Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 538 задач
Теорія чиселТеорія подільності, основні поняття
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-036

Найменше прайместне число

Натуральне число називається праймерним, якщо кількість його різних простих дільників є простим числом. Натуральне число називається прайместним, якщо кількість його різних праймерних дільників є праймерним числом. Знайдіть найменше прайместне число.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-045

Оптимальний вибір за повної інформації

Ви — перший щасливий гравець у дещо зміненому випуску шоу Deal or No Deal! Спочатку є шістнадцять кейсів під номерами 11 – 1616. Суми грошей у кейсах — це степені 22 від 21=22^{1} = 2 до 216=655362^{16} = 65536 у випадковому порядку. Гра триває вісім ходів. У кожному ході ви обираєте кейс і забираєте його собі, не відкриваючи його. Після цього один випадковий кейс із решти відкривають, показують вам, а потім вилучають з гри. Наприкінці гри всі вісім ваших кейсів відкривають, і ви виграєте всі гроші, що лежать у них. Проте ведучі не здогадуються, що у вас рентгенівський зір і ви бачите суму грошей у кожному кейсі! Яке математичне сподівання суми, яку ви виграєте, якщо гратимете оптимально?
10–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-053

Математичне сподівання ходів зі стиранням дільників

Фран пише числа 1,2,3,…,201,2,3, \ldots, 20 на дошці. Потім вона стирає всі числа серією ходів; у кожному ході вона рівномірно випадково вибирає число nn серед усіх чисел, що ще залишилися на дошці, а потім стирає всі дільники числа nn, що ще залишилися на дошці (зокрема й саме nn). Чому дорівнює математичне сподівання кількості ходів, які Фран має зробити, щоб стерти всі числа?
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-069

Ієрархія чисел за кількістю простих дільників

Натуральне число називається праймером, якщо воно має просту кількість різних простих дільників. Натуральне число називається прайместом, якщо воно має праймерну кількість різних праймерних дільників. Натуральне число називається прайм-міністром, якщо воно має прайместну кількість різних прайместних дільників. Нехай NN — найменше число, яке є прайм-міністром. Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 приносить ⌊20min⁡(NE,EN)⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{N}{E}, \frac{E}{N}\right)\right\rfloor балів.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Відбіркові тести на IMOTST-2018-030

Функції на многочленах з цілими коефіцієнтами з двома умовами

Як завжди, нехай Z[x]\mathbb{Z}[x] позначає множину многочленів від однієї змінної xx з цілими коефіцієнтами. Знайдіть усі функції θ:Z[x]→Z\theta : \mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z} такі, що для будь-яких многочленів p,q∈Z[x]p, q \in \mathbb{Z}[x] виконано: θ(p+1)=θ(p)+1\theta(p + 1) = \theta(p) + 1; і якщо θ(p)≠0\theta(p) \neq 0, то θ(p)\theta(p) ділить θ(p⋅q)\theta(p \cdot q).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-010

Дільники, замкнені відносно фіксованого зсуву

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує натуральне число kk таке, що для кожного додатного дільника dd числа nn число d−kd-k також є (не обов’язково додатним) дільником числа nn.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-006

Перетин дотичної до описаного кола з прямою сторони

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, довжини сторін якого є натуральними числами, попарно взаємно простими. Дотична в точці AA до описаного кола перетинає пряму BCBC в точці DD. Доведіть, що ∣BD∣|BD| не є цілим числом.
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові тести на IMOTST-2018-011

Перестановка з різними остачами часткових добутків

Нехай pp — просте число. Доведіть, що можна вибрати перестановку a1,a2,…,apa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{p} чисел 1,2,…,p1,2, \ldots, p так, щоб числа a1,a1a2,a1a2a3,…,a1a2a3⋯apa_{1}, a_{1} a_{2}, a_{1} a_{2} a_{3}, \ldots, a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{p} давали всі різні остачі при діленні на pp.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-012

Різниці послідовності з квадратичними сумами

Нехай n≥0n \geq 0 — ціле число. Послідовність a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots цілих чисел визначається так: a0=na_{0}=n, а для k≥1k \geq 1 число aka_{k} є найменшим цілим числом, більшим за ak−1a_{k-1}, для якого ak+ak−1a_{k}+a_{k-1} є квадратом цілого числа. Доведіть, що існує рівно ⌊2n⌋\lfloor\sqrt{2 n}\rfloor додатних цілих чисел, які не можна записати у вигляді ak−aℓa_{k}-a_{\ell}, де k>ℓ≥0k>\ell \geq 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2018-013

