Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

399 задач
ГеометріяДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-094

Коло, дотичне до сторони квадрата

Нехай ABCDABCD — одиничний квадрат. Коло з радіусом 3249\frac{32}{49} проходить через точку DD і дотикається до сторони ABAB у точці EE. Тоді DE=mnDE=\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа і НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть 100m+n100m+n.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2021-027

Дотичні кола у конструкції з паралелограмом

Нехай ABCDABCD — опуклий паралелограм з гострим кутом при AA. Точки, симетричні AA відносно прямих BCBC і CDCD, позначимо PP і QQ відповідно. Крім того, пряма BDBD перетинає відрізки AP‾\overline{AP} і AQ‾\overline{AQ} у внутрішніх точках RR і SS відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників BRPBRP і DQSDQS дотикаються.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-018

Дотик кіл і точки, симетричні інцентру

Нехай ABCABC — трикутник і нехай II — центр його вписаного кола. Нехай DD — точка, симетрична II відносно сторони ABAB, а EE — точка, симетрична II відносно сторони ACAC. Доведіть, що описані кола трикутників BIDBID і CIECIE дотикаються одне до одного.
10–11 класиКола, що дотикаються2 розв’язки
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-008

Кути у конструкції з дотичним колом

Нехай ABAB — хорда кола Γ\Gamma. Нехай OO — центр кола, яке дотикається до хорди ABAB в CC і внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma в PP. Точка CC лежить між AA і BB. Нехай описане коло трикутника POCPOC перетинає Γ\Gamma у різних точках PP і QQ. Доведіть, що ∠AQP=∠CQB\angle AQP = \angle CQB.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-002

Трикутник сталої площі в ромбі

У ромб ABCDA B C D вписано коло. Точки PP і QQ змінюються на відрізках AB‾\overline{A B} і AD‾\overline{A D} відповідно так, що PQ‾\overline{P Q} дотикається до кола. Доведіть, що для всіх таких відрізків PQ‾\overline{P Q} площа трикутника CPQC P Q є сталою.
10–11 класиДотична кола2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-014

Тупий кут в описаному чотирикутнику

Діагоналі описаного чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці PP. Сторона ABAB довша за будь-яку іншу сторону чотирикутника ABCDABCD. Доведіть, що кут APBAPB тупий.
11 класЗастосування тригонометрії
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-047

Паралельні прямі із симетрії відносно точки

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай PP — точка перетину прямої (BC)(BC) і дотичної до кола Γ\Gamma в AA. Нехай DD і EE — точки, симетричні точкам BB і AA відповідно відносно PP. Нехай далі ω1\omega_{1} — описане коло трикутника DACDAC, а ω2\omega_{2} — описане коло трикутника APBAPB. Позначимо через FF точку перетину кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}, відмінну від AA, а потім позначимо через GG точку перетину, відмінну від FF, кола ω1\omega_{1} з прямою (BF)(BF). Доведіть, що прямі (BC)(BC) і (EG)(EG) паралельні.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-037

Дотичні та паралель через перетини кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — коло, що проходить через AA. Припустимо, що Γ\Gamma повторно перетинає відрізки [AB][AB] та [AC][AC] у двох точках, які позначимо відповідно DD та EE, і перетинає відрізок [BC][BC] у двох точках, які позначимо FF та GG, так що FF лежить між BB та GG. Нехай TT — точка перетину дотичної в FF до описаного кола трикутника BDFBDF та дотичної в GG до описаного кола трикутника CEGCEG. Доведіть, що якщо точки AA та TT різні, то прямі (AT)(AT) та (BC)(BC) паралельні.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-009

Трикутник із серединою дуги й дотичною

Нехай ABCABC — трикутник, а ω\omega — його описане коло. Точка MM — середина дуги BCBC, що не містить AA, на колі ω\omega, а точку DD вибрано так, що DMDM дотикається до кола ω\omega і лежить з того самого боку від прямої AMAM, що й CC. Відомо, що AM=ACAM = AC і ∠DMC=38∘\angle DMC = 38^{\circ}. Знайдіть величину кута ∠ACB\angle ACB.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-091

