Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-003

Внутрішнє дотичне коло до кіл на сторонах трапеції

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому сторони ADAD і BCBC є паралельними. Позначимо через ω1\omega_1, ω2\omega_2, ω3\omega_3, ω4\omega_4 кола, побудовані як на діаметрах на сторонах ABAB, BCBC, CDCD, DADA відповідно. Доведіть, що коло, центр якого міститься всередині чотирикутника ABCDABCD і яке дотикається зсередини до всіх кіл ω1\omega_1, ω2\omega_2, ω3\omega_3, ω4\omega_4, існує тоді й тільки тоді, коли чотирикутник ABCDABCD є паралелограмом.
10–11 класиНерівність трикутника
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-005

Два кола, що перетинаються, і паралельні дотичні

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в двох різних точках AA і BB. Через точку BB проведено пряму, яка вдруге перетинає коло ω1\omega_1 у точці KK, а коло ω2\omega_2 — у точці MM (точки KK і MM відмінні від AA). Нехай пряма ℓ1\ell_1 паралельна прямій AMAM і дотикається до кола ω1\omega_1 у точці QQ, відмінній від точок AA і BB. Пряма AQAQ вдруге перетинає коло ω2\omega_2 в точці RR. а) Доведіть, що пряма ℓ2\ell_2, яка дотикається до кола ω2\omega_2 в точці RR, паралельна прямій AKAK; б) Доведіть, що прямі ℓ1\ell_1, ℓ2\ell_2 і KMKM перетинаються в одній точці.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-007

Прямокутний трикутник, бісектриса і перпендикуляр до прямої

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠C=90∘\angle C = 90^\circ. На сторонах ABAB і BCBC відмічено точки MM і NN відповідно так, що CN:NB=AC:BC=2CN : NB = AC : BC = 2 і MN∥ACMN \parallel AC. Нехай OO — точка перетину відрізків CMCM і ANAN. Точку KK відмічено на відрізку ONON так, що MO+OK=KNMO + OK = KN. Нехай TT — точка перетину бісектриси кута BB трикутника ABCABC і перпендикуляра до прямої ANAN, проведеного через точку KK. Доведіть, що ∠MTB=90∘\angle MTB = 90^\circ.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-012

Точки перетину дотичних з перпендикулярами в трикутнику

Нехай точка OO — центр описаного кола ω\omega трикутника ABCABC. Позначимо через A1A_1 середину сторони BCBC. Нехай A2A_2 — друга точка перетину прямої AA1AA_1 з колом ω\omega, пряма ℓa\ell_a дотикається до кола ω\omega в точці A2A_2. Позначимо через PaP_a точку перетину прямої ℓa\ell_a з прямою, яка проходить через точку A1A_1 перпендикулярно до прямої AOAO. Точки PbP_b і PcP_c визначаються аналогічно. Доведіть, що точки PaP_a, PbP_b і PcP_c лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-002

Пряма EF через проєкції ортоцентра ділить відрізок HK

Гострокутний трикутник ABCABC є вписаним у коло ω\omega з центром OO. На дузі BCBC кола ω\omega, яка не містить точку AA, відмітили довільну точку PP, відмінну від BB і CC. Нехай DD — така точка, що чотирикутник APCDAPCD є паралелограмом. Позначимо через HH та KK ортоцентри трикутників ABCABC і ACDACD відповідно, а через EE і FF — ортогональні проекції точки KK на прямі BCBC і ACAC відповідно. Доведіть, що пряма EFEF ділить відрізок HKHK навпіл.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-005

Середини діагоналей вписаного чотирикутника

Чотирикутник ABCDABCD є вписаним у коло з центром OO. Середини діагоналей ACAC і BDBD позначено XX і YY відповідно. Доведіть, що точки BB, XX, OO і DD лежать на одному колі тоді й тільки тоді, коли точки AA, OO, YY і CC лежать на одному колі.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-009

Пряма через перетин вписаних кіл трикутників ABX і ACX

Дано трикутник ABCABC, що має таку властивість: на продовженні його сторони BCBC за точку CC можна обрати точку XX так, що вписані кола трикутників ABXABX і ACXACX перетинаються в двох різних точках. Позначимо ці дві точки як PXP_X і QXQ_X. Доведіть існування такої точки, що пряма PXQXP_X Q_X проходить через неї — незалежно від вибору точки XX.
10–11 класиВписане коло
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-010

Нерівність з радіусами кіл та відрізками AM і AX

Нехай RR і rr — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл гострокутного трикутника ABCABC з найбільшим кутом AA. Точку перетину дотичних, проведених до описаного кола в точках BB і CC, позначимо через XX, а середину відрізка BCBC через MM. Доведіть, що rR≥AMAX\dfrac{r}{R} \ge \dfrac{AM}{AX}.
10–11 класиПодібність в прямокутному трикутн…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-002

