Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 538 задач
Теорія чиселТеорія подільності, основні поняття
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-025

Кратне із заданою сумою цифр

Доведіть, що для будь-якого цілого n≥1n \geq 1 існує число mm, кратне nn, таке, що сума цифр числа mm дорівнює nn.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-026

Попарні суми п'яти натуральних чисел

Розглянемо 5 натуральних чисел. Додаючи їх попарно всіма можливими способами, отримаємо 10 цілих чисел. Доведіть, що ці 10 цілих чисел не можуть бути 10 послідовними цілими числами.
10–11 класиПарність та непарність
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-027

Сторони трикутника з умовами подільності

Знайдіть усі натуральні числа a,ba, b і cc такі, що НСД(a,b,c)=1\text{НСД}(a, b, c)=1, a∣(b−c)2,b∣(a−c)2,c∣(a−b)2a\mid (b-c)^2, \quad b\mid (a-c)^2, \quad c \mid (a-b)^2 і такі, що існує невироджений трикутник зі сторонами aa, bb і cc.
10–11 класиНСД та НСК
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-029

Перетинні підмножини скінченної множини

Нехай A1,A2,…,AmA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m} — різні підмножини множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} такі, що для всіх 1⩽i,j⩽m1 \leqslant i, j \leqslant m виконується Ai∩Aj≠∅A_{i} \cap A_{j} \neq \emptyset. Доведіть, що m⩽2n−1m \leqslant 2^{n-1}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-045

Симпатичні числа для симетричних виразів

Натуральне число dd називається симпатичним, якщо для будь-якої пари цілих чисел (x,y)(x, y), d∣(x+y)5−x5−y5⟺d∣(x+y)7−x7−y7d\left|(x+y)^{5}-x^{5}-y^{5} \Longleftrightarrow d\right|(x+y)^{7}-x^{7}-y^{7} Доведіть, що існує нескінченно багато симпатичних чисел. Чи є числа 2017, 2018 симпатичними?
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-050

НСД виразів зі степенями двійки

Нехай m,nm, n — натуральні числа такі, що НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1, де a∧ba \wedge b позначає найбільший спільний дільник чисел aa і bb. Яких значень може набувати (2m−2n∧2m2+mn+n2−1)?\left(2^{m}-2^{n} \wedge 2^{m^{2}+m n+n^{2}}-1\right) ?
9–11 класиНСД та НСК
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-058

Нерівність для сум через добутки впорядкованих чисел

a) Нехай x1⩾x2>0x_{1} \geqslant x_{2}>0 і y1⩾y2>0y_{1} \geqslant y_{2}>0 — дійсні числа такі, що x1⩾y1 і x1x2⩾y1y2x_{1} \geqslant y_{1} \text{ і } x_{1} x_{2} \geqslant y_{1} y_{2} Доведіть, що x1+x2⩾y1+y2x_{1}+x_{2} \geqslant y_{1}+y_{2} b) Нехай x1⩾x2⩾…⩾xn>0x_{1} \geqslant x_{2} \geqslant \ldots \geqslant x_{n}>0 і y1⩾y2⩾…⩾yn>0y_{1} \geqslant y_{2} \geqslant \ldots \geqslant y_{n}>0 — дійсні числа такі, що x1x2⋯xi⩾y1y2⋯yi для i=1,…,nx_{1} x_{2} \cdots x_{i} \geqslant y_{1} y_{2} \cdots y_{i} \text{ для } i=1, \ldots, n Доведіть, що x1+x2+⋯+xn⩾y1+y2+⋯+ynx_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geqslant y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}
9–11 класиІнші класичні нерівності2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-060

Послідовні дні із заданою сумою

Виробник іграшок виготовляє щонайменше одну іграшку на день. Він не здатний виготовити більше ніж 725 іграшок за рік. Для будь-якого n∈Nn \in \mathbb{N} доведіть, що існують послідовні дні, за які він виготовив рівно nn іграшок.
9–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-015

