Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

374 задачі
ГеометріяСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-010

Трикутник з ортоцентром і умовою на описане коло

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник зі сторонами AB=11AB = 11, AC=10AC = 10, ортоцентр позначено через HH, а середину сторони BCBC — через MM. Точка PP всередині трикутника ABCABC лежить на описаному колі трикутника BHCBHC і задовольняє ∠ABP=∠CPM\angle ABP = \angle CPM, PM=3PM = 3. Знайдіть довжину BCBC.
10–11 класиТочка перетину висот
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-001

Діаметр кола та відношення відрізків

Нехай kk — коло з центром MM, а ABA B — діаметр кола kk. Крім того, нехай CC — точка на колі kk така, що AC=AMA C = A M. Нехай DD — точка на прямій ACA C така, що CD=ABC D = A B і CC лежить між AA і DD. Нехай EE — друга точка перетину описаного кола трикутника BCDB C D з прямою ABA B, а FF — точка перетину прямих EDE D і BCB C. Пряма AFA F перетинає відрізок BDB D у точці XX. Знайдіть відношення BX/XDB X / X D.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-008

Вписаний чотирикутник у дотичних колах

Нехай k1k_{1} — коло з центром MM і ℓ\ell — пряма, дотична до кола k1k_{1} у точці AA. Нехай k2k_{2} — коло всередині кола k1k_{1}, яке також дотикається до прямої ℓ\ell у точці AA. Нехай PP — точка на прямій ℓ\ell, відмінна від AA. Друга дотична до кола k1k_{1}, проведена через PP, дотикається до k1k_{1} у точці TT. Нехай BB — друга точка перетину прямої ATA T і кола k2k_{2}, а CC — друга точка перетину прямої PBP B і кола k2k_{2}. Доведіть, що ATCMA T C M — вписаний чотирикутник.
10–11 класиДотична кола3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-127

Радіус описаного кола за хордою та відношенням

Гострокутний трикутник ABCABC вписано в коло Γ\Gamma. Нехай MM — середина сторони BCBC. Точки PP і QQ лежать на колі Γ\Gamma так, що ∠APM=90∘\angle APM = 90^{\circ} і Q≠AQ \neq A лежить на прямій AMAM. Відрізки PQPQ і BCBC перетинаються в точці SS. Припустімо, що BS=1BS = 1, CS=3CS = 3, PQ=8737PQ = 8 \sqrt{\frac{7}{37}}, а радіус кола Γ\Gamma дорівнює rr. Якщо суму всіх можливих значень r2r^2 можна записати як ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-053

Трикутник з умовами на кути і середину

У гострокутному трикутнику ABCA B C точка OO — центр описаного кола, а MM — середина сторони BCB C. Нехай PP — єдина точка така, що ∠BAP=∠CAM\angle B A P = \angle C A M, ∠CAP=∠BAM\angle C A P = \angle B A M і ∠APO=90∘\angle A P O = 90^\circ. Якщо AO=53A O = 53, OM=28O M = 28 і AM=75A M = 75, обчисліть периметр △BPC\triangle B P C.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-089

Рівносторонній трикутник з умовою на кут і довжину

Точка PP лежить всередині рівностороннього трикутника ABCABC так, що ∠BPC=120∘\angle BPC = 120^{\circ} і AP2=BP+CPAP \sqrt{2} = BP + CP. Відношення APAB\frac{AP}{AB} можна записати у вигляді abc\frac{a \sqrt{b}}{c}, де a,b,ca, b, c — цілі числа, cc додатне, bb вільне від квадратів, а НСД(a,c)=1\text{НСД}(a, c) = 1. Знайдіть 100a+10b+c100a + 10b + c.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-021

Описані кола і перпендикулярні чевіани

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, нехай MM — середина сторони BCBC, а HH — основа висоти, проведеної з BB. Позначимо через QQ центр описаного кола трикутника ABMABM, а через XX — перетин висоти BHBH із серединним перпендикуляром до сторони BCBC. Доведіть, що такі два твердження рівносильні: (i) описане коло трикутника ACMACM, описане коло трикутника AXHAXH і пряма CQCQ проходять через одну точку; (ii) прямі BQBQ і CQCQ перпендикулярні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-007

Проєкції та середина в трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з BC>ACBC > AC. Серединний перпендикуляр до сторони ABAB перетинає пряму BCBC у точці XX і пряму ACAC у точці YY. Нехай PP — проєкція точки XX на пряму ACAC, а QQ — проєкція точки YY на пряму BCBC. Доведіть, що пряма PQPQ перетинає відрізок ABAB у його середині.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-045

