ABX і ACX

Дано трикутник ABCABC, що має таку властивість: на продовженні його сторони BCBC за точку CC можна обрати точку XX так, що вписані кола трикутників ABXABX і ACXACX перетинаються в двох різних точках. Позначимо ці дві точки як PXP_X і QXQ_X. Доведіть існування такої точки, що пряма PXQXP_X Q_X проходить через неї — незалежно від вибору точки XX.
10–11 класиВписане коло
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-010

Нерівність з радіусами кіл та відрізками AM і AX

Нехай RR і rr — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл гострокутного трикутника ABCABC з найбільшим кутом AA. Точку перетину дотичних, проведених до описаного кола в точках BB і CC, позначимо через XX, а середину відрізка BCBC через MM. Доведіть, що rR≥AMAX\dfrac{r}{R} \ge \dfrac{AM}{AX}.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-011

Многочлени P(x) з рівністю добутків значень

Знайдіть усі такі многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами, що P(x)P(2x2−1)=P(x2)P(2x−1)P(x)P\left(2x^2 - 1\right) = P\left(x^2\right)P(2x - 1) для всіх дійсних значень xx.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-012

Розфарбування сторін і діагоналей n-кутника в k кольорів

Сторони та діагоналі правильного nn-кутника розфарбовано в kk кольорів так, що для кожного кольору aa та кожної пари різних вершин AA і BB многокутника або існує третя вершина CC така, що відрізки ACAC і CBCB пофарбовано в колір aa або сам відрізок ABAB пофарбовано в колір aa, і не існує жодного трикутника з вершинами серед вершин даного nn-кутника, сторони якого пофарбовано в три різні кольори. Доведіть, що k≤2k \le 2.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-001

Неспадні функції із функціональним рівнянням

Знайдіть усі неспадні функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, які задовольняють обидві такі умови: 1) f(0)=0f(0) = 0, f(1)=1f(1) = 1; 2) f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y−xy)f(x) + f(y) = f(x)f(y) + f(x + y - xy) для всіх дійсних чисел xx і yy, що x<1<yx < 1 < y.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-002

Прямі через вершини трикутника та точки на променях

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC, і цей центр не належить жодній з медіан AA0AA_0, BB0BB_0, CC0CC_0. На променях OA0OA_0, OB0OB_0 і OC0OC_0 позначили точки A1A_1, B1B_1, C1C_1 відповідно так, що ∠OAA0=∠OA1A\angle OAA_0 = \angle OA_1 A, ∠OBB0=∠OB1B\angle OBB_0 = \angle OB_1 B і ∠OCC0=∠OC1C\angle OCC_0 = \angle OC_1 C. Доведіть, що прямі AA1AA_1, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в одній точці.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-003

Найбільша кількість триколірних точок з умовою всередині трикутників

Знайдіть найбільше ціле число nn, для якого в площині можна відмітити nn різних точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій, і пофарбувати кожну з цих точок в один з трьох кольорів — червоний, зелений або жовтий — так, щоб одночасно: усередині кожного трикутника з трьома червоними вершинами містилася хоча б одна зелена точка; усередині кожного трикутника з трьома зеленими вершинами містилася хоча б одна жовта точка; усередині кожного трикутника з трьома жовтими вершинами містилася хоча б одна червона точка.
10–11 класиОпуклі множини
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-004

Площа опуклого п'ятикутника за двома кутами і діагоналлю

Знайдіть площу опуклого п'ятикутника ABCDEABCDE, про який відомо, що в ньому AB=BCAB = BC, CD=DECD = DE, BD=2BD = 2, ∠ABC=150∘\angle ABC = 150^\circ і ∠CDE=30∘\angle CDE = 30^\circ.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-005

Трійки натуральних чисел зі степеневою рівністю

Знайдіть усі такі трійки натуральних чисел mm, nn, kk, що mk+(m+n)k=(m+2n)km^k + \left(m + n\right)^k = \left(m + 2n\right)^k.
10–11 класиФормула біном Ньютона
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-006

Чесні розподіли задач між 2n учасниками

У математичному змаганні беруть участь 2n2n школярів. Кожен з них подав до журі свою задачу. Зібрані в такий спосіб 2n2n задач пропонуються учасникам змагання: кожному учаснику по одній задачі. Змагання вважається “чесним”, якщо всіх його учасників можна розділити на дві групи по nn осіб так, щоб кожен з учасників з першої групи отримав задачу, подану якимось з учасників другої групи. Доведіть, що кількість усіх можливих “чесних” розподілів поданих задач між учасниками змагання є квадратом цілого числа.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-007