Прямі через вершини трикутника та точки на променях

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC, і цей центр не належить жодній з медіан AA0AA_0, BB0BB_0, CC0CC_0. На променях OA0OA_0, OB0OB_0 і OC0OC_0 позначили точки A1A_1, B1B_1, C1C_1 відповідно так, що ∠OAA0=∠OA1A\angle OAA_0 = \angle OA_1 A, ∠OBB0=∠OB1B\angle OBB_0 = \angle OB_1 B і ∠OCC0=∠OC1C\angle OCC_0 = \angle OC_1 C. Доведіть, що прямі AA1AA_1, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в одній точці.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-004

Площа опуклого п'ятикутника за двома кутами і діагоналлю

Знайдіть площу опуклого п'ятикутника ABCDEABCDE, про який відомо, що в ньому AB=BCAB = BC, CD=DECD = DE, BD=2BD = 2, ∠ABC=150∘\angle ABC = 150^\circ і ∠CDE=30∘\angle CDE = 30^\circ.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-008

Внутрішня точка бісектриси і пряма через її основу

Нехай MM — довільна внутрішня точка бісектриси ALAL трикутника ABCABC. Через точку LL проведено довільну пряму, яка перетинає сторону ABAB в точці PP, а продовження сторони ACAC за точку CC — у точці QQ. Нехай NN — точка перетину прямих BMBM і PQPQ, а KK — точка перетину прямих QMQM і BCBC. Доведіть, що ∠NAL=∠KAL\angle NAL = \angle KAL.
10–11 класиТеорема Менелая
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-010

Діагоналі шестикутника з перетину трикутників PQR і DEF

Нехай II — точка перетину бісектрис трикутника ABCABC. Коло ω\omega з центром у точці II перетинає сторону BCBC в точках DD і PP (точка DD лежить між BB і PP), сторону CACA — у точках EE і QQ (точка EE лежить між CC і QQ), сторону ABAB — у точках FF і RR (точка FF лежить між AA і RR). Трикутники PQRPQR і DEFDEF утворюють у перетині шестикутник. Доведіть, що діагоналі цього шестикутника, які сполучають протилежні вершини, перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-002

Два перетинні кола і центри описаних кіл трикутників

Коло ω1\omega_1 перетинає коло ω2\omega_2 в двох різних точках PP і QQ. На колі ω1\omega_1 обираються дві різні точки A1A_1 і B1B_1, які не співпадають з точками PP і QQ. Прямі A1PA_1 P і B1PB_1 P вдруге перетинають коло ω2\omega_2 в точках A2A_2 і B2B_2 відповідно. Нехай CC — точка перетину прямих A1B1A_1 B_1 і A2B2A_2 B_2. Доведіть, що незалежно від вибору точок A1A_1 і B1B_1 на колі ω1\omega_1 центри кіл, описаних навколо трикутників A1A2CA_1 A_2 C, — усі лежать на одному фіксованому колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-005

Середня лінія трикутника, проєкції та перетин прямих AA1

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, і відрізок MNMN є його середньою лінією, яка паралельна до BCBC. Позначимо через PP ортогональну проекцію точки NN на сторону BCBC, а через A1A_1 — середину відрізка MPMP. Точки B1B_1 і C1C_1 визначаються аналогічно. Доведіть, що якщо прямі AA1AA_1, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в одній точці, то трикутник ABCABC має дві рівні сторони.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-008

Діаметр кола, дотичні та колінеарні точки S, K, T

Нехай ABAB — діаметр кола ω\omega. Позначимо через lal_a і lbl_b дотичні до кола ω\omega в точках AA і BB відповідно. На колі ω\omega обирається довільно точка CC. Нехай BCBC перетинає lal_a в точці KK, а бісектриса кута CAKCAK перетинає CKCK в точці HH. Нехай MM — середина дуги CABCAB, SS — інша точка перетину HMHM і кола ω\omega, TT — точка перетину прямої lbl_b і дотичної до кола ω\omega в точці MM. Доведіть, що точки SS, KK і TT лежать на одній прямій.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-011

Точка на описаному колі, паралелограм і паралельні прямі

Нехай точка HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, PP — довільна точка дуги BCBC кола, описаного навколо трикутника ABCABC, яка не містить точку AA. Нехай BEBE — висота трикутника ABCABC, QQ — така точка, що APCQAPCQ — паралелограм. Позначимо через FF точку перетину прямої HQHQ з прямою, що проходить через точку AA паралельно до прямої BPBP. Доведіть, що EF∥APEF \parallel AP.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-002

Бісектриса кута трикутника та центри вписаних кіл

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCABC. Бісектриса кута BACBAC вдруге перетинає коло ω\omega в точці WW. На колі ω\omega відмітили точки MM та NN так, що BM∥AW∥CNBM \parallel AW \parallel CN, промені BMBM та CNCN напрямлені протилежно до променя AWAW. Нехай O1,O2,O3,O4O_1, O_2, O_3, O_4 — центри кіл, вписаних в трикутники AMBAMB, ABWABW, ACWACW, ACNACN відповідно. Доведіть, що O1O3=O2O4O_1 O_3 = O_2 O_4.
10–11 класиВписане коло
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-006

