Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

293 задачі
КомбінаторикаБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2011-022

Сума членів рекурентної послідовності до 2ⁿ − 1

Нехай cnc_n — послідовність, задана рекурентно так: c0=1c_0 = 1, c2n+1=cnc_{2n+1} = c_n при n≥0n \ge 0, і c2n=cn+cn−2ec_{2n} = c_n + c_{n-2^e} при n>0n > 0, де ee — найбільше невід'ємне ціле число таке, що 2e2^e ділить nn. Доведіть, що ∑i=02n−1ci=1n+2(2n+2n+1).\sum_{i=0}^{2^n-1} c_i = \frac{1}{n+2} \binom{2n+2}{n+1}.
10–11 класиБієкції
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-042

Сума елементів підмножини послідовних чисел

Розглянемо множину A={1,2,3,…,2011}A=\{1,2,3, \ldots, 2011\}. Скільки існує підмножин множини AA, сума елементів яких дорівнює 2023060?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-146

Ґратчасті шляхи з діагональними кроками

Мураха починає рух у (0,0)(0,0). Щосекунди, якщо вона перебуває в клітинці (x,y)(x, y), вона може перейти в (x−1,y−1)(x-1, y-1), (x−1,y+1)(x-1, y+1), (x+1,y−1)(x+1, y-1) або (x+1,y+1)(x+1, y+1). Скількома способами вона може опинитися в (2010,2010)(2010,2010) через 40204020 секунд?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-022

Набори з 9 літер

Скільки існує різних наборів з 9 літер? Літера може траплятися в наборі кілька разів. Два набори рівні, якщо кожна літера трапляється в обох наборах однакову кількість разів.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-060

Підмножини, замкнені відносно дільників

Нехай TT — множина чисел виду 2a3b2^{a} 3^{b}, де aa і bb — цілі числа, що задовольняють 0≤a,b≤50 \leq a, b \leq 5. Скільки підмножин SS множини TT мають властивість, що якщо nn належить SS, то всі натуральні дільники числа nn належать SS?
10–11 класиБієкції
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-005

Підрахунок пар з нерівністю з квадратним коренем

Відомо, що існує рівно 2958 пар (m,n)(m, n) натуральних чисел, які не перевищують 100, для яких виконуються нерівності m<2n<2mm < \sqrt{2n} < 2m. Скільки існує пар (m,n)(m, n) натуральних чисел, які не перевищують 100, для яких виконується нерівність 2n<m\sqrt{2n} < m?
7–9 класиБієкції
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-008

Заповнення таблиці з умовами на рядки та стовпці

На діаграмі ліворуч нижче є 4 рядки і 3 стовпці прямокутників, а на діаграмі праворуч нижче — 3 рядки і 4 стовпці прямокутників. У прямокутники діаграми ліворуч вписано числа, як показано нижче, а в діаграму праворуч числа ще не вписано. | 1 | 2 | 3 | |---|---|---| | 4 | 5 | 6 | | 7 | 8 | 9 | | 10 | 11 | 12 | | | | | | |---|---|---|---| | | | | | | | | | | | | | | | Припустімо, що ми намагаємося вписати в кожен прямокутник діаграми праворуч ціле число, не менше 1 і не більше 12, так, щоб виконувалися такі дві умови: Якщо числа nn і mm записані в одному рядку діаграми праворуч, то вони також трапляються в одному рядку діаграми ліворуч. Якщо числа nn і mm записані в одному стовпці діаграми праворуч, то вони трапляються в одному стовпці діаграми ліворуч. Скількома різними способами можна вписати числа в прямокутники діаграми праворуч із виконанням цих умов? Одне й те саме число можна вписувати більш ніж в один прямокутник діаграми праворуч, а деякі числа можна не вписувати в жоден прямокутник діаграми праворуч.
7–9 класиБієкції
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-010

Кількість наборів оцінок за три задачі

30 учнів складали тест із трьох задач. Задачі оцінювалися в 1, 2, 4 бали відповідно за правильне розв'язання, часткових балів не давали за жодну із задач. Припустімо, що кожну із задач правильно розв'язали 10 учнів. Скільки існує різних можливостей для набору з 30 оцінок, отриманих учнями? Два набори з 30 оцінок вважаємо однаковим набором, якщо один є перестановкою іншого.
7–9 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-112

