Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

477 задач
Відбір до збірної
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-011

Гарні функції та рівність f(a, a) = a

Дано натуральне число nn, нехай S={1,2,…,n}S=\{1, 2, \ldots, n\}. Назвемо функцію f(x,y) ⁣:S×S→Sf(x, y)\colon S\times S\to S, що відображає два цілих числа від 11 до nn в число від 11 до nn, гарною, якщо: f(a,b)=f(b,a) ∀a,b∈S;f(a, b)=f(b, a)\ \forall a, b\in S; f(a,f(a,b))=b ∀a,b∈S.f(a, f(a, b))=b\ \forall a, b\in S. При яких nn для кожної гарної функції ff знайдеться таке a∈Sa\in S, що f(a,a)=af(a, a)=a?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-012

Послідовність сум НСД та нерівність сусідніх членів

Нехай a1a_1 — натуральне число. Для кожного натурального числа n>1n > 1 визначимо an=∑i=1n−1(n,ai),a_n = \sum_{i=1}^{n-1}(n, a_i), де (x,y)(x, y) — НСД чисел xx, yy. Доведіть, що нерівність an+1⩽ana_{n+1} \leqslant a_n справджується для нескінченної кількості індексів nn.
10–11 класиПарність та непарність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-001

Прості значення многочлена у точках P(n) + n

Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) із цілими коефіцієнтами такі, що число P(P(n)+n)P(P(n) + n) є простим для нескінченної кількості цілих nn.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-002

Точки X і Y на колах ABD і ACE

У гострокутному трикутнику ABCABC відрізок AFAF — висота, а PP — точка на відрізку AFAF. Прямі, що проходять через точку PP паралельно сторонам ACAC та ABAB, перетинають сторону BCBC у точках DD та EE відповідно. Точки X≠AX \ne A та Y≠AY \ne A вибрано відповідно на описаних колах трикутників ABDABD та ACEACE так, що DA=DXDA = DX та EA=EYEA = EY. Доведіть, що точки BB, CC, XX, YY лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-003

Найменша кількість непорожніх купок камінців

Дано натуральне число nn. Ми починаємо з nn купок камінців, коли в кожній купці є по одному камінцю. За одну операцію можна вибрати довільні дві непорожні купки, узяти з них однакову кількість камінців і сформувати з них окрему купку. Для кожного натурального nn знайдіть найменшу можливу кількість непорожніх купок, яку можна отримати за скінченну кількість таких операцій.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-004

Зростаючі числа з різницями-степенями числа r

Знайдіть усі натуральні числа n⩾2n \geqslant 2, для яких існують nn дійсних чисел a1<a2<…<ana_1 < a_2 < \ldots < a_n та дійсне число r>0r > 0 таких, що 12n(n−1)\frac{1}{2}n(n-1) різниць aj−aia_j - a_i, 1⩽i<j⩽n1 \leqslant i < j \leqslant n, дорівнюють у якомусь порядку числам r1,r2,…,r12n(n−1)r^1, r^2, \ldots, r^{\frac{1}{2}n(n-1)}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-005

Максимальна сума відстаней пар на дошці 2n на 2n

На дошці розміром 2n×2n2n \times 2n у кожній клітинці стоїть стілець, і 2n22n^2 пар осіб хочуть зайняти місця. Назвемо відстанню для пари суму різниць номерів стовпців та номерів рядків клітинок, де сидять люди із цієї пари. Наприклад, якщо пара зайняла місця (3,3)(3, 3) та (2,5)(2, 5), то відстань для цієї пари дорівнює ∣3−2∣+∣3−5∣=3|3-2|+|3-5|=3. Якої може бути максимальна сума відстаней для всіх пар?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-006

Дві послідовності з умовами на суму та добуток

Дано нескінченні послідовності дійсних чисел a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots та b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots такі, що an+1+bn+1=an+bn2a_{n+1} + b_{n+1} = \dfrac{a_n + b_n}{2} та an+1bn+1=anbna_{n+1}b_{n+1} = \sqrt{a_nb_n} для всіх n⩾1n \geqslant 1. Нехай b2022=1b_{2022} = 1 та a1>0a_1 > 0. Знайдіть усі можливі значення числа a1a_1.
10–11 класиНерівність Коші
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-007

