Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

6 019 задач
Турніри й математичні бої
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-061

Числа до 2007 з великим НСК і сума обернених

Є декілька чисел, кожне з яких менше 20072007. Відомо, що найменше спільне кратне будь-яких двох чисел більше 20072007. Довести, що сума обернених величин цих чисел менше 22.
8–9 класиНСД та НСК
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-062

П'ятицифрове число і кількості цифр 0–4

Знайти усі п'ятицифрові числа abcde‾\overline{abcde}, у яких рівно aa цифр – нулі, рівно bb – одиниці, рівно cc – двійки, dd – трійки, ee – четвірки. Різні букви не обов'язково означають різні цифри.
8–9 класиПідрахунок двома способами
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-063

Трапеція, точка на основі та рівність для відрізків

Нехай ABCDABCD – трапеція, точка XX – довільна точка основи ABAB. Позначимо таким чином точки перетину P=CB∩ADP = CB \cap AD, Y=CD∩PXY = CD \cap PX, R=AY∩BDR = AY \cap BD і T=PR∩ABT = PR \cap AB. Довести, що 1AT=1AX+1AB\dfrac{1}{AT} = \dfrac{1}{AX} + \dfrac{1}{AB}.
8–9 класиТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-064

Добуток дробів зі сторонами трикутника і периметром

Нехай a,b,ca, b, c – сторони деякого трикутника, PP – його периметр. Довести нерівність: P+2004aP−2a⋅P+2004bP−2b⋅P+2004cP−2c≥20073.\frac{P + 2004a}{P - 2a} \cdot \frac{P + 2004b}{P - 2b} \cdot \frac{P + 2004c}{P - 2c} \ge 2007^3.
8–9 класиНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-125

Знайомства 2007 учнів з 14 вчителями та відношення

Є школа в якій навчається 20072007 учнів та викладає 1414 вчителів. Відомо, що кожний учень знайомий принаймні з одним вчителем, а кожній вчитель знайомий принаймні з одним учнем. Знайти найбільше дійсне tt таке, що завжди можна знайти пару знайомих між собою вчителя AA та учня BB, що відношення кількості учнів, з якими знайомий вчитель AA до кількості вчителів, з якими знайомий BB, не менше від tt.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-126

2007 цілих чисел на колі та умова на п'ятірки

20072007 цілих чисел розташовані на колі таким чином, що для будь-яких п'яти чисел, що йдуть поспіль, сума деяких трьох з них в два рази більше суми двох інших. Довести, що всі ці числа є нулями.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-127

Пари функцій f і g з двома рівностями

Знайти усі пари функцій f,g:R→Rf, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} таких, що справджуються рівності: 1) f(xg(y+1))+y=xf(y)+f(x+g(y))f\left(xg(y+1)\right) + y = xf(y) + f\left(x + g(y)\right) для будь-яких дійсних x,yx, y; 2) f(0)+g(0)=0f(0) + g(0) = 0.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-128

Рівність із сумою квадратів біноміальних коефіцієнтів

Для усіх натуральних nn довести рівність: ∑k=0n−1(Cn−1k)2k+1=C2nn2n.\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\left(C_{n-1}^{k}\right)^{2}}{k+1}=\frac{C_{2n}^{n}}{2n}.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-129

Вписаний шестикутник з паралельними сторонами через M, N, K

Заданий опуклий шестикутник P=ABCDEFP = ABCDEF, у якого відомі сторони AB=CD=DE=FA=2AB = CD = DE = FA = 2, BC=EF=2BC = EF = \sqrt{2} і кути ∠B=∠C=∠E=∠F=135∘\angle B = \angle C = \angle E = \angle F = 135^\circ, ∠A=∠D=90∘\angle A = \angle D = 90^\circ. Всередині його задані точки M,N,KM, N, K, що задовольняють умови AK=KB=265AK = KB = \frac{\sqrt{26}}{5}, BM=1BM = 1, MC=55MC = \frac{\sqrt{5}}{5}, NE=105NE = \frac{\sqrt{10}}{5}, DN=2DN = \sqrt{2}, Побудувати опуклий шестикутник P1=WUVXYZP_1 = WUVXYZ, що вписаний в PP (усі вершини P1P_1 лежать на периметрі PP), у якого протилежні сторони попарно паралельні (WUWU та XYXY, UVUV та YZYZ, ZWZW та VXVX), точки M,N,KM, N, K лежать на периметрі P1P_1 та жодна з сторін шестикутника P1P_1 не паралельна сторонам PP.
10–11 класиЗадачі на побудову (алгоритмічна…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-130

