Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

399 задач
ГеометріяДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-034

Єдиний трикутник XYZ навколо точок D, E, F

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 11. Точки DD, EE, FF лежать усередині трикутника ABCABC так, що AA, EE, FF колінеарні, BB, FF, DD колінеарні, CC, DD, EE колінеарні, а трикутник DEFDEF рівносторонній. Припустімо, що існує єдиний рівносторонній трикутник XYZXYZ з XX на стороні BC‾\overline{BC}, YY на стороні AB‾\overline{AB} і ZZ на стороні AC‾\overline{AC} такий, що DD лежить на стороні XZ‾\overline{XZ}, EE лежить на стороні YZ‾\overline{YZ}, а FF лежить на стороні XY‾\overline{XY}. Обчисліть довжину відрізка AZAZ.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2024-005

Коло з діаметром BP через інцентр трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник. Нехай PP — точка на відрізку BCBC, така, що коло з діаметром BPBP проходить через інцентр △ABC\triangle ABC. Доведіть, що ∣BP∣∣PC∣=cs−c,\frac{|BP|}{|PC|} = \frac{c}{s-c}, де cc — довжина відрізка ABAB, а ss — півпериметр △ABC\triangle ABC.
10–11 класиВписане коло
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-015

Дотик серединного перпендикуляра до описаного кола

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник із AB<ACAB < AC, OO — центр його описаного кола, а MM — середина дуги BCBC описаного кола трикутника ABCABC, яка не містить AA. Існує точка DD на продовженні сторони ABAB за точку BB, для якої BD=BMBD = BM, та існує точка EE на стороні ACAC (відмінна від кінців), для якої CE=CMCE = CM. Якщо описані кола трикутників ABEABE і ACDACD перетинаються в точці XX, відмінній від AA, доведіть, що серединний перпендикуляр до відрізка DEDE дотикається до описаного кола трикутника AOXAOX.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2023-003

Спільні дотичні до двох кіл

Дотичною до кола називається пряма, що перетинає коло рівно в одній точці. Спільною дотичною двох кіл називається пряма, що є дотичною до обох кіл. Наприклад, на рисунку праворуч пряма aa є спільною дотичною до обох кіл, а пряма bb дотикається лише до більшого кола. Дано два різні кола на площині; нехай nn — кількість спільних дотичних прямих, які можна провести до цих двох кіл. Які всі можливі значення nn? У відповіді наведіть рисунки з поясненнями.
10–11 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-031

Перпендикулярність у трикутнику з дотичним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а EE — середина відрізка [BC][BC]. Нехай mm — серединний перпендикуляр до відрізка [AC][AC], а DD — точка на прямій mm така, що описане коло трикутника ABDABD дотикається до прямої mm. Нарешті, нехай KK — точка перетину, відмінна від AA, описаного кола трикутника ABDABD і прямої (AC)(AC), а FF — середина відрізка [CK][CK]. Доведіть, що прямі (DE)(DE) і (EF)(EF) перпендикулярні.
9–11 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-078

Дотик у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — опуклий вписаний чотирикутник, MM — середина відрізка [AC][AC]. Описане коло трикутника CDMCDM перетинає пряму (BC)(BC) вдруге в точці NN (відмінній від CC). Нехай B′B' — точка, симетрична точці BB відносно точки NN. Доведіть, що пряма (MN)(MN) є дотичною до описаного кола трикутника B′DNB'DN.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-080

Коло через вершину квадрата, дотичне до сторони

Нехай ABCDABCD — квадрат зі стороною 55. Коло, що проходить через AA, дотикається до відрізка CDCD у точці TT і вдруге перетинає ABAB та ADAD у точках X≠AX \neq A і Y≠AY \neq A відповідно. Відомо, що XY=6XY = 6, обчисліть довжину відрізка ATAT.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-131

Дотик кіл у вписаному чотирикутнику

Чотирикутник ABCDA B C D вписано в коло Γ\Gamma. Відрізки ACA C і BDB D перетинаються в точці EE. Коло γ\gamma проходить через точку EE і дотикається до кола Γ\Gamma в точці AA. Припустімо, що описане коло трикутника BCEB C E дотикається до кола γ\gamma в точці EE і дотикається до прямої CDC D в точці CC. Припустімо, що коло Γ\Gamma має радіус 33, а коло γ\gamma має радіус 22. Обчисліть довжину відрізка BDB D.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-054

Прямокутний трикутник із дотичним колом і відрізками гіпотенузи

Накреслено прямокутний трикутник і коло так, що коло дотикається до катетів прямокутного трикутника. Коло розбиває гіпотенузу на три відрізки завдовжки 11, 2424 і 33, причому відрізок завдовжки 2424 є хордою кола. Обчисліть площу трикутника.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-069