Найбільший степінь числа a серед членів послідовності

Нехай aa, d>1d > 1 — взаємно прості натуральні числа. Визначимо послідовність (xk)(x_k) таким чином: xk+1={xka,якщо xk⋮a,xk+d,якщо інакше,x_{k+1} = \begin{cases} \dfrac{x_k}{a}, & \text{якщо } x_k \vdots a, \\ x_k + d, & \text{якщо інакше}, \end{cases} де x1=1x_1 = 1, k∈Nk \in \mathbb{N}. Знайдіть найбільше натуральне число nn, для якого існує такий індекс kk, що число xkx_k ділиться на ana^n, або доведіть, що такого nn не існує.
10–11 класиСтепені за модулем. Періодичність…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-008

Трикутник з кутом 60°, пряма Ейлера і симедіана

У трикутнику ABCABC відомо, що ∠A=60∘\angle A = 60^\circ, пряма Ейлера перетинає описане коло трикутника в точках UU та VV, ADAD — висота трикутника ABCABC, а ω\omega — його коло дев’яти точок. Коло Ω\Omega, описане навколо трикутника UVDUVD, удруге перетинає коло ω\omega в точці KK. Точка SS така, що KSKS — діаметр кола ω\omega. Доведіть, що ASAS — симедіана трикутника ABCABC. Примітка. Пряма Ейлера — це пряма, що проходить через ортоцентр, центр описаного кола та точку перетину медіан трикутника. Коло дев’яти точок — це коло, на якому лежать основи висот, середини сторін і середини відрізків між вершинами та ортоцентром трикутника. Симедіана трикутника, що проведена з вершини AA, — це пряма, симетрична медіані, проведеній із вершини AA, відносно бісектриси, проведеній із вершини AA.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-009

Рядок чисел, який не можна розрізати на різнознакові суми

Ганнуся розставила в клітинках рядка дійсні числа із сумою SS. Виявилося, що вона не може розрізати рядок на дві такі частини, щоб сума чисел в одній із частин була додатна, а в другій — від’ємна. Доведіть, що модуль числа SS не менший ніж будь-яке із чисел Ганнусі.
10–11 класиЛінійні нерівності та системи
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-010

Гарантований модуль суми підпослідовності з кроком до двох

Назвемо ±1\pm 1-послідовністю послідовність із 20222022 чисел a1,a2,…,a2022a_1, a_2, \ldots, a_{2022}, кожне з яких рівне 11 чи −1-1. Знайдіть найбільше число CC таке, що для будь-якої ±1\pm 1-послідовності існують натуральне kk та індекси 1⩽t1<t2<…<tk⩽20221 \leqslant t_1 < t_2 < \ldots < t_k \leqslant 2022 такі, що ti+1−ti⩽2t_{i+1} - t_i \leqslant 2 для всіх i=1,k−1‾i = \overline{1, k-1}, а також ∣∑i=1kati∣⩾C.\left|\sum_{i=1}^{k} a_{t_i}\right| \geqslant C.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-011

Дві паралельні січні і кола трикутників з перпендикулярів

Нехай у деякому трикутнику ABCABC прямі l1,l2l_1, l_2 — паралельні. Для i=1,2i = 1, 2 нехай пряма lil_i перетинає прямі BCBC, CACA, ABAB у точках Xi,Yi,ZiX_i, Y_i, Z_i відповідно. Прямі, що проходять через точку XiX_i перпендикулярно до прямої BCBC, через точку YiY_i — перпендикулярно до прямої CACA та через точку ZiZ_i — перпендикулярно до прямої ABAB, утворюють невироджений трикутник Δi\Delta_i. Доведіть, що кола, описані навколо невироджених трикутників Δ1\Delta_1 і Δ2\Delta_2, дотикаються один до одного.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-012

