Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

477 задач
Відбір до збірної
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-018

Додатні числа з обмеженим відношенням і гострокутний трикутник

Знайдіть усі натуральні n⩾3n \geqslant 3 такі, що серед довільних nn додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, за умови max⁡(a1,a2,…,an)⩽nmin⁡(a1,a2,…,an)\max(a_1, a_2, \ldots, a_n) \leqslant n \min(a_1, a_2, \ldots, a_n), існують попарно різні індекси ii, jj, kk, для яких ai,aj,aka_i, a_j, a_k — сторони гострокутного трикутника.
7–9 класиЧисла Фібоначі
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-019

Натуральні n з умовою про неподільні циклічні суми

Знайдіть усі натуральні n⩾3n \geqslant 3, які задовольняють таку умову: для довільних цілих чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, сума яких не ділиться на nn, існує індекс 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n такий, що жодне із чисел ai, ai+ai+1, …, ai+ai+1+…+ai+n−1a_i,\ a_i + a_{i+1},\ \ldots,\ a_i + a_{i+1} + \ldots + a_{i+n-1} не ділиться на nn. Примітка. Вважаємо, що ai=ai−na_i = a_{i-n} при i>ni > n.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-020

Функція з умовою на композиції та її образ

Нехай дано скінченну множину SS і нехай AA — множина всіх функцій із множини SS у множині SS. Нехай ff — деяка функція з множини AA, для якої виконується умова: якщо g∈Ag \in A і g≠fg \neq f, то g∘f∘g≠f∘g∘fg \circ f \circ g \neq f \circ g \circ f. Позначимо через T=f(S)T = f(S) множину значень функції ff. Доведіть, що f(T)=Tf(T) = T.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-001

Інцентр трикутника з кутом 60° на відрізку P1T1

У трикутнику ABCABC відомо, що ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ, точка II — інцентр. Нехай точки PP і TT на сторонах ABAB і BCBC відповідно такі, що PI∥BCPI \parallel BC та TI∥ABTI \parallel AB, а точки P1P_1 і T1T_1 на сторонах ABAB і BCBC відповідно такі, що AP1=BPAP_1 = BP та CT1=BTCT_1 = BT. Доведіть, що точка II лежить на відрізку P1T1P_1T_1.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-002

Тури на трикутниках шестикутника і шахове розфарбування

Правильний шестикутник розрізано прямими на 6n26n^2 правильних трикутників (рис. 5.1). У трикутниках розставлено 2n2n тур, ніякі дві з них не б'ють одна одну. Доведіть, що в разі шахового розфарбування всіх 6n26n^2 правильних трикутників кількість тур, які стоять на чорних трикутниках, дорівнюватиме кількості тур, що стоять на білих трикутниках. Примітка. Тура б'є в напрямках, що паралельні сторонам шестикутника.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-003

Найбільша можлива різниця a2018 - a2017 у послідовності

Нехай a0,a1,a2…a_0, a_1, a_2\ldots — така послідовність дійсних чисел, що a0=0a_0 = 0, a1=1a_1 = 1 і для кожного натурального n⩾2n \geqslant 2 існує натуральне число kk, 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n, для якого an=1k(an−1+…+an−k).a_n = \frac{1}{k}(a_{n-1} + \ldots + a_{n-k}). Знайдіть найбільше можливе значення a2018−a2017a_{2018} - a_{2017}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-004

Жуки в пронумерованих коробках, що повзуть праворуч

Дано натуральне число nn. Ганна виставила в ряд (n+1)(n + 1) коробку та, пронумерувавши коробки зліва направо числами 0,1,2,…,n0, 1, 2, \ldots, n, помістила в нульову коробку nn жуків. Ці жуки почали переповзати по коробках. За одну хвилину рівно один із kk жуків, які містилися в коробці, переповзає в не більше ніж kk коробок праворуч. Через деякий час усі жуки опинилися в коробці з номером nn. Доведіть, що минуло не менше ніж [n1]+[n2]+…+[nn]\left[\dfrac{n}{1}\right] + \left[\dfrac{n}{2}\right] + \ldots + \left[\dfrac{n}{n}\right] хвилин від початку до цього моменту.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-005