Відстань між центрами кіл за довжинами дотичних

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, які не перетинаються. Припустімо, що виконуються такі три умови: - Довжина спільної внутрішньої дотичної до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дорівнює 1919. - Довжина спільної зовнішньої дотичної до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дорівнює 3737. - Якщо точки XX і YY вибрано на колах ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} відповідно рівномірно навмання, то математичне сподівання XY2XY^{2} дорівнює 20232023. Обчисліть відстань між центрами кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}.
10–11 класиЗастосування тригонометрії2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-009

Дотичне коло і рівність кутів у трикутнику

Дано трикутник ABCABC і точку DD на відрізку ACAC. Нехай MM — середина відрізка CDCD, а Ω\Omega — коло через BB і DD, яке дотикається до сторони ABAB. Нехай EE — така точка, що △MDB∼△MBE\triangle MDB \sim \triangle MBE і DD та EE лежать по різні боки від прямої MBMB. Доведіть, що EE лежить на колі Ω\Omega тоді й лише тоді, коли ∠ABD=∠MBC\angle ABD = \angle MBC.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2023-007

Коло через B і D, дотичне до AB

Дано трикутник ABCABC і точку DD на відрізку ACAC. Нехай MM — середина відрізка CDCD, а Ω\Omega — коло через BB і DD, дотичне до прямої ABAB. Нехай EE — така точка, що △MDB∼△MBE\triangle MDB \sim \triangle MBE і що DD і EE лежать по різні боки від прямої MBMB. Доведіть, що EE лежить на колі Ω\Omega тоді й лише тоді, коли ∠ABD=∠MBC\angle ABD = \angle MBC.
10–11 класиОзнаки подібності
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-006

Площа сердечка з дотичних дуг

Аліса малює сердечко в зошиті з математики так: спочатку вона малює два кола радіуса 1 см1~\text{см} з центрами O1O_1, O2O_2, які дотикаються зовні. Позначивши через rr спільну дотичну до двох кіл, що проходить через точку дотику, вона далі вибирає на прямій rr точку PP так, щоб O1PO2^=60∘\widehat{O_1 P O_2}=60^\circ, і проводить через PP дотичні до двох кіл. Чому дорівнює площа отриманого сердечка (тобто площа заштрихованої на рисунку фігури) в см2\text{см}^2? (A) 23+43π2 \sqrt{3}+\frac{4}{3} \pi (B) 3+π\sqrt{3}+\pi (C) 73π\frac{7}{3} \pi (D) 32+2π\frac{3}{2}+2 \pi (E) Жодна з попередніх
10–11 класиПлоща кола і його частин
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-008

Прямокутник із дотичних кіл

Нехай ω1\omega_{1} — коло з діаметром JKJ K. Нехай tt — дотична до кола ω1\omega_{1} в точці JJ, а U≠JU \neq J — інша точка на прямій tt. Нехай ω2\omega_{2} — найменше коло з центром у UU, яке перетинає ω1\omega_{1} в єдиній точці YY. Нехай II — друга точка перетину прямої JKJ K з описаним колом трикутника JYUJ Y U, а FF — друга точка перетину прямої KYK Y з колом ω2\omega_{2}. Доведіть, що FUJIF U J I — прямокутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-009

Прямокутник з дотичних кіл

Нехай ω1\omega_{1} — коло з діаметром JKJ K. Нехай tt — дотична до кола ω1\omega_{1} у точці JJ, а U≠JU \neq J — інша точка на прямій tt. Нехай ω2\omega_{2} — менше коло з центром UU, яке дотикається до кола ω1\omega_{1} в єдиній точці YY. Нехай II — друга точка перетину прямої JKJ K з описаним колом трикутника JYUJ Y U, а FF — друга точка перетину прямої KYK Y з колом ω2\omega_{2}. Доведіть, що FUJIF U J I — прямокутник.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2022-001

Рівні кути від перетинів кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — основа висоти, опущеної з вершини AA. Коло з центром AA, що проходить через DD, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках XX і YY так, що точки на цьому описаному колі розташовані в такому порядку: AA, XX, BB, CC, YY. Доведіть, що ∠BXD=∠CYD\angle BXD = \angle CYD.
10–11 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-032

Прямокутник із півколом і рівними відрізками

Нехай ABCDABCD — прямокутник. Нехай ω\omega — півколо з діаметром [BC][BC], причому точка AA і півколо ω\omega розміщені з одного боку від відрізка [BC][BC]. Коло з центром BB і радіусом ABAB вдруге перетинає півколо ω\omega в точці EE. Пряма (AE)(AE) вдруге перетинає півколо ω\omega в точці FF. Доведіть, що AF=BFAF = BF.
8–10 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-024

