Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-027

Ламана з майже ідеальними самоперетинами

Назвемо перетин двох відрізків майже ідеальним, якщо для кожного з них довжина відрізка щонайменше у 20212021 разів перевищує відстань між його серединою та точкою перетину. Доведіть, що існує замкнена ламана, яка перетинає кожен зі своїх відрізків принаймні один раз і для якої всі її перетини є майже ідеальними.
10–11 класиКонструкція через симетрією
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-009

Середина між точками з різними швидкостями на колі

Нехай Γ\Gamma — коло на площині, а SS — точка на колі Γ\Gamma. Два брати, Маріо та Луїджі, їздять по колу Γ\Gamma на своїх картах. Вони обидва стартують із SS одночасно, обидва їдуть рівно 6 хвилин зі сталою швидкістю проти годинникової стрілки навколо траси. За ці 6 хвилин Луїджі робить рівно одне коло по Γ\Gamma, тоді як Маріо, який утричі швидший, робить три кола. Поки Маріо та Луїджі їдуть на своїх картах, принцеса Дейзі розташовується так, щоб завжди бути точно посередині між двома братами. Коли вона потрапляє в точку, в якій вже побувала, вона позначає її бананом. Скільки точок на площині, крім SS, буде позначено бананом після перегонів?
10–11 класиКомплексні числа
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-019

Точки на одному колі із симетрії та центрів описаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Γ\Gamma і центром описаного кола OO. Позначимо через MM середину сторони BCBC. Точка DD симетрична точці AA відносно прямої BCBC, а EE — перетин кола Γ\Gamma і променя MDMD. Нехай SS — центр описаного кола трикутника ADEADE. Доведіть, що A,E,M,OA, E, M, O і SS лежать на одному колі.
10–11 класиПоворот
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-028

Точки на одному колі з локальною умовою

На площині є 20212021 точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Для будь-яких 55 точок знайдуться принаймні 44 серед них, які лежать на одному колі. Чи обов’язково принаймні 20202020 із цих точок лежать на одному колі?
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-020

Серединний відрізок, паралельний бісектрисі

Нехай II — інцентр трикутника ABCABC. Нехай вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін CACA і ABAB у точках EE і FF відповідно. Прямі BIBI і CICI перетинають пряму EFEF у точках YY і ZZ відповідно. Позначимо через MM, NN середини відрізків BCBC і YZYZ відповідно. Доведіть, що пряма MNMN паралельна прямій AIAI. Рисунок 22
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-031

Описаний многокутник із послідовними сторонами

Для яких значень nn існує описаний nn-кутник зі сторонами 1,2,…,n1, 2, \dots, n (у довільному порядку)?
10–11 класиВписане коло
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-021

Точка перетину висот, середина EF і точка D

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник. Позначимо через EE і FF основи висот, проведених з BB і CC відповідно. Нехай HH — точка перетину прямих BEBE і CFCF. Нехай точка DD лежить з того самого боку від прямої BCBC, що й AA, і задовольняє умову: ∠DBC=∠DCB=∠BAC.\angle DBC = \angle DCB = \angle BAC. Нехай NN — середина відрізка EFEF. Доведіть, що точки HH, DD і NN лежать на одній прямій. Рисунок 23
10–11 класиКоло і подібність
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2021-003

Перетин зовнішньої бісектриси з висотами трикутника

Задано трикутник ABCABC з тупим кутом AA. Через EE і FF позначимо точки перетину зовнішньої бісектриси кута AA з висотами трикутника ABCABC, проведеними через вершини BB і CC відповідно. Нехай точки MM і NN належать відрізкам ECEC і FBFB відповідно, так що ∠EMA=∠BCA\angle EMA = \angle BCA і ∠ANF=∠ABC\angle ANF = \angle ABC. Доведіть, що точки EE, FF, MM і NN лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2021-004

Точка, симетрична A відносно EF, на прямій BC

Дано трикутник ABCABC з інцентром II. Нехай DD — довільна точка на стороні BCBC. Пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до прямої BIBI, перетинає відрізок CICI в точці EE. Пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до прямої CICI, перетинає відрізок BIBI в точці FF. Доведіть, що точка, симетрична точці AA відносно прямої EFEF, належить прямій BCBC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-003

Внутрішня точка трикутника та прямі BC, EF, O1O2

Точка DD — внутрішня точка гострокутного трикутника ABCABC, у якому AB>ACAB > AC і ∠DAB=∠CAD\angle DAB = \angle CAD. Точка EE на відрізку ACAC задовольняє умову ∠ADE=∠BCD\angle ADE = \angle BCD, точка FF на відрізку ABAB задовольняє умову ∠FDA=∠DBC\angle FDA = \angle DBC, точка XX на прямій ACAC задовольняє умову CX=BXCX = BX. Нехай точки O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників ADCADC і EXDEXD відповідно. Доведіть, що прямі BCBC, EFEF і O1O2O_1O_2 — конкурентні, тобто перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-004