Циклічна перевага сіл у змаганнях бійців

Вздовж узбережжя круглого острова розташовано 20 різних сіл. У кожному з цих сіл є 20 бійців, причому всі 400 бійців мають різну силу. Кожні два сусідні села AA і BB проводять змагання, у якому кожен із 20 бійців села AA міряється силою з кожним із 20 бійців села BB. При цьому перемагає сильніший боєць. Кажемо, що село AA сильніше за село BB, якщо принаймні у kk з 400 поєдинків перемагає боєць села AA. Виявляється, що кожне село сильніше за своє сусіднє село за годинниковою стрілкою. Знайдіть найбільше значення kk, за якого таке можливе.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-018

Розбиття чисел до квадрата з відношенням сум

Нехай nn — парне натуральне число. Розіб'ємо числа 1,2,…,n21,2, \ldots, n^{2} на дві множини AA і BB однакового розміру так, щоб кожне з n2n^{2} чисел належало рівно одній з цих двох множин. Нехай SAS_{A} і SBS_{B} — суми всіх елементів у множинах AA і BB відповідно. Визначте всі nn, для яких існує таке розбиття, що SASB=3964\frac{S_{A}}{S_{B}}=\frac{39}{64}
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-042

Послідовність фібоначчієвого типу з рекурентною сумою

Послідовність додатних дійсних чисел a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots задовольняє an=an−1+an−2a_n = a_{n-1} + a_{n-2} для всіх n≥3n \ge 3. Послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \dots задано рівностями b1=a1b_1 = a_1, bn=an+(b1+b2+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1}) для парних n>1n > 1, bn=an+(b2+b4+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_2 + b_4 + \dots + b_{n-1}) для непарних n>1n > 1. Доведіть, що якщо n≥3n \ge 3, то 13<bnn⋅an<1\frac{1}{3} < \frac{b_n}{n \cdot a_n} < 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2018-035

Червоне розфарбування та парність кортежів

Нехай S={1,…,100}S = \{1, \dots, 100\}, і для кожного натурального числа nn визначимо Tn={(a1,…,an)∈Sn∣a1+⋯+an≡0(mod100)}.T_n = \{(a_1, \dots, a_n) \in S^n \mid a_1 + \dots + a_n \equiv 0 \pmod{100}\}. Визначте, для яких nn виконується така властивість: якщо пофарбувати будь-які 75 елементів множини SS у червоний колір, то принаймні половина nn-елементних кортежів із TnT_n має парну кількість координат із червоними елементами.
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові тести на IMOTST-2018-029

Квадратні значення добутку дільників у грі

Давид і Лінус грають у таку гру: Давид вибирає підмножину QQ множини {1,…,2018}\{1, \ldots, 2018\}. Потім Лінус вибирає натуральне число a1a_{1} і обчислює числа a2,…,a2018a_{2}, \ldots, a_{2018} рекурсивно, причому an+1a_{n+1} — це добуток додатних дільників числа ana_{n}. Нехай PP — множина натуральних чисел k∈{1,…,2018}k \in\{1, \ldots, 2018\}, для яких aka_{k} є квадратом. Лінус виграє, якщо P=QP=Q. Інакше виграє Давид. Хто має виграшну стратегію?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-009

Найменший дільник зсунутого числа

Нехай NN — ціле число, більше за 11. Позначимо через xx найменше додатне ціле число з такою властивістю: існує додатне ціле число yy, строго менше за x−1x-1, таке, що xx ділить N+yN+y. Доведіть, що xx є подвоєним простим числом або степенем простого числа. Зауваження: нагадаємо, що xx є степенем простого числа, якщо існують просте число pp і додатне ціле число n≥1n \geq 1 такі, що x=pnx=p^{n}.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-003

Можливі бали в тесті з ваговими оцінками

Змагання з математики складається з 90 запитань із вибором відповіді. Камілла відповіла на всі запитання: яке з наведених значень не може бути загальною кількістю балів, набраних Каміллою, якщо відомо, що правильна відповідь дає 5 балів, а неправильна відповідь дає -1 бал? (A) -78 (B) 116 (C) 204 (D) 318 (E) 402
9–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-005