Многочлен з цілими відношеннями добутків значень

Многочлен p(x)p(x) з дійсними коефіцієнтами, що відмінний від сталої, має таку властивість: для будь-яких натуральних чисел nn і kk число p(n+1) p(n+2)…p(n+k)p(1) p(2)…p(k)\dfrac{p(n+1)\,p(n+2)\ldots p(n+k)}{p(1)\,p(2)\ldots p(k)} є цілим. Доведіть, що цей многочлен ділиться на xx.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-006

Перетин B1C1 з висотою та дотик описаних кіл

Дано гострокутний трикутник ABCABC. Його висоти AA1AA_1, BB1BB_1 та CC1CC_1 перетинаються в точці HH — ортоцентрі трикутника ABCABC. Нехай прямі B1C1B_1C_1 та AA1AA_1 перетинаються в точці KK, точка MM — середина відрізка AHAH. Доведіть, що описане коло трикутника MKB1MKB_1 дотикається до описаного кола трикутника ABCABC тоді й тільки тоді, коли BA1=3A1CBA_1 = 3A_1C.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-007

Два учасники, що разом розв’язали всі задачі

На тестуванні mm учасникам було запропоновано nn задач, при цьому m>1m > 1, n>1n > 1. За кожну задачу кожен учасник одержав результат — «розв’язав» або «не розв’язав». Відомо, що кожну задачу розв’язали принаймні kk учасників. Доведіть, що знайдуться два учасники таких, що кожну задачу розв’язав принаймні один із них, якщо виконується умова km−12+1n⩾1.\frac{k}{m-\frac{1}{2}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\geqslant 1.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-008

Сума відстаней від точки до вершин рівнокутного шестикутника

Нехай ABCDEFABCDEF — опуклий шестикутник з рівними кутами при вершинах, PP — будь-яка точка на площині. Доведіть, що справджується нерівність PA+PB+PC+PD+PE+PF⩾AB+BC+CD+DE+EF+FA.PA+PB+PC+PD+PE+PF \geqslant AB+BC+CD+DE+EF+FA.
10–11 класиІнші нерівності в геометрії
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-009

Спільний дільник значень функції з подільністю

Нехай функція f ⁣:{1, 2, 3, …}→{2, 3, 4, …}f\colon \{1,\ 2,\ 3,\ \ldots\} \to \{2,\ 3,\ 4,\ \ldots\} така, що для довільних натуральних mm та nn справджується умова f(m+n)∣f(m)+f(n)f(m+n) \mid f(m)+f(n). Доведіть, що існує таке натуральне C>1C>1, що ділить усі значення, яких може набувати функція ff.
10–11 класиАлгоритм Евкліда
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-010

Добутки рядків таблиці n на n з остачами

Дано натуральне число n>1n > 1. У клітинках таблиці n×nn \times n розставлено натуральні числа таким чином, що: - кожне із чисел дає остачу 11 від ділення на число nn; - сума чисел будь-якого рядка так само, як і сума чисел будь-якого стовпчика, дає остачу nn від ділення на число n2n^2. Нехай RiR_i — це добуток чисел в ii-му рядку, а PP — добуток усіх n2n^2 чисел. Доведіть, що ∑i=1nRi≡(n−1)+P(modn4).\sum_{i=1}^{n} R_i \equiv (n-1) + P \pmod{n^4}.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-011

Функціональне рівняння з f(xf(y)) і f(xy)

Знайдіть усі такі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що для довільних дійсних xx та yy справджується рівність f(xf(y))+f(xy)=2f(x) y.f(xf(y)) + f(xy) = 2f(x)\,y.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-18-19-012

2019 точок загального положення і трикутники найбільшої площі

Нехай на площині дано 20192019 точок загального положення. Серед усіх трикутників, що мають вершинами деякі три точки із даних, виберемо той, що має найбільшу площу SS. Назвемо кожний трикутник з вершинами в даних точках гарним, якщо він також має площу SS. Доведіть, що існує не більше ніж 20192019 гарних трикутників.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-001

Сума та добуток цифр у циклічному ланцюжку чисел

Нехай S(m)S(m) і P(m)P(m) позначають суму та добуток цифр натурального числа mm відповідно. Доведіть, що для довільного натурального nn існують натуральні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n такі, що виконуються умови: S(a1)<S(a2)<…<S(an)S(a_1) < S(a_2) < \ldots < S(a_n) і S(ai)=P(ai+1)S(a_i) = P(a_{i+1}) при i=1,2,…,ni = 1, 2, \ldots, n (вважаємо, що an+1=a1a_{n+1} = a_1).
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-002