Рівність сум сторін чотирикутників ADTX і CDYZ

Дано коло Γ\Gamma із центром у точці II. Опуклий чотирикутник ABCDABCD — описаний навколо кола Γ\Gamma. Коло ww — описане навколо трикутника AICAIC. Продовження відрізка BABA за точку AA перетинає коло ww у точці XX, продовження відрізка BCBC за точку CC перетинає коло ww у точці ZZ. Продовження відрізків ADAD і CDCD за точку DD перетинають коло ww у точках YY і TT відповідно. Доведіть, що AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.AD + DT + TX + XA = CD + DY + YZ + ZC.
10–11 класиДотична кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-006

Перетин прямих у паралелограмі

Нехай ABCDA B C D — паралелограм такий, що AC=BCA C = B C. Точку PP вибрано на продовженні відрізка ABA B за точку BB. Описане коло трикутника ACDA C D перетинає відрізок PDP D знову в точці QQ, а описане коло трикутника APQA P Q перетинає відрізок PCP C знову в точці RR. Доведіть, що прямі CDC D, AQA Q і BRB R перетинаються в одній точці.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-007

Найбільша сума площ чотирикутників на решітці

Версія 1. Нехай nn — фіксоване натуральне число, а SS — множина точок (x,y)(x, y) на декартовій площині, таких, що обидві координати xx і yy є невід’ємними цілими числами, меншими за 2n2n (отже, ∣S∣=4n2|S| = 4n^2). Припустимо, що F\mathcal{F} — множина, яка складається з n2n^2 чотирикутників, таких, що всі їхні вершини лежать у множині SS, а кожна точка множини SS є вершиною рівно одного з чотирикутників множини F\mathcal{F}. Визначте найбільшу можливу суму площ усіх n2n^2 чотирикутників множини F\mathcal{F}. Версія 2. Нехай nn — фіксоване натуральне число, а SS — множина точок (x,y)(x, y) на декартовій площині, таких, що обидві координати xx і yy є невід’ємними цілими числами, меншими за 2n2n (отже, ∣S∣=4n2|S| = 4n^2). Припустимо, що F\mathcal{F} — множина многокутників, таких, що всі вершини многокутників множини F\mathcal{F} лежать у множині SS, а кожна точка множини SS є вершиною рівно одного з многокутників множини F\mathcal{F}. Визначте найбільшу можливу суму площ усіх многокутників множини F\mathcal{F}.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-008

Вписаний чотирикутник з дотичними колами

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, усі сторони якого попарно різні. Нехай OO — центр описаного кола чотирикутника ABCDABCD. Внутрішні бісектриси кутів ∠ABC\angle ABC і ∠ADC\angle ADC перетинають ACAC у точках B1B_{1} і D1D_{1} відповідно. Нехай OBO_{B} — центр кола, яке проходить через BB і дотикається до прямої ACAC у точці D1D_{1}. Аналогічно, нехай ODO_{D} — центр кола, яке проходить через DD і дотикається до прямої ACAC у точці B1B_{1}. Припустимо, що BD1∥DB1B D_{1} \parallel D B_{1}. Доведіть, що OO лежить на прямій OBODO_{B} O_{D}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-009

Рівносторонні трикутники в многокутниках зі стороною 1

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3, які мають таку властивість: кожен опуклий nn-кутник, усі сторони якого мають довжину 11, містить рівносторонній трикутник зі стороною 11. (Вважається, що кожен многокутник містить свою межу.)
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-010

Перпендикуляр з перетину дотичних

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCA B C, а ΩA\Omega_{A} — його зовнівписане коло, яке дотикається до відрізка BCB C. Нехай XX і YY — точки перетину кіл ω\omega і ΩA\Omega_{A}. Нехай PP і QQ — проєкції AA на дотичні до кола ΩA\Omega_{A} у точках XX і YY відповідно. Дотична в точці PP до описаного кола трикутника APXA P X перетинає дотичну в точці QQ до описаного кола трикутника AQYA Q Y у точці RR. Доведіть, що AR⊥BCA R \perp B C.
10–11 класиПроєктивна геометрія2 розв’язки
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-002

Вписаний шестикутник з рівними сторонами і поділ діагоналі навпіл

Задано опуклий шестикутник ABCDEFABCDEF, вписаний у коло, у якому BC=EFBC = EF і CD=AFCD = AF. Діагоналі ACAC і BFBF перетинаються в точці QQ, а діагоналі CECE і DFDF — у точці PP. На відрізках DFDF і BFBF відмічено точки RR і SS відповідно так, що FR=PDFR = PD і BQ=FSBQ = FS. Відрізки RQRQ і PSPS перетинаються в точці TT. Доведіть, що пряма TCTC ділить діагональ DBDB навпіл.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-004