Різні ціни страв із сумою 20

Одного бургера недостатньо, щоб втамувати голод хлопця. П'ятеро хлопців ідуть до ресторану Five Guys, у меню якого 20 різних страв. Кожна страва коштує ціле число доларів від 11 до 2020, і ціни всіх страв різні. У п'ятьох хлопців є 2020 доларів, які вони ділять між собою, і вони хочуть витратити всі гроші, замовивши п'ять різних страв. Скільки наборів із п'яти страв можуть обрати хлопці?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-145

Перестановки з двома зростаючими парами

Розглянемо перестановку чисел від 11 до nn; кожну пару сусідніх елементів aa і bb послідовності можна назвати або зростаючою (якщо a<ba < b), або спадною (якщо b<ab < a). Скільки існує перестановок чисел від 11 до nn, які мають рівно дві зростаючі пари сусідніх елементів?
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-060

Зіплайни між поверхами без перетинів

Є два будинки один навпроти одного, кожен 55 поверхів заввишки. Скількома способами Кевін може натягнути зіплайни між будинками так, щоб: a. кожен зіплайн починався і закінчувався посередині поверху. b. зіплайни можуть іти вгору, залишатися горизонтальними або іти вниз, але не можуть торкатися один одного (зокрема торкатися кінцями). Зауважимо, що не можна натягувати зіплайн між двома поверхами того самого будинку.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-061

Виграшні лінії у багатовимірних хрестиках-нуликах

Скільки існує способів виграти в хрестики-нулики в Rn\mathbb{R}^{n}? (Тобто скільки прямих проходить через три точки цілочисельної решітки (a1,…,an)(a_{1}, \ldots, a_{n}) в Rn\mathbb{R}^{n}, у яких кожна координата aia_{i} належить {1,2,3}\{1,2,3\}?) Виразіть відповідь через nn.
10–11 класиПравила суму та добутку
Відбіркові тести на IMOTST-2009-001

Замощення прямокутника з вирізаним квадратом степенями двійки

Нехай mm і nn — натуральні числа. Пан Фат має множину SS, що складається з усіх прямокутних плиток з цілими довжинами сторін і площею, що є степенем числа 22. Крім того, пан Фат має прямокутник RR розмірами 2m×2n2^m \times 2^n, з одного з кутів якого вирізано квадрат 1×11 \times 1. Пан Фат хоче вибрати m+nm + n прямокутників із SS з площами 20,21,…,2m+n−12^0, 2^1, \dots, 2^{m+n-1} відповідно, а потім замостити ними прямокутник RR. Доведіть, що це можна зробити щонайбільше (m+n)!(m+n)! способами.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2009-003

Розстановки дітей з вищим сусідом

Розгляньмо nn дітей, серед яких жодні двоє не однакові на зріст. Скільки існує способів поставити цих дітей у ряд так, щоб кожна дитина, крім найвищої, мала сусіда, вищого за неї?
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-124

Середнє значення медіани підмножин

Нехай S={1,2,…,2008}S=\{1,2, \ldots, 2008\}. Для будь-якої непорожньої підмножини A⊂SA \subset S визначимо m(A)m(A) як медіану множини AA (коли AA має парну кількість елементів, m(A)m(A) — це середнє арифметичне двох середніх елементів). Знайдіть середнє значення m(A)m(A), коли AA пробігає всі непорожні підмножини множини SS.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-017

Суми підмножин послідовних цілих чисел

Знайдіть кількість підмножин SS множини {1,2,…,63}\{1,2, \ldots, 63\}, сума елементів яких дорівнює 20082008.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-084

Шляхи без самоперетинів на решітці 2 на 6

На декартовій решітці Джонні хоче пройти від (0,0)(0,0) до (5,1)(5,1) і пройти через усі дванадцять точок множини S={(i,j)∣0≤i≤1,0≤j≤5,i,j∈Z}S=\{(i, j) \mid 0 \leq i \leq 1, 0 \leq j \leq 5, i, j \in \mathbb{Z}\}. На кожному кроці Джонні може перейти з однієї точки з SS в іншу точку з SS відрізком, що сполучає ці дві точки. Скількома способами Джонні може стартувати в (0,0)(0,0) і фінішувати в (5,1)(5,1) так, щоб він ніколи не перетинав власний шлях?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-085