П'ятикутник з рівними сторонами, перпендикуляр і діагоналі

Дано опуклий п'ятикутник ABCDEABCDE, у якому AB=BC=CDAB = BC = CD, ∠EAB=∠BCD\angle EAB = \angle BCD і ∠EDC=∠CBA\angle EDC = \angle CBA. Доведіть, що перпендикуляр, проведений із точки EE до прямої BCBC, та відрізки ACAC і BDBD перетинаються в одній точці.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-003

Функціональне рівняння з дробом для додатних чисел

Знайдіть усі функції f:(0;+∞)→(0;+∞)f:(0;+\infty) \to (0;+\infty) такі, що для довільних x,y>0x, y > 0 справджується рівність f(f(x)yf(x)+1)=xxf(y)+1.f\left(\frac{f(x)}{yf(x)+1}\right) = \frac{x}{xf(y)+1}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-004

Максимальна кількість прямокутних трикутників з вершинами в n точках

Нехай f(n)f(n) позначає максимальну кількість прямокутних трикутників з вершинами в nn точках. Доведіть, що f(n)⩽n2nf(n) \leqslant n^2 \sqrt{n}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-005

Відстані від прямокутника розбиття до сторін прямокутника

Прямокутник RR з непарними цілими довжинами сторін поділено на менші прямокутники із цілими довжинами сторін. Доведіть, що існує хоча б один прямокутник розбиття, відстані від сторін якого до сторін прямокутника RR одночасно всі парні або одночасно всі непарні.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-006

Підпослідовність з 2n-1 чисел без різниці a

Задано дійсне число a≠0a \neq 0 й натуральне число nn. Доведіть, що для довільної послідовності a1,a2,…,a2n−1a_1, a_2, \ldots, a_{2n-1} дійсних чисел можна вибрати індекси i1<i2<…<ini_1 < i_2 < \ldots < i_n такі, що ais−air≠aa_{i_s} - a_{i_r} \neq a для довільних 1⩽s,r⩽n1 \leqslant s, r \leqslant n.
10–11 класиПарність і непарність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-007

Коло через ортоцентр і перетини зі сторонами трикутника

У гострокутному трикутнику ABCABC точка HH — ортоцентр, а точка MM — середина сторони ACAC. Нехай пряма, що проходить через HH перпендикулярно до відрізка BMBM, перетинає пряму ACAC у точці TT, а пряма, що проходить через TT паралельно до BMBM, перетинає прямі BABA і BCBC у точках KK і LL відповідно. Доведіть, що точки B,K,L,HB, K, L, H лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-008

Найбільша кількість m-гарних чисел множини S(m)

Назвемо раціональне число коротким, якщо в десятковому записі воно має скінченну кількість цифр. Для довільного натурального mm натуральне число tt назвемо mm-гарним, якщо існує c∈{1;2;3;…;2017}c \in \{1; 2; 3; \ldots; 2017\}, для якого число 10t−1cm\dfrac{10^t-1}{cm} коротке, а числа 10k−1cm\dfrac{10^k-1}{cm} при 1⩽k<t1 \leqslant k < t не є короткими. Нехай S(m)S(m) позначає множину mm-гарних чисел. Розглянемо множини S(m)S(m) при m=1,2,…m = 1, 2, \ldots. Знайдіть найбільшу кількість елементів у множині S(m)S(m).
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-009

Поділ купки з 33 камінців на 17 і 16

Відомо, що як би ми не розділили купку з 33 камінців на дві купки по 17 і 16 камінців, завжди можна лишити в кожній із них по 15 таких, що загальна вага камінців у першій купці дорівнюватиме загальній вазі камінців у другій. Доведіть, що хоча б 31 камінець має однакову вагу.
10–11 класиЧислові нерівності
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-010

Многочлен із сумою обернених та добутком чисел

Дано натуральні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, kk і MM такі, що 1a1+1a2+…+1an=k\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \ldots + \dfrac{1}{a_n} = k і a1a2…an=Ma_1 a_2 \ldots a_n = M. Доведіть, що многочлен P(x)=M(x+1)k−(x+a1)(x+a2)…(x+an)P(x) = M(x+1)^k - (x+a_1)(x+a_2)\ldots(x+a_n) не має додатних коренів, якщо M>1M > 1.
10–11 класиІнші класичні нерівності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.