Рівні відрізки AX, AY, AD і дотик кіл

Нехай ABCABC — трикутник з гострими кутами, а DD — основа висоти, проведеної з вершини AA. Нехай XX і YY — дві точки описаного кола трикутника ABCABC такі, що AX=AY=ADAX = AY = AD, і такі, що BB і XX містяться по один бік від прямої (AD)(AD). Нехай EE — точка перетину прямих (BX)(BX) і (CY)(CY). Нарешті, нехай FF — точка перетину, відмінна від EE, прямої (DE)(DE) з описаним колом трикутника EXYEXY. Доведіть, що описані кола трикутників BCFBCF і EXYEXY дотикаються.
9–11 класиІнверсія2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-022

Циклічність у трикутнику з бісектрисою

Нехай ABCABC — трикутник, не рівнобедрений з вершиною BB. Нехай DD — основа бісектриси кута ABC^\widehat{ABC}. Нехай MM — середина дуги AC^\widehat{AC}, що містить BB, на описаному колі трикутника ABCABC. Описане коло трикутника BDMBDM перетинає відрізок [AB][AB] у точці KK, відмінній від BB. Нехай JJ — точка, симетрична точці AA відносно точки KK. Пряма (DJ)(DJ) перетинає пряму (AM)(AM) у точці OO. Доведіть, що точки JJ, BB, MM і OO лежать на одному колі.
8–10 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-003

Ортоцентр тетраедра та відстані

Нехай P1P2P3P4P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} — тетраедр у R3\mathbb{R}^{3}, а OO — точка, рівновіддалена від усіх його вершин. Припустімо, що існує точка HH така, що для кожного ii пряма PiHP_{i} H перпендикулярна до площини через три інші вершини. Пряма P1HP_{1} H перетинає площину через P2,P3,P4P_{2}, P_{3}, P_{4} у точці AA та містить точку B≠P1B \neq P_{1} таку, що OP1=OBO P_{1}=O B. Доведіть, що HB=3HAH B=3 H A.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-090

Дотична до описаного кола і пряма, що ділить сторону навпіл

Нехай ABCABC — трикутник, вписаний у коло ω\omega, а пряма ℓ\ell — дотична до кола ω\omega в точці AA. Пряма через BB, паралельна ACAC, перетинає ℓ\ell в точці PP, а пряма через CC, паралельна ABAB, перетинає ℓ\ell в точці QQ. Описані кола трикутників ABPABP і ACQACQ перетинаються в точці S≠AS \neq A. Доведіть, що пряма ASAS ділить відрізок BCBC навпіл.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-130

Площа описаного кола продовженого трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=5AB = 5, BC=6BC = 6, CA=7CA = 7. Нехай DD — точка на промені ABAB за точкою BB така, що BD=7BD = 7, EE — точка на промені BCBC за точкою CC така, що CE=5CE = 5, а FF — точка на промені CACA за точкою AA така, що AF=6AF = 6. Обчисліть площу круга, обмеженого описаним колом трикутника DEFDEF.
10–11 класиВписане коло2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-131

Відрізок дотичної у вкладених колах

Нехай Γ\Gamma — коло, а ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, що не перетинаються, всередині Γ\Gamma, які дотикаються до кола Γ\Gamma внутрішньо в точках X1X_{1} і X2X_{2} відповідно. Нехай одна зі спільних внутрішніх дотичних до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дотикається до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} в точках T1T_{1} і T2T_{2} відповідно, перетинаючи при цьому Γ\Gamma у двох точках AA і BB. Відомо, що 2X1T1=X2T22 X_{1} T_{1}=X_{2} T_{2} і що кола ω1,ω2\omega_{1}, \omega_{2} і Γ\Gamma мають радіуси 2, 3 і 12 відповідно, обчисліть довжину відрізка ABA B.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-052

Рівносторонній трикутник з проєкцій інцентра

У △ABC\triangle ABC коло ω\omega — описане, II — інцентр, а IAI_{A} — центр зовнівписаного кола навпроти вершини AA. Нехай MM — середина дуги BAC^\widehat{BAC} на колі ω\omega, а X,YX, Y — проєкції II на пряму MIAMI_{A} та IAI_{A} на пряму MIMI відповідно. Якщо △XYIA\triangle XYI_{A} — рівносторонній трикутник зі стороною 11, обчисліть площу △ABC\triangle ABC.
10–11 класиТеорема про тризуб2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-057

Вписаний чотирикутник із серединами сторін трикутника

У △ABC\triangle ABC точки DD і EE — середини сторін BCBC і CACA відповідно. Відрізки ADAD і BEBE перетинаються в точці GG. Відомо, що чотирикутник GECDGEC D вписаний, AB=41AB = 41, а AC=31AC = 31. Обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-062