Сума відношень відрізків для побудованих зовні трикутників

Дано гострокутний трикутник ABCABC. Нехай DACDAC, EABEAB, FBCFBC — рівнобедрені трикутники, побудовані зовні на сторонах трикутника ABCABC так, що DA=DCDA = DC, EA=EBEA = EB, FB=FCFB = FC та ∠ADC=2∠BAC\angle ADC = 2\angle BAC, ∠BEA=2∠ABC\angle BEA = 2\angle ABC, ∠CFB=2∠ACB\angle CFB = 2\angle ACB. Нехай D′D' — точка перетину прямих DBDB та EFEF, E′E' — прямих ECEC та DFDF, F′F' — прямих FAFA та DEDE. Знайдіть значення суми DBDD′+ECEE′+FAFF′\dfrac{DB}{DD'} + \dfrac{EC}{EE'} + \dfrac{FA}{FF'}.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-008

Бісектриси, медіана та відрізок між точками дотику

Дано трикутник ABCABC з центром вписаного кола II. Це вписане коло дотикається сторін ABAB та BCBC в точках KK та PP відповідно. Бісектриси кутів BACBAC, ACBACB та медіана трикутника ABCABC, проведена з вершини BB, перетинають відрізок KPKP в точках RR, QQ та MM відповідно. Позначимо через SS точку перетину прямих AQAQ та CRCR. Доведіть, що точки SS, MM та II лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-010

Мінімальні добутки відрізків на прямих через точку в чотирикутнику

Усередині опуклого чотирикутника O1O2O3O4O_1 O_2 O_3 O_4 взято точку PP. Для кожного i=1,2,3,4i = 1, 2, 3, 4 розглянемо прямі ll, що проходять через PP та перетинають два промені OiOi−1,OiOi+1O_i O_{i-1}, O_i O_{i+1} у різних точках Ai(l)A_i(l), Bi(l)B_i(l) відповідно (тут O0≡O4,O5≡O1O_0 \equiv O_4, O_5 \equiv O_1). Розглянемо величину f(l)=PAi(l)⋅PBi(l)f(l) = PA_i(l) \cdot PB_i(l) і позначимо через lil_i пряму, для якої f(l)f(l) набуває — для даного фіксованого ii — найменшого значення. Відомо, що пряма l1l_1 співпадає з прямою l3l_3, пряма l2l_2 — з прямою l4l_4. Доведіть, що O1O2O3O4O_1 O_2 O_3 O_4 — паралелограм.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-001

Перпендикулярність прямих RH і CM у трикутнику

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AC>BCAC > BC. Нехай MM — середина сторони ABAB, APAP і BQBQ — висоти трикутника, HH — його ортоцентр. Нехай прямі ABAB і PQPQ перетинаються в точці RR. Доведіть, що прямі RHRH і CMCM перпендикулярні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-005

Дотичні до описаного кола і кути з серединами

Дотичні до описаного кола гострокутного трикутника ABCABC, проведені в точках BB і AA, перетинають дотичну, проведену в точці CC, у точках TT і UU відповідно. Прямі ATAT і BCBC перетинаються в точці PP, точка QQ — середина відрізка APAP, прямі BUBU і CACA перетинаються в точці RR, точка SS — середина відрізка BRBR. Доведіть, що ∠ABQ=∠BAS\angle ABQ = \angle BAS. Визначте найбільше можливе значення величини цього кута.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-008

Точки на сторонах з рівними сумами і спільна точка

Дано гострокутний трикутник ABCABC, HH — його ортоцентр, OO — центр описаного кола. Доведіть, що існують такі відмінні від вершин точки DD, EE, FF на сторонах, відповідно, BCBC, CACA, ABAB, що OD+DH=OE+EH=OF+FHOD + DH = OE + EH = OF + FH та прямі ADAD, BEBE, CFCF перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-011

Чотирикутник з рівними сторонами і перпендикулярність OI до CD

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD такий, що AB=AC=BDAB = AC = BD. PP — точка перетину його діагоналей, OO та II — центри описаного та вписаного кіл трикутника ABPABP відповідно, причому точки OO та II не співпадають. Доведіть, що OI⊥CDOI \perp CD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-005

Коло через точки A, D, E, F трикутника

Нехай дано гострокутний трикутник ABCABC. Точка DD лежить у тій самій півплощині відносно прямої ABAB, що й точка CC, та задовольняє такі умови: DB⊥ABDB \perp AB та ∠ADB=45∘+12∠ACB\angle ADB=45^\circ + \dfrac{1}{2}\angle ACB. Аналогічно, точка EE належить тій самій півплощині відносно прямої ACAC, що й точка BB, та справджуються умови: AC⊥ECAC \perp EC та ∠AEC=45∘+12∠ABC\angle AEC=45^\circ + \dfrac{1}{2}\angle ABC. Нехай точка FF — це точка, симетрична точці AA відносно середини більшої дуги BACBAC. Доведіть, що точки AA, DD, EE, FF лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.