Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

592 задачі
КомбінаторикаГрафи
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-008

Найменша кількість частин смужки для квадрата з подільністю

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Пол має прямокутну смужку 1×n21 \times n^{2}, що складається з n2n^{2} одиничних квадратиків, де i-йi^{\text{-й}} квадратик позначено числом ii для всіх 1⩽i⩽n21 \leqslant i \leqslant n^{2}. Він хоче розрізати смужку на кілька частин, кожна з яких складається з кількох послідовних одиничних квадратиків, а потім паралельним перенесенням (без поворотів і перегортань) скласти з цих частин квадрат n×nn \times n з такою властивістю: якщо одиничний квадратик в i-йi^{\text{-й}} рядку та j-йj^{\text{-й}} стовпчику позначено числом aija_{ij}, то aij−(i+j−1)a_{ij}-(i+j-1) ділиться на nn. Знайдіть найменшу кількість частин, на які Полу потрібно розрізати смужку, щоб це здійснити.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-011

Розфарбування ребер повного графа з гамільтоновою умовою

Архіпелаг Імомі складається з n⩾2n \geqslant 2 островів. Між кожною парою різних островів пролягає єдина поромна лінія, що працює в обох напрямках, і кожна поромна лінія обслуговується однією з kk компаній. Відомо, що якщо будь-яка одна з kk компаній закриє всі свої поромні лінії, то мандрівник, з якого б острова він не починав свій шлях, не зможе відвідати всі острови рівно по одному разу (зокрема, не повертаючись на острів, з якого він вирушив). Знайдіть найбільше можливе значення kk залежно від nn.
10–11 класиШляхи на графах
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-006

Кістякове дерево із заданою кількістю кольорових ребер

Нехай rr, gg, bb — це цілі невід’ємні числа. Нехай Γ\Gamma — це зв’язний граф на r+g+b+1r + g + b + 1 вершинах. Кожне ребро графа Γ\Gamma пофарбовано в червоний, зелений або синій колір. Виявилося, що граф Γ\Gamma містить: - кістякове дерево, у якому рівно rr з усіх ребер є червоними; - кістякове дерево, у якому рівно gg з усіх ребер є зеленими; - кістякове дерево, у якому рівно bb з усіх ребер є синіми. Доведіть, що граф Γ\Gamma містить кістякове дерево, у якому рівно rr червоних ребер, рівно gg зелених ребер і рівно bb синіх ребер. Примітка. Кістякове дерево графа Γ\Gamma — це граф, який має ті ж самі вершини, що й граф Γ\Gamma, ребра якого є також ребрами графа Γ\Gamma і для якого існує рівно один шлях між будь-якими двома його різними вершинами.
10–11 класиДерева
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-006

Мінімальна кількість зльотів у байрактарському квадраті

Дано натуральне число nn. Дошку розміром n×nn \times n, у клітинках якої записано по одному числу, назвемо байрактарським квадратом, якщо вона містить усі натуральні числа від 11 до n2n^2. Дві різні клітинки вважатимемо сусідніми, якщо у них є спільна сторона. Назвемо клітинку днищем, якщо число в кожній сусідній до неї клітинці більше за число в цій клітинці. Назвемо зльотом таку послідовність з однієї чи більшої кількості клітинок, у якій: а) перша клітинка послідовності є днищем; б) кожна наступна клітинка послідовності є сусідньою до попередньої; в) числа в клітинках послідовності йдуть у порядку зростання. Знайдіть як функцію від nn мінімальну можливу кількість зльотів у байрактарському квадраті.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-002

Двокольорове десятиповерхове дерево та його перестановки

На площині нарисоване 10-поверхове 2-дерево: вершину A1A_1 сполучено з двома вершинами B1B_1 і B2B_2, кожну з яких сполучено з двома із чотирьох вершин C1,C2,C3,C4C_1, C_2, C_3, C_4. Кожну з вершин CiC_i сполучено рівно з однією з вершин BjB_j, і так далі, по степенях числа 2 (на дев’ятому рівні 512 точок, тобто 292^9) до 512 вершин J1,J2,J3,…,J512J_1, J_2, J_3, \ldots, J_{512}. Кожну з вершин J1,J2,J3,…,J512J_1, J_2, J_3, \ldots, J_{512} пофарбовано в один із двох кольорів — блакитний чи жовтий. Розглядаємо всі можливі перестановки ff множини вершин нарисованого дерева: - якщо вершини XX та YY були сполучені відрізком, то й вершини f(X)f(X) та f(Y)f(Y) також сполучені відрізком; - якщо вершину XX пофарбовано в один з кольорів, то й вершину f(X)f(X) також пофарбовано в той самий колір. Для якого максимального MM гарантовано знайдуться принаймні MM таких різних перестановок?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2022-002