Кола в кутах трикутника, дотичні до вписаного кола

У трикутник ABCABC вписано коло радіуса rr. Кола з радіусами r1,r2,r3r_1, r_2, r_3 вписано в кути AA, BB, CC відповідно так, що вони дотикаються зовнішнім чином до вписаного кола, при цьому r1,r2,r3<rr_1, r_2, r_3 < r. Доведіть, що r1+r2+r3⩾rr_1 + r_2 + r_3 \geqslant r.
10–11 класиГомотерія і подібність
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2021-004

Колінеарність з паралельною хордою

Нехай AA, BB, CC і DD — точки на колі ω\omega такі, що ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Припустімо, що прямі ABAB і CDCD перетинаються в точці EE такій, що AA лежить між BB і EE, а прямі BDBD і ACAC перетинаються в точці FF. Нехай X≠DX \neq D — точка на колі ω\omega така, що DXDX і EFEF паралельні. Нехай YY — образ точки DD при симетрії відносно прямої EFEF, і припустімо, що YY лежить усередині кола ω\omega. Доведіть, що точки AA, XX і YY лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-001

Чотири кола через точки на прямій і січна

Попарно різні точки T1,T2,T3,T4T_1, T_2, T_3, T_4 лежать на деякій прямій у зазначеному порядку. Нехай довільне коло ω1\omega_1 проходить через точки T1T_1 і T4T_4; коло ω2\omega_2 проходить через точку T2T_2 та дотикається до кола ω1\omega_1 у точці T1T_1 внутрішнім чином; коло ω3\omega_3 проходить через точку T3T_3 та дотикається до кола ω2\omega_2 у точці T2T_2 зовнішнім чином; коло ω4\omega_4 проходить через точку T4T_4 та дотикається до кола ω3\omega_3 у точці T3T_3 зовнішнім чином. Деяка пряма перетинає коло ω1\omega_1 у точках PP та WW, коло ω2\omega_2 — у точках QQ та RR, коло ω3\omega_3 — у точках SS і TT, коло ω4\omega_4 — у точках UU та VV, причому точки PP, QQ, RR, SS, TT, UU, VV, WW лежать на цій прямій саме в такому порядку. Доведіть, що PQ+TU=RS+VWPQ + TU = RS + VW.
10–11 класиКола, що дотикаються
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-011

Бісектриса кута і дотик до кола

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB>ACAB > AC. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає сторону BCBC у точці DD. Кола з діаметрами BDBD і CDCD перетинають описане коло трикутника △ABC\triangle ABC вдруге у точках P≠BP \neq B і Q≠CQ \neq C відповідно. Прямі PQPQ і BCBC перетинаються у точці XX. Доведіть, що пряма AXAX є дотичною до описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-012

Дотична через перетин у вписаному п’ятикутнику

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п’ятикутник, вписаний у коло ω\omega, такий, що CD∥BECD \parallel BE. Пряма, дотична до кола ω\omega у точці BB, перетинає пряму ACAC у точці FF такій, що AA лежить між точками CC і FF. Прямі BDBD і AEAE перетинаються у точці GG. Доведіть, що пряма FGFG дотикається до описаного кола трикутника ADGADG.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-013

Рівні відстані від середини дуги

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом ω\omega. Внутрішні бісектриси кутів ∠ABC\angle ABC та ∠ACB\angle ACB перетинають ω\omega у точках XX і YY відповідно. Нехай KK — точка на прямій CXCX така, що ∠KAC=90∘\angle KAC = 90^\circ. Аналогічно нехай LL — точка на прямій BYBY така, що ∠LAB=90∘\angle LAB = 90^\circ. Нехай SS — середина дуги CABCAB кола ω\omega. Доведіть, що SK=SLSK = SL.
10–11 класиТеорема про тризуб
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-014

Дотична через перетин прямих на півколі

Нехай ω\omega — півколо з діаметром XYXY. Нехай MM — середина відрізка XYXY. Нехай AA — довільна точка на півколі ω\omega така, що AX<AYAX < AY. Нехай BB і CC — точки, що лежать на відрізках XMXM і YMYM відповідно, такі, що BM=CMBM = CM. Пряма через CC, паралельна ABAB, перетинає ω\omega у точці PP. Пряма через BB, паралельна ACAC, перетинає ω\omega у точці QQ. Пряма PQPQ перетинає пряму XYXY у точці SS. Доведіть, що пряма ASAS дотикається до півкола ω\omega.
10–11 класиТеорема Менелая
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-015

Бісектриса кута, утвореного дотичною та проєкціями

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega. Нехай ℓ\ell — дотична до кола ω\omega в точці AA. Нехай XX і YY — проєкції BB на прямі ℓ\ell і ACAC відповідно. Нехай HH — ортоцентр трикутника BXYBXY. Нехай пряма CHCH перетинає ℓ\ell в точці DD. Доведіть, що пряма BABA є бісектрисою кута CBDCBD.
10–11 класиДотична кола2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.