Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

683 задачі
ГеометріяАлгебраїчні методи в геометрії
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-010

Діагоналі шестикутника з перетину трикутників PQR і DEF

Нехай II — точка перетину бісектрис трикутника ABCABC. Коло ω\omega з центром у точці II перетинає сторону BCBC в точках DD і PP (точка DD лежить між BB і PP), сторону CACA — у точках EE і QQ (точка EE лежить між CC і QQ), сторону ABAB — у точках FF і RR (точка FF лежить між AA і RR). Трикутники PQRPQR і DEFDEF утворюють у перетині шестикутник. Доведіть, що діагоналі цього шестикутника, які сполучають протилежні вершини, перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-005

Середня лінія трикутника, проєкції та перетин прямих AA1

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, і відрізок MNMN є його середньою лінією, яка паралельна до BCBC. Позначимо через PP ортогональну проекцію точки NN на сторону BCBC, а через A1A_1 — середину відрізка MPMP. Точки B1B_1 і C1C_1 визначаються аналогічно. Доведіть, що якщо прямі AA1AA_1, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в одній точці, то трикутник ABCABC має дві рівні сторони.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-005

Дотичні до описаного кола і кути з серединами

Дотичні до описаного кола гострокутного трикутника ABCABC, проведені в точках BB і AA, перетинають дотичну, проведену в точці CC, у точках TT і UU відповідно. Прямі ATAT і BCBC перетинаються в точці PP, точка QQ — середина відрізка APAP, прямі BUBU і CACA перетинаються в точці RR, точка SS — середина відрізка BRBR. Доведіть, що ∠ABQ=∠BAS\angle ABQ = \angle BAS. Визначте найбільше можливе значення величини цього кута.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-008

Точки на сторонах з рівними сумами і спільна точка

Дано гострокутний трикутник ABCABC, HH — його ортоцентр, OO — центр описаного кола. Доведіть, що існують такі відмінні від вершин точки DD, EE, FF на сторонах, відповідно, BCBC, CACA, ABAB, що OD+DH=OE+EH=OF+FHOD + DH = OE + EH = OF + FH та прямі ADAD, BEBE, CFCF перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-003

N-допустима множина і трикутники з кутами до 61°

Для натурального числа nn множину SS назвемо nn-допустимою, якщо: - кожен елемент множини SS є невпорядкованою трійкою чисел у множині {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}, ∣S∣=n−2;|S| = n - 2; - для кожного натурального числа kk, такого, що 1⩽k⩽n−21 \leqslant k \leqslant n - 2, та для будь-яких kk попарно різних елементів A1,A2,…,Ak∈SA_1, A_2, \ldots, A_k \in S справджується умова ∣A1∪A2∪…∪Ak∣⩾k+2.|A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k| \geqslant k + 2. Чи дійсно для всіх n>3n > 3 та для кожної nn-допустимої множини SS існують попарно різні точки P1,P2,…,PnP_1, P_2, \ldots, P_n на площині такі, що для будь-якої трійки {i,j,k}\{i, j, k\} у множині SS градусні міри кутів трикутника PiPjPkP_iP_jP_k є меншими за 61∘61^\circ?
10–11 класиКомплексні числа
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-021

Перетини дотичних та відношення кіл

У гострокутному різносторонньому трикутнику △ABC\triangle ABC точки P,QP, Q лежать на менших дугах AB^\widehat{AB} та AC^\widehat{AC} відповідно і є точками перетину середньої лінії, паралельної стороні BCBC, з описаним колом △ABC\triangle ABC. Точки XX та YY є точками перетину серединних перпендикулярів до відрізків ABAB та ACAC відповідно з дотичною до ⊙(ABC)\odot(ABC) у точці AA. Нехай T≠AT \neq A — точка перетину кіл ⊙(PXA)\odot(PXA) та ⊙(QYA)\odot(QYA). Якщо ADAD — висота в трикутнику △ABC\triangle ABC, доведіть, що ∣TX∣∣TY∣=∣DB∣∣DC∣\frac{|TX|}{|TY|} = \frac{|DB|}{|DC|}
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-003

Найменший степінь многочлена для вершин правильного 2n-кутника

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число, а ff — многочлен з дійсними коефіцієнтами від 4n4n змінних. Припустимо, що для будь-яких 2n2n точок (x1,y1),…,(x2n,y2n)(x_1, y_1), \ldots, (x_{2n}, y_{2n}) на декартовій площині значення многочлена f(x1,y1,…,x2n,y2n)=0f(x_1, y_1, \ldots, x_{2n}, y_{2n}) = 0 тоді й тільки тоді, коли ці точки утворюють у деякому порядку вершини правильного 2n2n-кутника або всі збігаються. Знайдіть найменший можливий степінь многочлена ff. Примітка. Нагадаємо, що степінь многочлена дорівнює найбільшому зі степенів одночленів у його складі, тобто сумі показників степенів усіх змінних цього одночлена. Наприклад, степінь многочлена g(x,y)=4x3y4+yx+x−2g(x, y) = 4x^3y^4 + yx + x - 2 дорівнює 77, оскільки 7=3+47 = 3 + 4.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-004