Суми чисел у прямокутниках дошки 2022×2022

Чи можна в клітинки дошки розміром 2022×20222022 \times 2022 записати натуральні числа таким чином, щоб сума чисел у будь-якому прямокутнику RR була точним квадратом тоді й лише тоді, коли прямокутник RR є квадратом?
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-001

Найменша множина чисел з сумами k інших

Задано ціле число k⩾2k \geqslant 2. Знайдіть найменше ціле число n⩾k+1n \geqslant k+1, що має таку властивість: існує множина з nn попарно різних дійсних чисел, у якій кожний з її елементів може бути поданий як сума kk інших попарно різних елементів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-002

Симетрична середина BC на EF та AM до AO

У гострокутному нерівнобедреному трикутнику ABCABC провели висоти BEBE і CFCF. Позначимо через MM та OO середину сторони BCBC та центр описаного кола трикутника ABCABC відповідно. Відомо, що точка, симетрична точці MM відносно точки OO, лежить на прямій EFEF. Знайдіть усі можливі значення відношення AMAO\dfrac{AM}{AO}.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-003

Многокутник через усі вузли зі сторонами 1 чи 3

Для натуральних чисел m,n⩾2m, n \geqslant 2 нехай Sm,nS_{m,n} позначає множину вузлів прямокутної дошки розміром (m−1)×(n−1)(m-1) \times (n-1) (формально Sm,n={(i,j):i∈{1,2,…,m},j∈{1,2,…,n}}S_{m,n} = \{(i, j) : i \in \{1, 2, \ldots, m\}, j \in \{1, 2, \ldots, n\}\}). Знайдіть усі пари чисел (m,n)(m, n), для яких існує полігон PP такий, що: - усі вершини полігона PP є вузлами множини Sm,nS_{m,n}; - усі вузли множини Sm,nS_{m,n} лежать на межі полігона PP; - усі внутрішні кути полігона PP дорівнюють 90∘90^\circ або 270∘270^\circ; - довжини усіх сторін полігона PP дорівнюють 11 чи 33.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-004

Спільна дотична двох кіл і перетин прямих на колі

Одну з точок перетину кіл ω1\omega_1 та ω2\omega_2 позначимо літерою AA. Спільна зовнішня дотична до кіл ω1,ω2\omega_1, \omega_2 дотикається до них у точках T1,T2T_1, T_2 відповідно. Нехай B1,B2B_1, B_2 — довільні точки на колах ω1,ω2\omega_1, \omega_2 відповідно, відмінні від точок T1,T2T_1, T_2 і такі, що трикутник AB1B2AB_1B_2 — невироджений. Нехай ω\omega — описане коло трикутника AB1B2AB_1B_2. Промені T1B1,T2B2T_1B_1, T_2B_2 перетинають коло ω\omega вдруге в точках C1,C2C_1, C_2 відповідно. Доведіть, що прямі C1T2,C2T1C_1T_2, C_2T_1 перетинаються на колі ω\omega.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-005

Цікаві функції з найбільшою сумою на підмножині

Нехай m⩾2m \geqslant 2 та n⩾2n \geqslant 2 — деякі цілі числа, XX — множина, що містить nn елементів. Нехай X1,X2,…,XmX_1, X_2, \ldots, X_m — попарно різні непорожні підмножини множини XX, які можуть мати спільні елементи. Функцію f:X→{1,2,…,n+1}f : X \to \{1, 2, \ldots, n+1\} назвемо цікавою, якщо існує такий індекс kk, при якому справджується нерівність ∑x∈Xkf(x)>∑x∈Xif(x), ∀i≠k.\sum_{x \in X_k} f(x) > \sum_{x \in X_i} f(x), \ \forall i \ne k. Доведіть, що кількість цікавих функцій не менша від nnn^n.
10–11 класиБієкції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-006