Парні підсистеми доріг та загальна кількість доріг у списку

У Дивокраї міста сполучені дорогами, причому коли між двома містами є пряма дорога, то між цими двома містами існує також маршрут, який не використовує цю дорогу. (Між будь-якими двома містами є не більше однієї прямої дороги.) Чирвова Королева наказала Пікам скласти список усіх «парних» підсистем системи доріг, тобто систем, утворених підмножинами множини доріг, у яких кожне місто сполучене з парною кількістю доріг (можливо, з жодною). Для кожної такої підсистеми вони мають перелічити її дороги. Якщо загалом у Дивокраї є nn доріг і у списку Пік є xx підсистем, то скільки доріг є у їхньому списку, якщо кожну дорогу рахувати стільки разів, скільки разів вона перелічена?
10–11 класиБієкції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-023

Підмножина без фіксованої різниці

Нехай tt — ненульове дійсне число, а nn — натуральне число. Нехай a1,a2,…,a2n−1a_1, a_2, \dots, a_{2n-1} — дійсні числа (не обов’язково різні). Доведіть, що існують індекси i1<i2<⋯<ini_1 < i_2 < \dots < i_n такі, що aik−ail≠ta_{i_k} - a_{i_{l}} \neq t для будь-яких 1≤k,l≤n1 \le k, l \le n.
10–11 класиДвочасткові графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-025

Розфарбування ребер кругового орграфа

Орієнтований граф GG має 2021 вершину на колі, з кожної вершини графа GG виходить 101 орієнтоване ребро до наступних 101 вершини в напрямку проти годинникової стрілки. Ми хочемо розфарбувати ребра так, щоб для будь-яких двох вершин uu і vv можна було вибрати орієнтований шлях з uu до vv, у якому жодні два ребра не мають однакового кольору. Яка найменша кількість кольорів потрібна?
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-029

Незалежні множини в триангуляції многокутника

Опуклий nn-кутник розбито на трикутники триангуляцією PP з n−3n-3 діагоналей, що не перетинаються. Незалежною множиною вершин називається така множина вершин PP, у якій жодні дві вершини не сполучені стороною чи діагоналлю. Нехай i(P)i(P) — кількість способів вибрати незалежну множину вершин відносно триангуляції PP. Нехай A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_n — вершини многокутника в порядку обходу. Триангуляцію називають зигзагоподібною, якщо (з точністю до перенумерації вершин) її діагоналями є A1An−1,An−1A2,A2An−2,An−2A3,…A_1A_{n-1}, A_{n-1}A_2, A_2A_{n-2}, A_{n-2}A_3, \dots — усього n−3n-3 діагоналі, що утворюють ламану A1An−1A2An−2A3…A_1A_{n-1}A_2A_{n-2}A_3\ldots, яка почергово переходить з одного боку многокутника на інший. Доведіть, що мінімум i(P)i(P) досягається для зигзагоподібної триангуляції.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2021-001

Фантастичність степеня 2021²⁰²¹ за трійками m, 2m+1, 3m

Відомо, що число 20212021 є фантастичним. Для кожного натурального mm справджується таке твердження: якщо хоча б один елемент множини {m, 2m+1, 3m}\{m,\ 2m+1,\ 3m\} є фантастичним, то й усі інші елементи множини є фантастичними. Чи правильно, що число 202120212021^{2021} є фантастичним?
10–11 класиЗв’язність
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-014

Різноманітні шляхи в турнірному графі

Королівство Анізотропія складається з nn міст. Для кожних двох міст існує рівно одна пряма дорога з одностороннім рухом між ними. Кажуть, що шлях з XX до YY — це послідовність доріг, якою можна дістатися з XX до YY без повернення до вже відвіданого міста. Набір шляхів називається різноманітним, якщо жодна дорога не належить двом чи більше шляхам цього набору. Нехай AA і BB — два різні міста в Анізотропії. Нехай NABN_{A B} позначає максимальну кількість шляхів у різноманітному наборі шляхів з AA до BB. Аналогічно, нехай NBAN_{B A} позначає максимальну кількість шляхів у різноманітному наборі шляхів з BB до AA. Доведіть, що рівність NAB=NBAN_{A B}=N_{B A} виконується тоді й лише тоді, коли кількість доріг, що виходять з AA, збігається з кількістю доріг, що виходять з BB.
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-003

Таблиця n × n з невід’ємними туровими сумами

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. В Елвіна є таблиця розміром n×nn \times n, що заповнена дійсними числами (у кожній клітинці рівно одне число). Назвемо туровою множину з nn клітинок, що розташовані в nn різних рядках та в nn різних стовпцях. Припустимо, що сума чисел у клітинках довільної турової множини невід’ємна. За один хід Елвін вибирає рядок і стовпець, а також дійсне число aa. Далі він додає до кожного числа у вибраному рядку число aa, віднімає від кожного числа вибраного стовпця число aa (тобто число, що розташоване на перетині рядка та стовпця, не змінюється). Доведіть, що за скінченну кількість ходів Елвін може досягти того, щоб усі числа в таблиці стали невід’ємними.
10–11 класиДвочасткові графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-022