Чотири точки кола та спільна точка кіл

На колі ww з центром в точці OO вибрані точки A,B,C,DA, B, C, D. Позначимо точки перетину прямих AB∩CD=PAB \cap CD = P, AD∩BC=RAD \cap BC = R, AC∩BD=QAC \cap BD = Q. Кола, що описані навколо трикутників ADPADP і BCPBCP мають центри в точках O1O_1 та O2O_2 відповідно і перетинаються в точках PP і XX. Аналогічно, кола, що описані навколо ΔABQ\Delta ABQ і ΔCDQ\Delta CDQ мають центри в точках O3O_3 та O4O_4 і перетинаються в точках QQ і YY; кола, що описані навколо ΔACR\Delta ACR і ΔBDR\Delta BDR мають центри в точках O5O_5 та O6O_6 і перетинаються в точках RR і ZZ. Довести, що кола, які описані навколо трикутників O1O2XO_1O_2X, O3O4YO_3O_4Y, O5O6ZO_5O_6Z перетинаються в одній точці.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-131

Найбільша кількість хороших чисел у таблиці m на n

Нехай непарні натуральні числа m,n>1m, n > 1. Різні дійсні числа записано в клітинах таблиці m×nm \times n (mm рядків та nn стовпчиків). Числа називається «хорошим», якщо 1) Воно найбільше в своєму рядку (стовпчику). 2) Воно середнє за значенням у своєму стовпчику (рядку). Яка найбільша можлива кількість хороших чисел?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-132

Кубічні корені та умова на обернені числа

Додатні числа a,b,c,da, b, c, d задовольняють умову: 1a+1b+1c+1d=4.\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 4. Довести, що справджується нерівність: a3+b323+b3+c323+c3+d323+d3+a323≤2(a+b+c+d)−4.\sqrt[3]{\frac{a^3 + b^3}{2}} + \sqrt[3]{\frac{b^3 + c^3}{2}} + \sqrt[3]{\frac{c^3 + d^3}{2}} + \sqrt[3]{\frac{d^3 + a^3}{2}} \le 2(a + b + c + d) - 4.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-133

Непарні n із сумою квадратів, що дорівнює n⁴

Знайти усі непарні натуральні числа nn, для яких існують непарні натуральні числа x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n такі, що x12+x22+…+xn2=n4x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = n^4.
10–11 класиМіркування за модулем
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-065

Спільна частина двох одиничних прямокутників у прямокутнику площею 5

У прямокутнику площею 55 розміщені дев'ять прямокутників, площа кожного з яких дорівнює 11. Довести, що площа спільної частини якихось двох прямокутників не менша 19\frac{1}{9}.
8–9 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-066

Система рівнянь з модулями та дробовою частиною

Розв'язати систему рівнянь: {(∣3x−y∣−3)(∣3x+y∣−3)=0,y−{4x}=0,\begin{cases} \left(|3x-y|-3\right)\left(|3x+y|-3\right) = 0, \\ y - \{4x\} = 0, \end{cases} де {a}\{a\} – дробова частина числа aa.
8–9 класиЦіла та дробова частини числа
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-067

Нерівність для додатних чисел із сумою один

Нехай сума додатних чисел x1x_1, x2x_2,..., xnx_n дорівнює одиниці. Доведіть нерівність: 1x1x22+1x2x32+…+1xn−1xn2+1xnx12≥(1x1+1x2+…+1xn)(1x1x2+1x2x3+…+1xn−1xn+1xnx1).\frac{1}{x_1x_2^2} + \frac{1}{x_2x_3^2} + \ldots + \frac{1}{x_{n-1}x_n^2} + \frac{1}{x_nx_1^2} \ge \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x_1x_2}} + \frac{1}{\sqrt{x_2x_3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{x_{n-1}x_n}} + \frac{1}{\sqrt{x_nx_1}}\right).
8–9 класиНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-068