Перемикання кратних у нескінченному списку клітинок

Маємо нескінченний список клітинок, клітинки пронумеровано числами 1,2,…1,2, \ldots. Спочатку всі клітинки містять число 11. На кожному кроці вибираємо число a∈N∗a \in \mathbb{N}^* таке, що: - або всі клітинки, номери яких кратні числу aa, містять 11, і в цьому разі замінюємо ці 11 на 00, - або всі клітинки, номери яких кратні числу aa, містять 00, і в цьому разі замінюємо ці 00 на 11. Доведіть, що для будь-якого n⩾2n \geqslant 2 можна домогтися того, щоб усі клітинки з номером не більшим за nn містили 00, крім першої клітинки, яка містить 11.
8–10 класиФормула включення-виключення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-068

Сума простих чисел як добуток степеня різниці

Знайти всі четвірки $ (p, q, r, n) $ натуральних чисел, які задовольняють такі три умови: - pp і qq — прості, - p+qp+q не ділиться на 33, - p+q=r(p−q)np+q = r (p-q)^n.
9–11 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-073

Округлення таблиці зі збереженням сум рядків і стовпців

У клітинках прямокутної таблиці з nn рядками і mm стовпцями записано дійсні числа. Припустимо, що для кожного рядка або стовпця сума чисел, записаних у цьому рядку або стовпці, є цілим числом. Доведіть, що можна замінити кожне дійсне xx на ціле ⌊x⌋\lfloor x\rfloor або ⌈x⌉\lceil x\rceil так, щоб суми кожного рядка і кожного стовпця залишилися без змін. Зауваження: Нагадаємо, що якщо xx — дійсне число, ⌊x⌋\lfloor x\rfloor — єдине ціле число таке, що ⌊x⌋⩽x<⌊x⌋+1\lfloor x\rfloor \leqslant x<\lfloor x\rfloor+1, а ⌈x⌉\lceil x\rceil — єдине ціле число таке, що ⌈x⌉−1<x⩽⌈x⌉\lceil x\rceil-1<x \leqslant\lceil x\rceil.
9–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-047

Найменше число з дільниками-степенями

Натуральне число kk називається потужним, якщо існують різні натуральні числа p,q,r,s,tp, q, r, s, t такі, що p2p^{2}, q3q^{3}, r5r^{5}, s7s^{7}, t11t^{11} ділять kk. Знайдіть найменше потужне число.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-038

Числа з найбільшим власним дільником

Знайдіть суму всіх натуральних чисел, найбільший власний дільник яких дорівнює 5555. (Власний дільник числа nn — це дільник, строго менший за nn.)
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-034

Грані з однаковою кількістю ребер у багатограннику

Багатогранник має 7n7n граней. Доведіть, що знайдеться n+1n+1 граней цього багатогранника, усі з яких мають однакову кількість ребер.
10–11 класиПланарні графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-004

Підграф мінімальних за вагою досконалих парувань

Нехай GG — зважений дводольний граф A∪BA \cup B, з ∣A∣=∣B∣=n|A|=|B|=n. Іншими словами, кожному ребру графа присвоєно натуральне число, яке називається його вагою. Також вагою досконалого парування в GG назвемо суму ваг ребер, що входять у це парування. Нехай G′G' — граф з множиною вершин A∪BA \cup B, який містить ребро ee тоді й лише тоді, коли ee входить до деякого досконалого парування мінімальної ваги в GG. Доведіть, що всі досконалі парування в G′G' мають однакову вагу.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-045

Подільність у сумі зі степенем

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел, для яких a2017+ba^{2017}+b є кратним aba b.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-041

Мінімальний модуль з кубічними коренями з одиниці

Нехай a,b,ca, b, c — цілі числа, для яких abc=60a b c = 60, а комплексне число ω≠1\omega \neq 1 задовольняє умову ω3=1\omega^{3} = 1. Знайдіть найменше можливе значення ∣a+bω+cω2∣\left| a + b \omega + c \omega^{2} \right|.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-065

Випадкове блукання з відбивною межею

Емілі починає з порожнього відра. Щосекунди вона або кладе камінець у відро, або виймає камінець з відра, причому кожна з дій відбувається з ймовірністю 12\frac{1}{2}. Якщо вона збирається вийняти камінець з відра, а відро в цей момент порожнє, то вона просто нічого не робить протягом цієї секунди (все одно з ймовірністю 12\frac{1}{2}). Яка ймовірність того, що після 2017 секунд у її відрі буде рівно 1337 камінців?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-040