Півколо, вписане в чверть круга

Нехай AA — площа найбільшого півкруга, який можна вписати в чверть круга радіуса 11. Обчисліть 120Aπ\frac{120A}{\pi}.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-128

Дотик вписаних кіл у прямокутнику

Нехай ABCDABCD — прямокутник, а EE — точка на відрізку ADAD. Відомо, що чотирикутник BCDEBCDE має вписане коло ω1\omega_{1}, яке дотикається до відрізка BEBE в точці TT. Якщо вписане коло ω2\omega_{2} трикутника ABEABE також дотикається до відрізка BEBE в точці TT, то знайдіть відношення радіуса кола ω1\omega_{1} до радіуса кола ω2\omega_{2}.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-096

Шестикутник, обмежений дотичними до кіл

Правильний шестикутник P1P2P3P4P5P6P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5} P_{6} має довжину сторони 22. Для 1≤i≤61 \leq i \leq 6 нехай CiC_{i} — одиничне коло з центром у PiP_{i}, а ℓi\ell_{i} — одна з внутрішніх спільних дотичних до кіл CiC_{i} і Ci+2C_{i+2}, де C7=C1C_{7}=C_{1} і C8=C2C_{8}=C_{2}. Припустимо, що прямі {ℓ1,ℓ2,ℓ3,ℓ4,ℓ5,ℓ6}\{\ell_{1}, \ell_{2}, \ell_{3}, \ell_{4}, \ell_{5}, \ell_{6}\} обмежують правильний шестикутник. Площу цього шестикутника можна записати як ab\sqrt{\frac{a}{b}}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-142

Випадковий чотирикутник, що перетинає внутрішнє коло

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — концентричні кола з радіусами 11 і 22 відповідно. Чотири точки на колі Γ2\Gamma_{2} обирають незалежно й рівномірно випадково, а потім сполучають так, щоб утворився опуклий чотирикутник. Яка ймовірність того, що периметр цього чотирикутника перетинає Γ1\Gamma_{1}?
10–11 класиДотична кола
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-051

Дотичні та кут у колі

На рисунку нижче відрізки AMA M, AKA K, B2C2B_{2} C_{2} і B1C1B_{1} C_{1} є дотичними до кола з центром OO. Якщо ∠B1OB2=30∘\angle B_{1} O B_{2} = 30^{\circ}, знайдіть величину кута ∠B1DB2\angle B_{1} D B_{2}.
10–11 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-004

Циклічні чотирикутники і дотичні

Нехай ABCABC — трикутник, усі три кути якого гострі, причому AB>ACAB > AC, а Ω\Omega — його описане коло. Позначимо через MM середину відрізка [BC][BC]. Дотичні до кола Ω\Omega в точках BB і CC перетинаються в точці PP, а прямі (AP)(AP) і (BC)(BC) перетинаються в точці SS. Позначимо через DD основу висоти, проведеної з BB в трикутнику ABPABP, а через ω\omega — описане коло трикутника CSDCSD. Нарешті, позначимо через KK другу точку перетину (після CC) кіл ω\omega і Ω\Omega. Доведіть, що CKM^=90∘\widehat{CKM} = 90^{\circ}.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-133

Геометричне місце з обмеженням на відношення відрізків

Нехай ABAB — відрізок завдовжки 22, а SS — множина точок PP на площині таких, що існує точка XX на відрізку ABAB з умовою AX=2PXAX = 2 PX. Знайдіть площу множини SS.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-051

Трикутник із відношенням площ для вписаного кола

У △ABC\triangle ABC вписане коло з центром II дотикається до сторін ABAB і BCBC у точках XX і YY відповідно. Крім того, площа чотирикутника BXIYBXIY становить 25\frac{2}{5} площі трикутника ABCABC. Нехай pp — найменший можливий периметр такого △ABC\triangle ABC, що задовольняє ці умови та має цілі довжини сторін. Знайдіть найменшу можливу площу такого трикутника з периметром pp.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-090