Середина відрізка AH і проєкції точок B і C

У гострокутному трикутнику ABCABC нехай точки HH та OO є ортоцентром і центром описаного кола відповідно. Нехай точка KK — це середина відрізка AHAH. Нехай ll — це пряма, що проходить через точку OO, а точки PP та QQ — ортогональні проєкції на пряму ll точок BB і CC відповідно. Доведіть, що KP+KQ⩾BCKP + KQ \geqslant BC.
10–11 класиПоворот
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-004

Середина сторони, центр вписаного кола і симетричні точки

У трикутнику ABCABC точка MM — середина сторони ABAB, а точка II — центр вписаного кола. Точка A1A_1 симетрична точці AA відносно прямої BIBI, а точка B1B_1 симетрична точці BB відносно прямої AIAI. Доведіть, що IN>IMIN > IM.
10–11 класиВекторний метод
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-009

Середина між точками з різними швидкостями на колі

Нехай Γ\Gamma — коло на площині, а SS — точка на колі Γ\Gamma. Два брати, Маріо та Луїджі, їздять по колу Γ\Gamma на своїх картах. Вони обидва стартують із SS одночасно, обидва їдуть рівно 6 хвилин зі сталою швидкістю проти годинникової стрілки навколо траси. За ці 6 хвилин Луїджі робить рівно одне коло по Γ\Gamma, тоді як Маріо, який утричі швидший, робить три кола. Поки Маріо та Луїджі їдуть на своїх картах, принцеса Дейзі розташовується так, щоб завжди бути точно посередині між двома братами. Коли вона потрапляє в точку, в якій вже побувала, вона позначає її бананом. Скільки точок на площині, крім SS, буде позначено бананом після перегонів?
10–11 класиКомплексні числа
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-001

Чотири кола через точки на прямій і січна

Попарно різні точки T1,T2,T3,T4T_1, T_2, T_3, T_4 лежать на деякій прямій у зазначеному порядку. Нехай довільне коло ω1\omega_1 проходить через точки T1T_1 і T4T_4; коло ω2\omega_2 проходить через точку T2T_2 та дотикається до кола ω1\omega_1 у точці T1T_1 внутрішнім чином; коло ω3\omega_3 проходить через точку T3T_3 та дотикається до кола ω2\omega_2 у точці T2T_2 зовнішнім чином; коло ω4\omega_4 проходить через точку T4T_4 та дотикається до кола ω3\omega_3 у точці T3T_3 зовнішнім чином. Деяка пряма перетинає коло ω1\omega_1 у точках PP та WW, коло ω2\omega_2 — у точках QQ та RR, коло ω3\omega_3 — у точках SS і TT, коло ω4\omega_4 — у точках UU та VV, причому точки PP, QQ, RR, SS, TT, UU, VV, WW лежать на цій прямій саме в такому порядку. Доведіть, що PQ+TU=RS+VWPQ + TU = RS + VW.
10–11 класиКола, що дотикаються
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-019

Геометричне місце точок із фіксованими відношеннями

Нехай AA, BB, CC, PP і QQ — п’ять попарно різних точок площини. Припустимо, що AA, BB і CC не лежать на одній прямій і що APBP=AQBQ=2120,\frac{AP}{BP} = \frac{AQ}{BQ} = \frac{21}{20}, BPCP=BQCQ=2019.\frac{BP}{CP} = \frac{BQ}{CQ} = \frac{20}{19}. Доведіть, що пряма PQPQ містить центр описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиМетод координат
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-006

Опуклий n-кутник з n-1 рівними сторонами та кутами

Знайдіть усі натуральні числа n⩾3n \geqslant 3, для яких справджується таке твердження: «Якщо PP — це опуклий nn-кутник, у якого n−1n - 1 з його сторін рівні та n−1n - 1 з його кутів рівні, то цей nn-кутник є правильним». Примітка. Многокутник називають правильним, якщо всі його сторони рівні та всі його кути рівні.
10–11 класиВекторний метод
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-007

Точки-подвоєння чевіан і описане коло

Нехай PP — точка всередині трикутника ABCABC. Нехай пряма APAP перетинає сторону BCBC в A1A_{1}, нехай пряма BPBP перетинає сторону CACA в B1B_{1}, а нехай пряма CPCP перетинає сторону ABAB в C1C_{1}. Нехай A2A_{2} — така точка, що A1A_{1} є серединою відрізка PA2PA_{2}, нехай B2B_{2} — така точка, що B1B_{1} є серединою відрізка PB2PB_{2}, а нехай C2C_{2} — така точка, що C1C_{1} є серединою відрізка PC2PC_{2}. Доведіть, що точки A2,B2A_{2}, B_{2} і C2C_{2} не можуть усі лежати строго всередині описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-013