Цілість частки з 3²ᵐ і простота знаменника

а) Чи правильним є таке твердження: якщо для натурального mm число 32m+12m+1+1\dfrac{3^{2^m} + 1}{2^{m+1} + 1} є цілим, то число 2m+1+12^{m+1} + 1 — просте? б) Чи є правильним обернене до а) твердження?
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-008

Внутрішня точка бісектриси і пряма через її основу

Нехай MM — довільна внутрішня точка бісектриси ALAL трикутника ABCABC. Через точку LL проведено довільну пряму, яка перетинає сторону ABAB в точці PP, а продовження сторони ACAC за точку CC — у точці QQ. Нехай NN — точка перетину прямих BMBM і PQPQ, а KK — точка перетину прямих QMQM і BCBC. Доведіть, що ∠NAL=∠KAL\angle NAL = \angle KAL.
10–11 класиТеорема Менелая
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-009

Поділ дружної компанії на три знайомі групи

Компанію людей будемо називати дружною, якщо серед будь-яких трьох її членів знайдуться два, які є знайомими між собою. Чи кожну дружну компанію можна розділити на три групи так, щоб у кожній групі всі люди були попарно знайомими?
10–11 класиКонструкція через симетрією
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-010

Діагоналі шестикутника з перетину трикутників PQR і DEF

Нехай II — точка перетину бісектрис трикутника ABCABC. Коло ω\omega з центром у точці II перетинає сторону BCBC в точках DD і PP (точка DD лежить між BB і PP), сторону CACA — у точках EE і QQ (точка EE лежить між CC і QQ), сторону ABAB — у точках FF і RR (точка FF лежить між AA і RR). Трикутники PQRPQR і DEFDEF утворюють у перетині шестикутник. Доведіть, що діагоналі цього шестикутника, які сполучають протилежні вершини, перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-011

Многочлен P(x) з умовою квадрата многочлена Q(x)

Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами такі, що многочлен Q(x)=(x2+6x+10)(P(x))2−1Q(x) = \left(x^2 + 6x + 10\right)\left(P(x)\right)^2 - 1 є квадратом многочлена з цілими коефіцієнтами.
10–11 класиРівняння Пелля
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-012

Нерівність для наборів додатних чисел x, y, z

Дано натуральне число nn і набори дійсних додатних чисел (x1,x2,…,xn)\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) та (y1,y2,…,yn)\left(y_1, y_2, \ldots, y_n\right). Нехай (z2,z3,…,z2n)\left(z_2, z_3, \ldots, z_{2n}\right) — такий набір дійсних додатних чисел, що zi+j2≥xiyjz_{i+j}^2 \ge x_i y_j для всіх 1≤i,j≤n1 \le i, j \le n. Нехай M=max⁡{z2,z3,…,z2n}M = \max\left\{z_2, z_3, \ldots, z_{2n}\right\}. Доведіть, що M+z2+z3+…+z2n2n≥x1+x2+…+xnn⋅y1+y2+…+ynn.\frac{M + z_2 + z_3 + \ldots + z_{2n}}{2n} \ge \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \cdot \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n}.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-001

Нерівність для двох наборів додатних чисел

Нехай n≥3n \ge 3. Доведіть, що для будь-яких двох наборів додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, та b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n, які задовольняють умови a1+a2+…+an=1a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 1, b12+b22+…+bn2=1b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2 = 1, виконується нерівність a1(b1+a2)+a2(b2+a3)+…+an(bn+a1)<1.a_1(b_1 + a_2) + a_2(b_2 + a_3) + \ldots + a_n(b_n + a_1) < 1.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-002

Два перетинні кола і центри описаних кіл трикутників

Коло ω1\omega_1 перетинає коло ω2\omega_2 в двох різних точках PP і QQ. На колі ω1\omega_1 обираються дві різні точки A1A_1 і B1B_1, які не співпадають з точками PP і QQ. Прямі A1PA_1 P і B1PB_1 P вдруге перетинають коло ω2\omega_2 в точках A2A_2 і B2B_2 відповідно. Нехай CC — точка перетину прямих A1B1A_1 B_1 і A2B2A_2 B_2. Доведіть, що незалежно від вибору точок A1A_1 і B1B_1 на колі ω1\omega_1 центри кіл, описаних навколо трикутників A1A2CA_1 A_2 C, — усі лежать на одному фіксованому колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-003