Площа трикутника за ортоцентричним колом

У гострокутному трикутнику ABCA B C нехай HH — ортоцентр, а DD — основа висоти з AA. Описане коло трикутника BHCB H C перетинає сторону ACA C в точці E≠CE \neq C, а сторону ABA B — в точці F≠BF \neq B. Якщо BD=3B D = 3, CD=7C D = 7 і AHHD=57\frac{A H}{H D} = \frac{5}{7}, то площу трикутника AEFA E F можна подати у вигляді ab\frac{a}{b}, де a,ba, b — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a + b.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2020-033

Точки перетину діагоналей 100-кутника на одному колі

Нехай P1P2⋯P100P_1P_2 \cdots P_{100} — вписаний 100-кутник, і нехай Pi=Pi+100P_i = P_{i+100} для всіх ii. Визначимо QiQ_i як перетин діагоналей Pi−2Pi+1‾\overline{P_{i-2}P_{i+1}} і Pi−1Pi+2‾\overline{P_{i-1}P_{i+2}} для всіх цілих ii. Припустимо, що існує точка PP, для якої PPi‾⊥Pi−1Pi+1‾\overline{PP_i} \perp \overline{P_{i-1}P_{i+1}} для всіх цілих ii. Доведіть, що точки Q1,Q2,…,Q100Q_1, Q_2, \dots, Q_{100} лежать на одному колі.
10–11 класиІнверсія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-014

Трикутник з бісектрисою і дотичним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а DD — основа бісектриси, проведеної з вершини AA. Нехай ω\omega — коло, що дотикається до прямої ACAC в точці AA і проходить через DD. Нехай PP — друга точка перетину кола ω\omega з прямою BCBC. Відомо, що AC=54AC=54, AD=63AD=63 і CP=108CP=108. Знайдіть довжину відрізка ABAB. (A) 72 (B) 1472\frac{147}{2} (C) 98 (D) 99 (E) 102
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-135

Рівнобедрений трикутник із відбитою вершиною

Рівнобедрений трикутник ABCA B C з AB=ACA B = A C вписано в одиничне коло Ω\Omega з центром OO. Точка DD симетрична точці CC відносно прямої ABA B. Відомо, що DO=3D O = \sqrt{3}. Знайдіть площу трикутника ABCA B C.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-056

Довжина DE при CD = 4 у рівносторонньому трикутнику

Рівносторонній △ABC\triangle ABC має сторону завдовжки 66. Нехай ω\omega — коло через AA і BB таке, що прямі CACA і CBCB обидві дотикаються до кола ω\omega. Точка DD на колі ω\omega задовольняє CD=4CD = 4. Нехай EE — перетин прямої CDCD з відрізком ABAB. Чому дорівнює довжина відрізка DEDE?
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-086

Відстань від інцентра до точки з двома прямими кутами

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=6AB = 6, AC=7AC = 7, BC=8BC = 8. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC. Точки ZZ і YY лежать у внутрішності відрізків ABAB і ACAC відповідно так, що YZYZ дотикається до вписаного кола. Для точки PP, такої, що ∠ZPC=∠YPB=90∘\angle ZPC = \angle YPB = 90^\circ знайдіть довжину IPIP.
10–11 класиПроєктивна геометрія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-035

Симетричні образи спільної точки чевіан і описане коло

Нехай задано трикутник ABCA B C з описаним колом Ω\Omega та точки A1,B1A_{1}, B_{1} і C1C_{1} на сторонах трикутника BC‾,CA‾\overline{B C}, \overline{C A} і AB‾\overline{A B}, такі, що три прямі AA1,BB1A A_{1}, B B_{1} і CC1C C_{1} мають спільну точку PP. Треба показати, що щонайбільше дві з трьох точок, одержаних відображенням точки PP при центральній симетрії відносно A1A_{1}, B1B_{1} та C1C_{1} відповідно, лежать поза колом Ω\Omega.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Відбіркові тести на IMOTST-2019-022

Дотична і перпендикуляр у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник такий, що AB<ACAB < AC. Нехай EE і FF — основи висот, проведених з BB і CC відповідно, а MM — середина сторони BCBC. Дотична до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA перетинає пряму BCBC у точці PP. Пряма, що проходить через AA паралельно прямій BCBC, перетинає пряму EFEF у точці QQ. Доведіть, що пряма PQPQ перпендикулярна до прямої AMAM.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-013

Відношення хорди до сторони трикутника

Нехай DD, EE — точки на сторонах ABAB, ACAC відповідно трикутника ABCABC, причому відомо: AB=6AB = 6, AC=9AC = 9, AD=4AD = 4, AE=6AE = 6. Припустімо, крім того, що описане коло трикутника ADEADE перетинає сторону BCBC у двох точках FF, GG, причому точки BB, FF, GG, CC розташовані в цьому порядку. Якщо точка перетину прямих DFDF і EGEG лежить на описаному колі трикутника ABCABC, знайдіть значення FGBC\frac{FG}{BC}. Тут XYXY позначає також довжину відрізка XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.