Нерівність для чисел a ≤ b ≤ c

Для чисел 0≤a≤b≤c0 \le a \le b \le c доведіть нерівність: (a+2b)(b+3c)(c+4a)≥60abc.(a + 2b)(b + 3c)(c + 4a) \ge 60abc.
8–9 класиНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-069

Рівність відрізків PO і HQ на прямій OH

У гострокутному трикутнику ABCABC ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ, AB>ACAB > AC, OO і HH – центр описаного кола та ортоцентр відповідно трикутника. Пряма OHOH перетинає сторони ABAB і ACAC в точках PP і QQ. Довести, що PO=HQPO = HQ.
8–9 класиТочка перетину висот
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-070

Послідовність сум квадратів цифр і числа 1 або 4

Послідовність цілих чисел визначається за правилом: a1a_1 – довільне трицифрове число, an+1a_{n+1} – сума квадратів цифр числа ana_n, n∈Nn \in \mathbb{N}. Довести, що в послідовності (an)(a_n) обов'язково зустрінеться або 11, або 44.
8–9 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-071

1971 цифра по колу і подільність на 27

19711971 цифр виписані по колу. Відомо, що якщо читати ці цифри за рухом годинникової стрілки, починаючи з деякого місця, то одержане 19711971-цифрове число ділиться на 2727. Довести, що якщо почати читати за годинниковою стрілкою це число з будь-якого іншого місця, то це число також буде ділитись на 2727.
8–9 класиОстачі від великих степенів
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-072

Задані кути в чотирикутнику ABCD і кут DBC

У заданому чотирикутнику ABCDABCD кути ∠CAD=45∘\angle CAD = 45^\circ, ∠ACD=30∘\angle ACD = 30^\circ, ∠BAC=∠BCA=15∘\angle BAC = \angle BCA = 15^\circ. Знайти величину кута ∠DBC\angle DBC.
8–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-073

Дві тури на кожній квазідіагоналі та пари, що б'ються

Дошка n×nn \times n поділена на n2n^2 одиничних квадратів. «Квазідіагоналлю» назвемо будь-які nn клітинок, серед яких жодні дві не знаходяться в одному рядку чи стовпчику. На дошці розставлені тури таким чином, що на кожній квазідіагоналі стоїть рівно 2 тури. Будемо вважати, що 2 тури б'ють одна одну, якщо вони знаходяться в одному рядку чи стовпчику. Знайти за таких умов мінімальну кількість пар тур, які б'ють одна одну.
8–9 класиПерестановки
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-074

Дві тури на кожній квазідіагоналі дошки n×n

Дошка n×nn \times n поділена на n2n^2 одиничних квадратів. «Квазідіагоналлю» назвемо будь-які nn клітинок, серед яких жодні дві не знаходяться в одному рядку чи стовпчику. На дошці розставлені тури таким чином, що на кожній квазідіагоналі стоїть рівно 2 тури. Довести, що усі фішки стоять або у двох стовпчиках, або у двох рядках.
8–9 класиПерестановки
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-075

Простий степінь виразу n⁵ + n⁴ + 1

Знайти усі натуральні m,nm, n і прості числа pp, такі що n5+n4+1=pm.n^5 + n^4 + 1 = p^m.
8–9 класиМетод факторизації (розкладання н…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-076

Гра королів з кутів a1 і h8

Олексій (за білих) та Дмитро (за чорних) грають у таку гру. В кутах шахової дошки стоять два королі – білий на «a1», чорний – на «h8». Гравці ходять по черзі, починають білі. Гравець може ставити свого короля на будь-яке сусіднє поле, якщо воно вільне, при цьому відстань між полями, на яких будуть розташовані королі (кількість ходів короля за шаховими правилами між цими двома полями), не повинна збільшуватись. Олексій прагне першим поставити свого короля на вертикаль «h» або на восьму горизонталь, а Дмитро – на вертикаль «a» або на першу горизонталь. Хто перемагає при правильній грі?
8–9 класиВиграшні та програшні позиції: ан…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.