Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

288 задач
Теорія чиселp-адичні показники
Відбіркові тести на IMOTST-2016-029

Добуток цілих дробів мінус один не є степенем двійки

Нехай mm і nn — натуральні числа, причому m>nm>n. Означимо xk=m+kn+k для k=1,…,n+1x_{k} = \frac{m+k}{n+k} \text{ для } k=1, \ldots, n+1 Доведіть: якщо всі xix_{i} цілі, то x1⋅x2⋅…⋅xn+1−1x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n+1} - 1 не є степенем двійки.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Італійська математична олімпіадаITAMO-2016-006

Подільність рекурентної послідовності на великий степінь

Нехай kk — натуральне число. Покладемо a1=1a_{1}=1 і, для кожного n≥1n \geq 1, an+1=k(a1+⋯+an)+1a_{n+1}=k\left(a_{1}+\cdots+a_{n}\right)+1 (отже, наприклад, a2=ka1+1a_{2}=k a_{1}+1 і a3=k(a1+a2)+1a_{3}=k\left(a_{1}+a_{2}\right)+1). Яке найменше значення kk таке, що a2016a_{2016} кратне 34031⋅740273^{4031} \cdot 7^{4027}? (A) 1271 (B) 1322 (C) 1331 (D) 1702 (E) 2048
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-003

Єдине значення у рекурентному співвідношенні з 3-адичним нормуванням

Для кожного цілого n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} позначимо через v3(n)v_{3}(n) 3-адичне нормування числа nn, тобто найбільше ціле kk таке, що nn ділиться на 3k3^{k}. Покладемо u1=2u_{1}=2 і un=4v3(n)+2−2un−1u_{n}=4 v_{3}(n)+2-\frac{2}{u_{n-1}} для всіх n⩾2n \geqslant 2 (за умови, що un−1u_{n-1} визначено і відмінне від нуля). Доведіть, що для кожного додатного раціонального числа qq існує єдине ціле n⩾1n \geqslant 1 таке, що un=qu_{n}=q.
9–11 класиМетод нескінченного спуску
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-134

Випадкове прибирання камінців за модулем 5

Алісі Царіні нудно, і вона грається з купкою камінців. Спочатку в купці 20152015 камінців. У кожному раунді, якщо в купці NN камінців, вона забирає kk з них, де 1≤k≤N1 \leq k \leq N, причому кожне можливе kk має однакову ймовірність. Аліса Царіна продовжує, доки в купці не залишиться жодного камінця. Нехай pp — ймовірність того, що кількість камінців, які залишилися в купці після кожного раунду, кратна 55. Якщо pp має вигляд 5a⋅31b⋅cd5^{a} \cdot 31^{b} \cdot \frac{c}{d}, де a,ba, b — цілі числа, а c,dc, d — натуральні числа, взаємно прості з 5⋅315 \cdot 31, знайдіть a+ba+b.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-052

Очікуване значення остачі біноміального коефіцієнта за модулем 3

Нехай aa, bb — цілі числа, вибрані незалежно й рівномірно випадково з множини {0,1,2,…,80}\{0,1,2, \ldots, 80\}. Обчисліть математичне сподівання остачі від ділення біноміального коефіцієнта (ab)=a!b!(a−b)!\binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!} на 33. (Тут (00)=1\binom{0}{0}=1, а (ab)=0\binom{a}{b}=0, коли a<ba<b.)
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-003

Цілочисельність добутку рекурентних послідовностей

Для заданого натурального числа kk визначимо дві послідовності {an}\{a_n\} і {bn}\{b_n\} так: a1=k,a2=k,an+2=anan+1(n≥1)b1=1,b2=k,bn+2=bn+13+1bn(n≥1)\begin{aligned} a_1 &= k, & a_2 &= k, & a_{n+2} &= a_n a_{n+1} \quad (n \ge 1) \\ b_1 &= 1, & b_2 &= k, & b_{n+2} &= \frac{b_{n+1}^3 + 1}{b_n} \quad (n \ge 1) \end{aligned} Для будь-якого натурального числа nn доведіть, що a2nbn+3a_{2n}b_{n+3} — ціле число.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2014-014

Зміна знаків на круговій клітинній дошці

Розглянемо клітчасту дошку, утворену всіма маленькими квадратами зі стороною 11, цілком включеними в круг, заданий нерівністю x2+y2≤20142x^{2}+y^{2} \leq 2014^{2} на площині з ортонормованою системою координат OxyOxy. На кожному етапі гри кожен квадрат містить число 11 або число −1-1. Припустимо, що на початку кожна клітинка дошки містить 11. Хід полягає у виборі рядка, стовпця або діагоналі (тобто максимальної множини клітинок такої, що центри цих останніх лежать на одній прямій, яка утворює кут 4545 градусів з однією з осей координат) дошки та зміні знаків вмісту всіх її клітинок. Чи можна наприкінці отримати −1-1 в одній клітинці, а 11 в усіх інших?
9–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-135