Дотичні до кола і рівність кутів

Нехай Γ\Gamma — коло, а PP — точка поза колом Γ\Gamma. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені з PP, дотикаються до кола Γ\Gamma в точках AA і BB. Нехай KK — точка на відрізку [AB][AB], відмінна від AA і BB. Описане коло трикутника PBKPBK перетинає коло Γ\Gamma повторно в точці TT. Нехай P′P' — точка, симетрична точці PP відносно точки AA. Доведіть, що PBT^=P′KA^\widehat{\mathrm{PBT}} = \widehat{\mathrm{P}'\mathrm{KA}}.
8–10 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-112

Відношення на чевіанах рівностороннього трикутника

Аліса та Боб грають у таку «гру на вгадування точки». Спочатку Аліса позначає рівносторонній трикутник ABCA B C і точку DD на відрізку BCB C, таку, що BD=3B D=3 і CD=5C D=5. Потім Аліса вибирає точку PP на прямій ADA D і пропонує Бобу позначити точку Q≠PQ \neq P на прямій ADA D таку, що BQQC=BPPC\frac{B Q}{Q C}=\frac{B P}{P C}. Аліса виграє тоді й лише тоді, коли Боб не може вибрати таку точку. Якщо Аліса виграє, то яких можливих значень набуває BPPC\frac{B P}{P C} для вибраної нею точки PP?
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2022-010

Рівні кути при перетині кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — основа висоти, проведеної з AA. Коло з центром AA, яке проходить через DD, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках XX і YY, причому порядок точок на цьому описаному колі такий: A,X,B,C,YA, X, B, C, Y. Доведіть, що ∠BXD=∠CYD\angle B X D = \angle C Y D.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2022-008

Перетин дотичних на спільній зовнішній дотичній

Дано два кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} з центрами O1O_{1} і O2O_{2} та спільними зовнішніми дотичними ℓ1\ell_{1} і ℓ2\ell_{2}. Пряма ℓ1\ell_{1} дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в AA і до кола Γ2\Gamma_{2} в BB. Нехай XX — точка на відрізку O1O2O_{1} O_{2}, але не на колах Γ1\Gamma_{1} чи Γ2\Gamma_{2}. Відрізок AXA X перетинає Γ1\Gamma_{1} в Y≠AY \neq A, а відрізок BXB X перетинає Γ2\Gamma_{2} в Z≠BZ \neq B. Доведіть, що дотична в YY до кола Γ1\Gamma_{1} і дотична в ZZ до кола Γ2\Gamma_{2} перетинаються на прямій ℓ2\ell_{2}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-002

Трапеція з вписаним колом

У трапецію ABCDABCD вписано коло радіуса 33, причому AD∥BCAD \parallel BC, а кути BB і CC — гострі. Якщо AB=7AB = 7 і CD=8CD = 8, знайдіть площу трапеції ABCDABCD.
10–11 класиДотична кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-007

Дотичні до кіл і кут 120 градусів

Нехай kk — коло з центром OO, а X,A,YX, A, Y — три точки на колі kk у такому порядку, що дотична до описаного кола трикутника OXAO X A через XX і дотична до описаного кола трикутника OAYO A Y через YY паралельні. Доведіть, що ∠XAY=120∘\angle X A Y=120^{\circ}, якщо AA лежить на меншій дузі XYX Y.
10–11 класиДотична кола2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-008

Вписаний чотирикутник у дотичних колах

Нехай k1k_{1} — коло з центром MM і ℓ\ell — пряма, дотична до кола k1k_{1} у точці AA. Нехай k2k_{2} — коло всередині кола k1k_{1}, яке також дотикається до прямої ℓ\ell у точці AA. Нехай PP — точка на прямій ℓ\ell, відмінна від AA. Друга дотична до кола k1k_{1}, проведена через PP, дотикається до k1k_{1} у точці TT. Нехай BB — друга точка перетину прямої ATA T і кола k2k_{2}, а CC — друга точка перетину прямої PBP B і кола k2k_{2}. Доведіть, що ATCMA T C M — вписаний чотирикутник.
10–11 класиДотична кола3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-006

Перпендикулярність інцентрів на стороні трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — внутрішня точка сторони BCBC. Нехай I1I_{1} та I2I_{2} — інцентри трикутників APBAPB і APCAPC відповідно. Нехай XX — найближча до AA точка на прямій APAP така, що відрізок XI1XI_{1} перпендикулярний до відрізка XI2XI_{2}. Доведіть, що відстань AXAX не залежить від вибору PP.
10–11 класиВписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.