Найбільше та найменше значення суми дискваліфікацій у турнірі

У футбольному турнірі TT беруть участь nn команд. Турнір відбувається в одне коло. За перемогу нараховується 3 очки, за нічию — 1 очко, за поразку — 0 очок. Після турніру деякі команди можуть бути дискваліфіковані; тоді результати всіх матчів за їх участю анулюються. Після цього результати команд, що залишилися, перераховуються, а новий переможець визначається як команда, котра набрала найбільшу кількість очок серед команд, що залишилися (якщо лише одна команда залишилася недискваліфікованою, то вона й визнається переможцем). Нехай fi(T)f_i(T) (i=1,2,…,n)(i = 1, 2, \ldots, n) — найменша кількість команд, які можуть бути дискваліфікованими в турнірі TT так, щоб команда з номером ii стала переможцем. Позначимо суму f1(T)+f2(T)+…+fn(T)f_1(T) + f_2(T) + \ldots + f_n(T) через F(T)F(T). Для будь-якого n≥5n \ge 5 знайдіть найбільше та найменше значення величини F(T)F(T).
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-004

Функціональне рівняння з f(x - f(y))

Знайдіть усі такі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що для всіх x∈Rx \in \mathbb{R} та y∈Ry \in \mathbb{R} виконується рівність f(x−f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))f\left(x - f(y)\right) = f(x) + xf(y) + f\left(f(y)\right).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-005

Середня лінія трикутника, проєкції та перетин прямих AA1

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, і відрізок MNMN є його середньою лінією, яка паралельна до BCBC. Позначимо через PP ортогональну проекцію точки NN на сторону BCBC, а через A1A_1 — середину відрізка MPMP. Точки B1B_1 і C1C_1 визначаються аналогічно. Доведіть, що якщо прямі AA1AA_1, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в одній точці, то трикутник ABCABC має дві рівні сторони.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-006

Прості числа у порядку зростання і нерівність

Нехай {pn}n=1∞\{p_n\}_{n=1}^{\infty} — послідовність усіх простих чисел, записаних у порядку зростання: p1=2p_1 = 2, p2=3p_2 = 3, p3=5p_3 = 5, …\ldots. а) Для заданого натурального числа n≥10n \ge 10 через rr позначимо найменше натуральне число, що задовольняє умови 2≤r≤n−22 \le r \le n - 2, n−r+1<prn - r + 1 < p_r. Нехай Ns=(s⋅p1⋅p2⋅…⋅pr−1)−1N_s = \left(s \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{r-1}\right) - 1, s=1,2,…,prs = 1, 2, \ldots, p_r. Доведіть, що існує таке jj, 1≤j≤pr1 \le j \le p_r, що жодне з чисел p1,p2,…,pnp_1, p_2, \ldots, p_n не є дільником числа NjN_j. б) Знайдіть усі натуральні числа mm, для яких pm+12<p1⋅p2⋅…⋅pmp_{m+1}^2 < p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_m.
10–11 класиПостулат Бертрана
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-007

Найменше m для кратності (m+1)^m - 1 на n

Відомо, що для даного натурального числа nn найменшим з натуральних чисел mm, для яких число (m+1)m−1(m + 1)^m - 1 ділиться без остачі на nn, є число n−2n - 2. Доведіть, що n=2pn = 2p, де pp є простим числом.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-008

Діаметр кола, дотичні та колінеарні точки S, K, T

Нехай ABAB — діаметр кола ω\omega. Позначимо через lal_a і lbl_b дотичні до кола ω\omega в точках AA і BB відповідно. На колі ω\omega обирається довільно точка CC. Нехай BCBC перетинає lal_a в точці KK, а бісектриса кута CAKCAK перетинає CKCK в точці HH. Нехай MM — середина дуги CABCAB, SS — інша точка перетину HMHM і кола ω\omega, TT — точка перетину прямої lbl_b і дотичної до кола ω\omega в точці MM. Доведіть, що точки SS, KK і TT лежать на одній прямій.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-009

Чотири мови конференції та спільна мова учасників

На міжнародній конференції офіційними є чотири мови. Будь-які двоє учасники можуть спілкуватися принаймні однією з цих мов. Доведіть, що не менше від 60% учасників можуть спілкуватися однією й тією ж самою мовою.
10–11 класиРозбиття на випадки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.