Блукання з монетами на цілих числах

На кожному цілому числі числової прямої лежить монета гербом догори. Лакі на початку стоїть у точці нуль числової прямої обличчям у додатному напрямі. Лакі виконує таку процедуру: він дивиться на монету (або її відсутність) під собою, а потім: - Якщо монета лежить гербом догори, Лакі перевертає її решкою догори, розвертається і робить крок уперед на одну одиницю відстані. - Якщо монета лежить решкою догори, Лакі забирає монету і робить крок уперед на одну одиницю відстані, дивлячись у тому самому напрямі. - Якщо монети немає, Лакі кладе під себе монету гербом догори і робить крок уперед на одну одиницю відстані, дивлячись у тому самому напрямі. Він повторює цю процедуру, доки де-небудь не з’явиться 20 монет решкою догори. Скільки разів Лакі виконає процедуру до зупинки процесу?
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-070

Оцінка кількості дільників факторіала

Нехай MM — кількість натуральних чисел, що ділять 2014!2014!, а NN — ціле число, найближче до ln⁡(M)\ln (M). Оцініть значення NN. Якщо ваша відповідь — натуральне число AA, ваш бал за цю задачу дорівнюватиме більшому з чисел 00 і ⌊20−18∣A−N∣⌋\left\lfloor 20-\frac{1}{8}|A-N|\right\rfloor. Інакше ваш бал дорівнюватиме нулю.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2014-002

НСД сум трьох послідовних степенів

Для кожного натурального числа nn нехай DnD_{n} — найбільший спільний дільник усіх чисел вигляду an+(a+1)n+(a+2)na^{n} + (a+1)^{n} + (a+2)^{n}, де aa пробігає всі натуральні числа. a. Доведіть, що для кожного nn число DnD_{n} має вигляд 3k3^{k} для деякого цілого k≥0k \geq 0. b. Доведіть, що для кожного k≥0k \geq 0 існує ціле число nn таке, що Dn=3kD_{n} = 3^{k}.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-021

Можливі остачі n за рівності n³ = m²+m+1

Знайдіть усі остачі, які можна отримати при діленні на 66 цілого числа nn, що задовольняє рівність n3=m2+m+1n^3 = m^2 + m + 1 для деякого цілого числа mm.
10–11 класиМіркування за модулем
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-100

Сума пар взаємно обернених остач за модулем

Нехай mm — непарне натуральне число, більше за 11. Нехай SmS_{m} — множина всіх невід'ємних цілих чисел, менших за mm, які мають вигляд x+yx+y, де xy−1x y-1 ділиться на mm. Нехай f(m)f(m) — кількість елементів множини SmS_{m}. a. Доведіть, що f(mn)=f(m)f(n)f(m n)=f(m) f(n), якщо m,nm, n — взаємно прості непарні цілі числа, більші за 11. b. Знайдіть явну формулу для f(pk)f\left(p^{k}\right), де k>0k>0 — ціле число, а pp — непарне просте число.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-007

Нулі в кінці факторіалів у різних основах

Нехай xx — кількість нулів, якими закінчується 2000!2000! у записі за основою 55, а yy — кількість нулів, якими закінчується 2013!2013! у записі за основою 1010. Обчисліть x−yx-y. (Нагадаємо, що число n!n!, для натурального nn, — це добуток усіх натуральних чисел, менших або рівних nn.) (A) −2-2 (B) 00 (C) 20132013 (D) 13!13! (E) Жодна з попередніх.
9–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-008

Сума обернених найбільших степенів двійки

Для будь-якого натурального числа nn нехай ana_n — найбільший степінь числа 22, який ділить nn (напр. a2011=1a_{2011} = 1, a2012=4a_{2012} = 4). Доведіть, що для будь-яких натуральних чисел ii і jj з i<ji < j сума 1ai+1ai+1+⋯+1aj\frac{1}{a_i} + \frac{1}{a_{i+1}} + \dots + \frac{1}{a_j} є дробовим числом.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-002

Сума однакових степенів дорівнює степеню простого числа

Нехай pp — просте число. Знайдіть усі натуральні числа a,b,c≥1a, b, c \geq 1 такі, що: ap+bp=pca^{p}+b^{p}=p^{c}
9–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-001

Добутковий многочлен, подільний на велике просте число

Для дев'яти різних натуральних чисел d1,d2,…,d9d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{9} розглянемо многочлен P(n)=(n+d1)(n+d2)⋅…⋅(n+d9)P(n)=\left(n+d_{1}\right)\left(n+d_{2}\right) \cdot \ldots \cdot\left(n+d_{9}\right). Доведіть, що існує ціле число NN з такою властивістю: для всіх цілих чисел n≥Nn \geq N число P(n)P(n) ділиться на просте число, більше за 20.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-008