Найбільша площа чотирикутника з прямим кутом

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має прямий кут при AA і для нього BC+CD=1BC + CD = 1. Знайдіть його найбільшу можливу площу.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2017-003

Вписання правильного многокутника в правильний

Знайдіть усі цілі числа nn і mm, n>m>2n > m > 2, такі, що правильний nn-кутник можна вписати в правильний mm-кутник так, щоб усі вершини nn-кутника лежали на сторонах mm-кутника.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-020

Чотирикутник, подібний до чотирикутника середин його сторін

У чотирикутнику QQ найдовша сторона має довжину bb, а найкоротша — довжину aa. Утворимо новий чотирикутник Q′Q', послідовно сполучивши середини сторін чотирикутника QQ. Припустивши, що QQ і Q′Q' подібні, доведіть, що ba<1+2\frac{b}{a} < 1 + \sqrt{2}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-019

Нерівність між стороною та кутами трикутника

Розглянемо трикутник ABC, для якого BC<AC+AB2BC < \frac{AC+AB}{2}. Доведіть, що ∠BAC<∠CBA+∠ACB2\angle BAC < \frac{\angle CBA+\angle ACB}{2}.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-025

Вершини квадрата на концентричних колах

У площині проведено чотири кола зі спільним центром, відстані між сусідніми колами рівні. Доведіть, що неможливо побудувати квадрат так, щоб його вершини лежали на різних колах.
10–11 класиМетод координат
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-006

Описані чотирикутники з паралельними сторонами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник з непаралельними сторонами BCBC і ADAD. Припустимо, що існує точка EE на стороні BCBC така, що чотирикутники ABEDABED і AECDAECD є описаними. Доведіть, що існує точка FF на стороні ADAD така, що чотирикутники ABCFABCF і BCDFBCDF є описаними, тоді й лише тоді, коли сторона ABAB паралельна стороні CDCD.
10–11 класиВписане коло
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-005

Точка перетину медіан і описане коло трикутника PQR

У трикутнику ABCABC через DD, EE та FF позначили середини сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Коло, описане навколо трикутника BCFBCF, та пряма BEBE вдруге перетинаються у точці PP, а коло, описане навколо трикутника ABEABE, та пряма ADAD вдруге перетинаються у точці QQ. Прямі DPDP та FQFQ перетинаються в точці RR. Доведіть, що точка перетину медіан трикутника ABCABC лежить на описаному колі трикутника PQRPQR.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-026

Коло, дотичне до прямих через сторони, що проходить через вершину

Розглянемо прямокутний трикутник ABCABC зі сторонами завдовжки 33, 44 і 55. Знайдіть найбільший можливий радіус кола, яке дотикається до двох із прямих BCBC, CACA і ABAB та додатково проходить принаймні через одну з точок AA, BB і CC.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-005

Дотичний шестикутник з рівними відстанями

Нехай ABCDEFA B C D E F — опуклий шестикутник, усі сторони якого дотикаються до кола ω\omega з центром OO. Припустимо, що описане коло трикутника ACEA C E концентричне з колом ω\omega. Нехай JJ — основа перпендикуляра з BB на пряму CDC D. Припустимо, що перпендикуляр з BB до прямої DFD F перетинає пряму EOE O в точці KK. Нехай LL — основа перпендикуляра з KK на пряму DED E. Доведіть, що DJ=DLD J=D L.
10–11 класиПоворот2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2011-005

n різних точок на площині з однаковими відстанями

Для кожного значення n⩾3n \geqslant 3 знайдіть усі можливі розташування на площині nn різних точок X1X_1, X2X_2, …\ldots, XnX_n, що задовольняють таку умову: для довільної пари різних точок XiX_i, XjX_j існує така перестановка σ\sigma чисел 1,2,…,n1, 2, \ldots, n, що для всіх kk, 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n, рівними є відстані XiXk=XjXσ(k)X_iX_k = X_jX_{\sigma(k)}.
10–11 класиВекторний метод
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-014

Рівнобедрений трикутник з дотичним колом і відношенням відрізків

Точка LL — внутрішня точка сторони ACAC рівнобедреного трикутника ABCABC (AB=BCAB = BC). Коло ω\omega проходить через точку BB і дотикається до прямої ACAC в точці LL. Воно перетинає пряму ABAB у точках BB і DD, а пряму BCBC — у точках BB і EE. Нехай MM — середина відрізка DEDE, а N≠LN \neq L — перетин прямих BMBM і ACAC. Відомо, що ANCN=ALCL>1\frac{AN}{CN} = \frac{AL}{CL} > 1. Доведіть, що кут ALBALB дорівнює 60∘60^\circ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.