Підмножини шахової дошки з північно-східною умовою

Знайдіть кількість способів вибрати додатну кількість клітинок на шаховій дошці 8×88 \times 8 так, щоб жодні дві не лежали в одному рядку чи в одному стовпці та жодна вибрана клітинка не лежала ліворуч і нижче від іншої вибраної клітинки.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-089

Сума добутків за трійками натуральних чисел

Нехай SS позначає множину всіх трійок (i,j,k)(i, j, k) натуральних чисел, для яких i+j+k=17i + j + k = 17. Обчисліть ∑(i,j,k)∈Sijk.\sum_{(i, j, k) \in S} i j k.
10–11 класиБієкції
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-011

Підмножини з умовою на найменший елемент

Маємо 15 карток з номерами 11, 22, …\dots, 1515. Скількома способами можна вибрати деякі (принаймні 1) картки так, щоб усі числа на цих картках були не меншими за кількість вибраних карток?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-095

Вкладені суми одиниці з верхньою межею 2

Обчисліть ∑n60=02∑n59=0n60⋯∑n2=0n3∑n1=0n2∑n0=0n11\sum_{n_{60}=0}^{2} \sum_{n_{59}=0}^{n_{60}} \cdots \sum_{n_{2}=0}^{n_{3}} \sum_{n_{1}=0}^{n_{2}} \sum_{n_{0}=0}^{n_{1}} 1
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-065

Кількість допустимих формацій на сітці купинок

Для цієї задачі наш газон — це прямокутна сітка купинок m×nm \times n, тобто з mm рядами, що йдуть із заходу на схід, і nn стовпцями, що йдуть з півдня на північ. А точніше, можна сказати, що наші купинки містяться в точках решітки {(x,y)∈Z2∣0≤x<n і 0≤y<m}\left\{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 \mid 0 \leq x < n \text{ і } 0 \leq y < m \right\} Проте моботам тепер дозволено бути орієнтованими для руху лише на північ або на схід. Тож одна допустима формація для m=2,n=3m=2, n=3 може мати такий вигляд: ⋅→↑→.\begin{array}{lll} \cdot & \rightarrow \\ \uparrow & \rightarrow & . \end{array} Доведіть, що кількість допустимих формацій для даних mm і nn дорівнює (m+n)!m!n!\frac{(m+n)!}{m!n!}.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-005

Кількість натуральних розв'язків рівняння зі сумою 7

Знайдіть кількість розв'язків у натуральних числах (k;a1,a2,…,ak;b1,b2,…,bk)\left(k ; a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k} ; b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}\right) рівняння a1(b1)+a2(b1+b2)+⋯+ak(b1+b2+⋯+bk)=7.a_{1}\left(b_{1}\right)+a_{2}\left(b_{1}+b_{2}\right)+\cdots+a_{k}\left(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{k}\right)=7 .
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-100

Латинські квадрати з умовою на квадранти

Скількома способами можна вписати числа з множини {1,2,3,4}\{1,2,3,4\} у таблицю 4×44 \times 4 так, щоб виконувалися всі наведені нижче умови? (a) Кожен рядок містить усі чотири числа. (b) Кожен стовпець містить усі чотири числа. (c) Кожен «квадрант» містить усі чотири числа. (Квадрантами є чотири кутові квадрати 2×22 \times 2.)
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2006-027

Неперетинні чорні шляхи в розфарбованій сітці

Розглянемо m×nm \times n-прямокутник з mnm n одиничних квадратів. Два його одиничні квадрати називаються сусідніми, якщо вони мають спільну сторону, а шлях — це послідовність одиничних квадратів, у якій будь-які два послідовні елементи сусідні. Кожен одиничний квадрат прямокутника можна пофарбувати або в білий, або в чорний колір. Коли всі квадрати пофарбовано, маємо розфарбування прямокутника. Нехай NN — кількість усіх таких розфарбувань, за яких існує принаймні один чорний шлях від лівої до правої сторони прямокутника. Далі нехай MM — кількість усіх розфарбувань, за яких існують принаймні два чорні шляхи від лівої до правої сторони прямокутника, які не мають спільного квадрата. Доведіть, що N2≥M⋅2mnN^{2} \geq M \cdot 2^{m n}.
10–11 класиМетод математичної індукції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.