Суми підмножин, що уникають досконалих степенів

Ціле число mm є точним степенем, якщо існують додатні цілі числа aa та nn такі, що n>1n>1 і m=anm=a^{n}. a. Покажіть, що існує 2012 різних додатних цілих чисел, жодна непорожня підмножина яких не має суми, що є точним степенем. b. Покажіть, що існує 2012 різних додатних цілих чисел, кожна непорожня підмножина яких має суму, що є точним степенем.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Відбіркові тести на IMOTST-2012-029

Прості дільники різниці степенів і попередні показники

Знайдіть усі пари (a,n)(a, n) натуральних чисел з n>1n > 1 таких, що для кожного простого pp, яке ділить an−1a^n - 1, існує 0<k<n0 < k < n таке, що pp ділить ak−1a^k - 1.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-031

Подільність добутку різниць квадратів

Ельф живе у світі фей. Одного дня він вибирає 12 пар додатних чисел: числа першої пари — непарні, числа другої дають остачу 1 при діленні на 3, числа третьої дають остачу 1 при діленні на 4, і так далі аж до дванадцятої пари. Потім він обчислює різницю квадратів чисел кожної пари і записує на дошці добуток усіх отриманих різниць. Починаючи з наступного ранку, він ділить число на дошці на 12 і, якщо результат — ціле число, записує цей результат замість числа, що було на дошці; якщо ж результат не цілий, він усе стирає і перебирається у світ людей робити капості. Протягом скількох днів (не враховуючи початкового дня, коли ельф вибирає числа) ми точно не матимемо проблем у нашому світі? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 12.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-032

Ділення навпіл різниці квадратів непарних чисел

Ельф вибирає два непарні числа x,yx, y такі, що 0<y<x<20120 < y < x < 2012, обчислює x2−y2x^{2} - y^{2} і записує результат на аркуш. Щоранку (починаючи з наступного дня) він прокидається, читає число, записане на аркуші, і, якщо це число парне, замінює його на його половину й іде пожартувати з когось. У день, коли він вперше читає непарне число, він зникає, повертаючись у світ фей. Скільки жартів щонайбільше зробить ельф? (A) 11 (B) 12 (C) 14 (D) 21 (E) 22.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-003

Останні цифри степеня з одиниць

Яке найменше натуральне число nn таке, що існує натуральне число kk таке, що останні 2012 цифр числа nkn^k усі дорівнюють 1?
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-019

Оцінка степеня двійки у різниці степенів

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. Нехай aa — найбільше натуральне число, для якого 2a∣5n−3n2^{a} \mid 5^{n}-3^{n}. Нехай bb — найбільше натуральне число, для якого 2b≤n2^{b} \leq n. Доведіть, що a≤b+3a \leq b+3.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Відбіркові тести на IMOTST-2011-027

Прості дільники біноміальних коефіцієнтів

Доведіть, що якщо nn і kk — натуральні числа такі, що 1<k<n−11 < k < n-1, то біноміальний коефіцієнт (nk)\binom{n}{k} ділиться принаймні на два різні прості числа.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2010-018

Рекурентна послідовність із конгруенцією за модулем

Послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots визначено умовами a1=1a_1 = 1 та an=a⌊n/2⌋+a⌊n/3⌋+⋯+a⌊n/n⌋+1a_n = a_{\lfloor n/2 \rfloor} + a_{\lfloor n/3 \rfloor} + \dots + a_{\lfloor n/n \rfloor} + 1 для n>1n > 1. Доведіть, що існує нескінченно багато таких nn, що an≡n(mod22010).a_n \equiv n \pmod{2^{2010}}.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-004

Гарні прості числа та подільність послідовності

Просте число pp називається гарним простим числом, якщо існує послідовність натуральних чисел (n1,n2,…,nk)(n_1, n_2, \dots, n_k), яка задовольняє наведені нижче умови для нескінченно багатьох натуральних чисел kk, але не існує такої послідовності для k=1k = 1. 1. Для i=1,2,…,ki = 1, 2, \dots, k, ni≥p+12n_i \ge \frac{p+1}{2}. 2. Для i=1,2,…,ki = 1, 2, \dots, k, pni−1p^{n_i} - 1 кратне ni+1n_{i+1}, а pni−1ni+1\frac{p^{n_i} - 1}{n_{i+1}} і ni+1n_{i+1} взаємно прості. Покладемо nk+1=n1n_{k+1} = n_1. Доведіть, що 22 не є гарним простим числом, але всі непарні прості числа є гарними.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.