Трицифрові циклічні кратні

Вероніка помічає, що 81⋅3=24381 \cdot 3=243 і 81⋅4=32481 \cdot 4=324 та запитує, скільки існує чисел mm з 10≤m≤9910 \leq m \leq 99 таких, що 3m=ABC3 m=A B C і 4m=CAB4 m=C A B, де A,BA, B і CC — десяткові цифри (допустимими вважаються також випадки, коли одна або кілька з цифр A,B,CA, B, C дорівнюють нулю). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 6
9–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-008

Дільники чисел цифрового годинника

Розглянемо цифровий годинник і числа, утворені чотирма цифрами (години і хвилини): 10:45 дає число 1045. Яке найменше натуральне число, яке не ділить жодного з чисел, що з’являються з 11:00 до 12:59?
9–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-001

Подільність на числа, отримані викресленням цифр

a. Знайти всі двоцифрові натуральні числа nn, які мають таку властивість: обидва цілі числа, що отримуються викресленням однієї з двох цифр десяткового запису числа nn, є (додатними цілими) дільниками числа nn. b. Нехай n>10n>10 — ціле число, яке записується за допомогою kk десяткових цифр, усі з яких відмінні від нуля. Припустимо, що кожне з цілих чисел, отриманих викресленням однієї з kk цифр десяткового запису числа nn, є (додатним цілим) дільником числа nn. Показати, що обов'язково k=2k=2. Приклад. Для n=123n=123 маємо k=3k=3, а цілі числа, отримані викресленням цифр числа nn, — це 23,13,1223,13,12.
9–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-007

Сума номерів послідовних вирваних сторінок

Жозе вирвав кілька послідовних аркушів із книги зі сторінками, пронумерованими послідовними цілими числами, написаними з обох боків кожного аркуша. Сума номерів вирваних сторінок дорівнює 344344. a) Визначте розклад числа 344344 на прості множники. b) Знайдіть суму першого й останнього чисел серед написаних на вирваних сторінках. c) Яка кількість вирваних сторінок?
8–9 класиАрифметична прогресія
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-011

Правильний многокутник з поворотною симетрією

Плитку у формі правильного многокутника зняли з місця, яке вона займала в панно. Виявилося, що якщо цю плитку повернути на 40∘40^{\circ} або на 60∘60^{\circ} навколо її центра, її можна було б ідеально вставити на місце, що звільнилося в панно. Яку найменшу кількість сторін може мати цей многокутник?
8–9 класиНСД та НСК
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-017

Кількість книжок іспанською в бібліотеці

Батько Жоао має у своїй бібліотеці від 200 до 300 книжок. Одна п'ята цих книжок — англійською, одна сьома — французькою, одна четверта — італійською, а решта — книжки іспанською. Скільки всього книжок іспанською в цій бібліотеці?
8–9 класиНСД та НСК
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-025

Червоні клітинки в грі на дошці 9×9

Марія та Педру грають на дошці 9×99 \times 9. Марія починає, фарбуючи у червоний колір 46 клітинок дошки. Далі Педру має вибрати квадрат 2×22 \times 2. Якщо вибраний Педру квадрат має 3 або більше клітинок, пофарбованих у червоний колір, то він виграє гру. Інакше виграє Марія. Хто з них може завжди гарантувати собі перемогу незалежно від ходу суперника?
8–9 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-012

1111 мешканців і автографи одинадцяти гравців

У країні SMO є 11111111 мешканців. Одинадцять гравців національної збірної Ліхтенштейну роздають автографи всім мешканцям, причому жоден мешканець не отримує жодного автографа двічі (тобто кожен мешканець від кожного гравця отримує або жодного автографа, або один автограф). a. Скільки є варіантів того, які автографи може отримати один мешканець? b. Після роздавання мешканці помічають, що жодні двоє з них не отримали автографи рівно від тих самих гравців. Доведіть, що є двоє мешканців, які разом мають від кожного гравця рівно по одному автографу.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-014

НСК усіх власних дільників

Нехай n≥2n \geq 2 — натуральне число. Нехай d1,…,drd_{1}, \ldots, d_{r} — усі різні додатні дільники числа nn, менші за саме nn. Знайдіть усі nn, для яких виконується: НСК(d1,…,dr)≠n\text{НСК}\left(d_{1}, \ldots, d_{r}\right) \neq n
10–11 класиНСД та НСК

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.