Граф з різними вагами вершин

На дні народження Георга присутні n>1n > 1 гостей, і кожен гість дружить принаймні з одним іншим гостем. Георг організовує гру для гостей. Кожен гість отримує глечик води так, що немає двох гостей з однаковою кількістю води в їхніх глечиках. Далі кожен гість діє так. Гість бере по одній чашці для кожного зі своїх друзів на святі та розливає всю воду зі свого глечика порівну в чашки. Потім він передає по чашці кожному зі своїх друзів. Кожен гість, отримавши по чашці води від кожного зі своїх друзів, виливає отриману воду у свій глечик. Яка найменша можлива кількість гостей, у яких кількість води не така сама, як була на початку?
10–11 класиСтепені вершин
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-023

Монотонні підмножини та середній розмір

У школі з nn учнями треба вибрати команду учнів для прибирання школи. Команда учнів називається хорошою, якщо директор школи вважає, що вони зможуть прибрати школу. Відомо, що принаймні одна команда є хорошою і що якщо команда є хорошою, то вона залишиться хорошою після долучення будь-якого іншого учня. Доведіть, що середня кількість учнів у хороших командах становить щонайменше n2\frac{n}{2}.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-004

Король на зв'язних зелених полях дошки n×n

Нехай nn — непарне натуральне число. Деякі одиничні квадратики (поля) дошки розміром n×nn \times n пофарбовано в зелений колір. Виявилося, що шаховий король може дістатися з довільного зеленого поля до довільного іншого, роблячи ходи лише по зелених полях. Доведіть, що він завжди це може зробити не більше ніж за n2−12\dfrac{n^2-1}{2} ходів. Примітка. Одним ходом шахового короля називають його перехід з одного поля на інше, у яких є спільна сторона або спільна вершина.
10–11 класиШляхи на графах
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-003

Дві рівні купки камінців 1…4n за кольорами

Маємо 4n4n камінців масою 1,2,3,…,4n1, 2, 3, \ldots, 4n. Кожний камінець пофарбовано в один з nn кольорів, при цьому маємо по 44 камінці кожного кольору. Доведіть, що камінці можна розділити на дві купки рівної сумарної маси так, щоб у кожній купці було по 22 камінці кожного кольору.
10–11 класиШляхи на графах
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2020-002

Найбільше k для семиелементних підмножин з перетинами

У множині з 2020 елементів вибрано 2k+12k+1 різні семиелементні підмножини, кожна з яких перетинається рівно з kk вибраними підмножинами. При якому найбільшому kk це можливо?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2020-003

Непарний замкнений маршрут з рейсами різних авіакомпаній

У країні є n⩾3n \geqslant 3 аеропортів та nn авіакомпаній, що здійснюють двосторонні рейси на певних авіалініях. Для кожної авіакомпанії є непарне число m⩾3m \geqslant 3 та mm різних аеропортів c1,…,cmc_1, \ldots, c_m, для яких усі рейси цієї авіакомпанії — це рейси між такими парами міст: c1c_1 та c2c_2, c2c_2 та c3c_3, …\ldots, cm−1c_{m-1} та cmc_m, cmc_m та c1c_1. Доведіть, що існує замкнений маршрут, що складається з непарної кількості рейсів, у якому жодні два рейси не здійснюються однією авіакомпанією.
10–11 класиДвочасткові графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-029

Орієнтований граф із двома неперетинними циклами

В орієнтованому графі GG вихідний степінь кожної вершини дорівнює 33 (петлі та двонаправлені ребра дозволені й вважаються циклами). Доведіть, що граф містить 22 орієнтовані цикли, що не перетинаються.
10–11 класиОрієнтовані графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-030

Поліцейські та грабіжник на графі діаметра 2

Нехай GG — граф діаметра 22 на 20192019 вершинах. 6262 поліцейських і 11 грабіжник розміщено у вершинах графа GG. Усі бачать усіх інших, вони ходять по черзі. Кожного ходу кожен може залишитися у своїй вершині або перейти в будь-яку із сусідніх вершин (кожен поліцейський залишається чи йде незалежно від інших, і вони узгоджують свої дії протягом гри). Першим ходить грабіжник, потім ходять поліцейські (одночасно), потім знову ходить грабіжник, потім поліцейські і т. д. Грабіжник вважається спійманим, якщо він опиняється у вершині, зайнятій поліцейським. Доведіть, що поліцейські можуть спіймати грабіжника.
10–11 класиКласичні ігри
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-031