Добре центровані підмногокутники та прості дільники

Нехай nn — непарне натуральне число, більше за 22, і розглянемо правильний nn-кутник G\mathcal{G} на площині з центром у початку координат. Підмногокутником G′\mathcal{G}' назвемо многокутник щонайменше з 33 вершинами, множина вершин якого є підмножиною множини вершин G\mathcal{G}. Скажімо, що G′\mathcal{G}' добре центрований, якщо його центроїд збігається з початком координат. Також скажімо, що G′\mathcal{G}' розкладний, якщо його множину вершин можна записати як диз'юнктне об'єднання правильних многокутників щонайменше з 33 вершинами. Доведіть, що всі добре центровані підмногокутники розкладні тоді й лише тоді, коли nn має не більше двох різних простих дільників.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-021

Найбільше ціле значення P²/A для примітивного прямокутного трикутника

Нехай PP і AA позначають відповідно периметр і площу прямокутного трикутника зі взаємно простими цілими довжинами сторін. Знайдіть найбільше можливе ціле значення P2A\frac{P^{2}}{A}.
10–11 класиПіфагорові трійки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-025

Послідовність зі співвідношенням суми кубів і квадрата суми

Послідовність натуральних чисел a1,a2,…,a2017a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2017} має властивість, що для всіх цілих mm, для яких 1≤m≤20171 \leq m \leq 2017, виконується 3(∑i=1mai)2=∑i=1mai33\left(\sum_{i=1}^{m} a_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{m} a_{i}^{3}. Обчисліть a1337a_{1337}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2017-007

Складання стосів дисків з умовою видимості

Нехай nn — натуральне число. Дано круглі диски з радіусами 1,2,…,n1,2, \ldots, n. Кожного розміру маємо два диски: один прозорий і один непрозорий. У кожному диску є отвір точно посередині, за допомогою якого ми можемо нанизувати диски на вертикальний стрижень. Ми хочемо тепер складати стоси, які задовольняють такі умови: - З кожного розміру в стосі лежить рівно один диск. - Якщо дивитися строго зверху, ми бачимо зовнішні краї всіх nn дисків у стосі. (Тобто якщо в стосі лежить непрозорий диск, то під ним не можуть лежати менші диски.) Визначте кількість різних стосів, які ми можемо скласти за цих умов. (Два стоси різні, якщо вони використовують не точно ту саму множину дисків, а також якщо вони використовують точно ту саму множину дисків, але не в тому самому порядку.)
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2017-006

Квадратичні та кубічні остачі за простим модулем

Нехай aa, bb і cc — натуральні числа, усі різні, і припустимо, що p=ab+bc+cap = a b + b c + c a — просте число. а) Доведіть, що a2a^{2}, b2b^{2} і c2c^{2} дають різні остачі при діленні на pp. б) Доведіть, що a3a^{3}, b3b^{3} і c3c^{3} дають різні остачі при діленні на pp.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-013

Перестановка з обмеженими різницями

Нехай dd — натуральне число і задано послідовність (ai)i=1,2,3,…\left(a_{i}\right)_{i=1,2,3, \ldots} натуральних чисел. Припустимо, що виконано такі дві умови: - Кожне натуральне число трапляється в послідовності рівно один раз. - Для всіх індексів i≥10100i \geq 10^{100} виконується ∣ai+1−ai∣≤2d\left|a_{i+1}-a_{i}\right| \leq 2 d. Доведіть, що існує нескінченно багато індексів jj, для яких виконується ∣aj−j∣<d\left|a_{j}-j\right|<d.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-017

Прості прямокутні суми у правильному 2n-кутнику

Нехай n≥4n \geq 4 — ціле число. Розглянемо правильний 2n2n-кутник, у якому кожній вершині приписано ціле число, яке ми називаємо значенням цієї вершини. Якщо чотири різні вершини цього 2n2n-кутника утворюють прямокутник, то суму значень цих вершин ми називаємо прямокутною сумою. Визначте, для яких цілих (не обов'язково додатних) mm числа m+1,m+2,…,m+2nm+1, m+2, \ldots, m+2n можна приписати вершинам (у якомусь порядку) так, щоб кожна прямокутна сума була простим числом. (Прості числа за означенням додатні.)
10–11 класиПарність та непарність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.