Точки кола з дотичним описаним колом

Коло Γ\Gamma з центром OO має радіус 1. Розглянемо пари (A,B)(A, B) точок таких, що AA лежить усередині кола, а BB — на його межі. Описане коло Ω\Omega трикутника OABO A B перетинає Γ\Gamma ще раз у точці C≠BC \neq B, а пряма ACA C перетинає Γ\Gamma ще раз у точці X≠CX \neq C. Пару (A,B)(A, B) називають текі, якщо пряма OXO X дотикається до кола Ω\Omega. Знайдіть площу області точок AA, для яких існує точка BB, така, що (A,B)(A, B) є текі.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2019-005

Циклічність точок із дотичного кола

У вписаному чотирикутнику ABCDA B C D нехай EE — точка перетину діагоналей. Пряма через EE, відмінна від ACA C або BDB D, перетинає ABA B у точці PP та BCB C у точці QQ. Коло, яке дотикається до прямої PQP Q у точці EE і проходить через DD, перетинає описане коло чотирикутника ABCDA B C D ще раз у точці RR. Доведіть, що точки B,P,RB, P, R і QQ лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-026

Перетин дотичних кіл на стороні трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а MM і NN — середини сторін AB‾\overline{AB} та AC‾\overline{AC} відповідно. Нехай XX — точка, для якої відрізок AX‾\overline{AX} дотикається до описаного кола трикутника ABCABC. Позначимо через ωB\omega_B коло, що проходить через точки MM і BB та дотикається до відрізка MX‾\overline{MX}, а через ωC\omega_C — коло, що проходить через точки NN і CC та дотикається до відрізка NX‾\overline{NX}. Доведіть, що кола ωB\omega_B і ωC\omega_C перетинаються на прямій BCBC.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-032

Перетин дотичних і паралельні прямі

Нехай дано трикутник ABCABC. Коло kk проходить через AA, перетинає сторони AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} ще раз у точках DD і EE відповідно та перетинає сторону BC‾\overline{BC} в точках FF і GG, причому FF лежить між BB і GG. Дотична до кола, що проходить через BB, DD і FF, в точці FF і дотична до кола, що проходить через CC, EE і GG, в точці GG перетинаються в точці TT. Припустимо, що A≠TA \neq T. Доведіть, що прямі ATAT і BCBC паралельні.
10–11 класиДотична кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-006

Дотичні кола і поділ хорди навпіл

Нехай k1k_{1} — коло, а ll — пряма, яка перетинає k1k_{1} у двох різних точках AA і BB. Нехай k2k_{2} — інше коло поза колом k1k_{1}, яке дотикається до кола k1k_{1} в точці CC і до прямої ll в точці DD. Нехай TT — друга точка перетину кола k1k_{1} з прямою CDCD. Доведіть, що AT=TBAT = TB.
10–11 класиКола, що дотикаються3 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-039

Паралельні прямі з дотичної та середин сторін

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через L,M,NL, M, N середини відрізків [BC][BC], [CA][CA] і [AB][AB]. Позначимо через (d)(d) дотичну в точці AA до описаного кола трикутника ABCABC. Пряма (LM)(LM) перетинає (d)(d) у точці PP, а пряма (LN)(LN) перетинає (d)(d) у точці QQ. Доведіть, що прямі (CP)(CP) і (BQ)(BQ) паралельні.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-016

Рівність радіусів описаних кіл при перетині двох кіл

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, що перетинаються в точках MM і NN. Нехай AA і BB — точки дотику цих двох кіл з їхньою спільною зовнішньою дотичною, найближчою до MM. Нехай CC і DD — точки, симетричні точкам AA і BB відповідно відносно точки MM, а EE і FF — точки перетину (відмінні від MM) описаного кола трикутника MCDMCD з колами Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників MEFMEF і NEFNEF мають однаковий радіус.
9–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2018-006

Перетин дотичної до описаного кола з прямою сторони

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, довжини сторін якого є натуральними числами, попарно взаємно простими. Дотична в точці AA до описаного кола перетинає пряму BCBC в точці DD. Доведіть, що ∣BD∣|BD| не є цілим числом.
10–11 класиНСД та НСК

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.