Мінімальна кількість відкритих карток для однозначної змійки

Фокусник розкладає на дошці 3×1003 \times 100 картки з числами від 11 до 300300 «змійкою» так, що послідовні числа стоять у сусідніх по стороні клітинках (по горизонталі або по вертикалі, але не по діагоналі). Числа написані на нижніх боках карток, верхні боки порожні. Після цього фокусник за власним вибором перевертає kk карток. При якому найменшому kk може трапитися так, що відкриті картки однозначно визначають усю змійку?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-006

2019 хорд у колі з числами 0 і 1

У колі Аліна провела 20192019 хорд з попарно різними кінцями. Назвемо точку особливою, якщо для неї виконується одна з умов: - а) вона є однією із 40384038 кінців проведених хорд; - б) вона є точкою перетину щонайменше двох хорд. Поряд з кожною особливою точкою з тих 40384038 точок, що задовольняють умову а), Аліна записує таке число: поряд з якимись 20192019 точками — число 00, поряд з іншими 20192019 точками — число 11. Поряд з точками, що задовольняють умову б), вона записує довільне ціле число (не обов'язково додатне). На кожній хорді Аліна розглядає відрізки, що сполучають дві сусідні особливі точки. Хорда з kk особливими точками має (k−1)(k-1) такий відрізок. Для кожного такого відрізка вона записує жовтим кольором суму чисел, записаних на кінцях цього відрізка, а синім кольором — модуль їхньої різниці. Аліна помітила, що N+1N+1 пораховане жовте число — це точно числа 0,1,…,N0, 1, \ldots, N. Доведіть, що хоча б одне записане синім кольором число ділиться на 33.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-003

Соціальна мережа з 2019 користувачів і зміни дружби

У соціальній мережі є 20192019 користувачів. Деякі користувачі товаришують з деякими іншими, при цьому якщо користувач AA є другом користувача BB, то BB також є другом AA. Зміни наступного типу здійснюються послідовно, по одній зміні за раз: обирають трьох користувачів AA, BB та CC таких, що AA є другом BB та CC, але BB і CC не є друзями; після цього BB та CC стають друзями, але AA перестає бути другом BB і CC. У всіх інших парах відношення не змінюються. Спочатку 10101010 користувачів мають по 10091009 друзів кожен, а 10091009 користувачів мають по 10101010 друзів кожен. Доведіть, що існує послідовність змін, після яких кожен користувач матиме не більш як одного друга.
10–11 класиЗв’язність
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-012

Лабіринт з кольоровими стінами

На плоскій рівнині в Камелоті король Артур будує лабіринт L\mathfrak{L}, що складається з nn стін, кожна з яких є нескінченною прямою. Жодні дві стіни не паралельні, і жодні три стіни не мають спільної точки. Потім Мерлін фарбує один бік кожної стіни повністю в червоний колір, а другий бік — повністю в синій. На перетині двох стін утворюються чотири кути: два діаметрально протилежні кути, де сходяться червоний і синій боки, один кут, де сходяться два червоні боки, і один кут, де сходяться два сині боки. У кожному такому перетині є двосторонні двері, що з'єднують два діаметрально протилежні кути, в яких сходяться боки різних кольорів. Після того як Мерлін пофарбує стіни, Моргана розставляє в лабіринті кількох лицарів. Лицарі можуть проходити крізь двері, але не можуть проходити крізь стіни. Нехай k(L)k(\mathfrak{L}) — найбільше число kk таке, що, як би Мерлін не пофарбував лабіринт L\mathfrak{L}, Моргана завжди може розмістити принаймні kk лицарів так, щоб жодні двоє з них ніколи не змогли зустрітися. Для кожного nn знайдіть усі можливі значення k(L)k(\mathfrak{L}), де L\mathfrak{L} — лабіринт з nn стінами.
10–11 класиЗв’язність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-015

Турніри з малою кількістю вихідних доріг

Аліса має карту Дивокраю — країни, що складається з n⩾2n \geqslant 2 міст. Для кожної пари міст існує вузька дорога, що веде від одного міста до іншого. Одного дня всі дороги оголошено односторонніми. Аліса не має інформації про напрямки доріг, але Червовий Король запропонував їй допомогти. Їй дозволено ставити йому низку запитань. У кожному запитанні по черзі Аліса обирає пару міст, а Червовий Король повідомляє їй напрямок дороги, що з'єднує ці два міста. Аліса хоче дізнатися, чи існує хоча б одне місто в Дивокраї з не більш ніж однією вихідною дорогою. Доведіть, що вона завжди може це з'ясувати, поставивши не більше ніж 4n4 n запитань.
10–11 класиОрієнтовані графи

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.