Дивні числа серед перших N натуральних чисел

Нехай QQ — це множина, що складається лише з деяких простих чисел (не обов’язково скінченна). Для натурального числа nn розглянемо його розклад на прості множники, через p(n)p(n) позначимо суму степенів входжень простих чисел у цей розклад, а через q(n)q(n) — суму степенів входжень простих чисел із множини QQ. Назвемо число nn дивним, якщо обидва числа p(n)+p(n+1)p(n) + p(n+1) та q(n)+q(n+1)q(n) + q(n+1) є парними. Доведіть, що існує така стала c>0c > 0, значення якої не залежить від множини QQ та для всіх натуральних чисел N>100N > 100 кількість дивних чисел серед чисел 1,2,…,N1, 2, \ldots, N є більшою за cNcN. Наприклад, якщо Q={3,7}Q = \{3, 7\}, то для n=42=2⋅3⋅7n = 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 маємо p(42)=3p(42) = 3, q(42)=2q(42) = 2; для n=63=32⋅7n = 63 = 3^2 \cdot 7 маємо p(63)=3p(63) = 3, q(63)=3q(63) = 3; для n=2022=2⋅3⋅337n = 2022 = 2 \cdot 3 \cdot 337 маємо p(2022)=3p(2022) = 3, q(2022)=1q(2022) = 1.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-007

Потенційні переможці футбольного турніру з 25 команд

У футбольному турнірі взяли участь 2525 команд. Кожна команда зіграла з кожною іншою рівно один раз, за нічию нараховували 11 очко, за поразку — 00 очок, а за перемогу — kk очок, де число k>1k > 1 та не обов’язково ціле. Значення числа kk планували оголосити по завершенні турніру. Назвемо команду потенційним переможцем, якщо при деякому значенні kk у неї стане строго більше очок, ніж у кожної з інших команд. а) Доведіть, що коли розглянути всі можливі значення числа kk, то кількість потенційних переможців не може бути більшою за 1212. б) Доведіть, що коли розглянути всі можливі значення числа kk, то кількість потенційних переможців не може бути більшою за 77.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-008

Зважені часткові суми чисел з нульовою сумою

Для заданого натурального числа n⩾2n \geqslant 2 є дійсні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n із проміжку [−1,1][-1, 1], сума яких дорівнює 00. а) Доведіть, що існує таке число k∈{1,2,…,n}k \in \{1, 2, \ldots, n\}, коли справджується нерівність ∣a1+2a2+…+kak∣⩽2k+14.\left| a_1 + 2a_2 + \ldots + ka_k \right| \leqslant \frac{2k+1}{4}. б) Доведіть, що для n>2n > 2 існує такий набір чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що відповідає умові задачі, а також для будь-якого k∈{1,2,…,n}k \in \{1, 2, \ldots, n\} справджується нерівність ∣a1+2a2+…+kak∣⩾2k+14.\left| a_1 + 2a_2 + \ldots + ka_k \right| \geqslant \frac{2k+1}{4}.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-009

Точка дотику вписаного кола і три точки на колі

Вписане коло трикутника ABCABC із центром у точці II дотикається до сторони BCBC у точці DD. Пряма, що проходить через точку AA, перетинає прямі BCBC, BIBI, CICI в точках XX, YY, ZZ відповідно. Описане коло трикутника ABCABC перетинає вдруге описані кола трикутників AIYAIY та AIZAIZ у точках UU та VV відповідно. Доведіть, що точки DD, UU, VV, XX лежать на одному колі.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-010

Подільність добутку сум простих чисел на факторіал

Знайдіть усі натуральні числа n>2n > 2, такі що ∏p<q⩽np,q прості(p+q)⋮n!\prod_{\substack{p < q \leqslant n\\ p,\,q\ \text{прості}}} (p+q) \vdots n!
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-011

Максимальна кількість гострокутних трикутників на двох прямих

На двох горизонтальних прямих вибрано n=2m+1n = 2m + 1 точка A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n. Ці nn точок відмічено на заданих прямих таким чином, щоб серед усіх трикутників із вершинами в цих точках AiAjAkA_iA_jA_k, 1⩽i<j<k⩽n1 \leqslant i < j < k \leqslant n, утворилася максимальна кількість гострокутних трикутників. Скільки гострокутних трикутників при цьому утворилося? Примітка. Вироджені трикутники, тобто трикутники, у яких усі три вершини лежать на одній прямій, не враховуємо.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.