Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-025

Пошук дня народження Оленки за діалогом

Перед олімпіадою з математики Дмитро почув діалог Оленки та Миколи про їхні дні народження. Оленка. Число та номер місяця мого дня народження вдвічі менші за відповідні число та номер місяця дня народження Миколи. Микола. А число, коли народилась Оленка, і номер місяця мого дня народження є послідовними натуральними числами. Оленка. А сума всіх цих чотирьох чисел кратна 1717. Чи зможе Дмитро знайти число та місяць народження Оленки?
9 класМетод оцінок, що веде до малого п…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-026

Дії з трійками чисел і майже рівні числа

Рома написав на дошці 100100 разів кожне із чисел 20182018, 20192019, 20202020. Позначимо через S(n)S(n) суму цифр натурального числа nn. За одну дію Рома може вибрати довільне натуральне число kk і замість будь-яких трьох чисел aa, bb, cc, що написані на дошці, написати числа 2S(a+b)+k2S(a+b)+k, 2S(b+c)+k2S(b+c)+k і 2S(c+a)+k2S(c+a)+k. Чи може Рома за кілька таких дій досягти того, щоб 299299 чисел на дошці були рівними, а останнє відрізнялося від них на 11?
9 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-028

Розфарбування чисел від 1 до 2021 і кількість кольорів

Задано натуральне число kk і не обов'язково різні натуральні числа a1,a2,a3,…,aka_1, a_2, a_3, \ldots, a_k. Розфарбували всі натуральні числа від 11 до 20212021 в один із kk кольорів так, щоб було рівно a1a_1 чисел першого кольору, a2a_2 чисел другого кольору,..., aka_k чисел kk-го кольору. У разі такого розфарбування завжди знайдеться таке число x∈{1,2,…,2021}x \in \{1, 2, \ldots, 2021\}, що всього чисел, пофарбованих у колір, що збігається з кольором числа xx, є рівно xx. Чому може дорівнювати число kk за таких умов?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-030

Учні з трьома і шістьма друзями в класі

У класі навчалася непарна кількість школярів. Кожний із них мав принаймні одного друга поміж учнів свого класу. Крім того, у будь-яких двох однокласників, що мають спільного друга, кількість друзів різна. а) Чи завжди в класі є учень, що має рівно трьох друзів? б) Чи завжди в класі є учень, що має рівно шість друзів?
9 класСтепені вершин
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-039

Числа 1–12 по периметру квадрата з рівними сумами

Клітинки 1×11 \times 1, що розташовані по периметру квадрата 4×44 \times 4, заповнено числами 11, 22, …\ldots, 1212 так, що суми чисел уздовж кожної із чотирьох сторін рівні. У лівій верхній кутовій клітинці стоїть число 11, у правій верхній — число 55, а в правій нижній — число 1111 (рис. 2.3). Яке число за таких умов може бути розташованим в останній, лівій нижній кутовій клітинці?
10 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-052

Найбільша кількість косих коней без взаємних атак

Фігура косий кінь, що розташована на чорному полі шахівниці 8×88 \times 8 (рис. 2.4), атакує всі сірі клітинки. Яку найбільшу кількість таких косих коней можна виставити на шахівницю, щоб вони не атакували один одного?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-007

Турнір чотирьох команд і кількість нічийних ігор

Чотири команди зіграли в декілька кіл турнір, тобто кожна команда зіграла з кожною іншою однакову кількість зустрічей. За перемогу нараховували 33 очки, за нічию кожна команда отримувала 11 очко, за поразку очок не нараховували. Разом усі команди набрали 4646 очок. Чи можна з’ясувати, скільки ігор завершилися внічию?
7 класМетод оцінок, що веде до малого п…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-020

Гра з діленням числа 2021! на добуток простих

На дошці записано число 2021!=1⋅2⋅3⋅…⋅20212021! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2021. Олеся та Андрій грають у гру, роблячи ходи по черзі (розпочинає Олеся). Хід полягає в тому, що гравець має поділити записане на дошці число на довільне число вигляду P=p1p2…pkP = p_1 p_2 \ldots p_k, яке складається з добутку декількох попарно різних простих чисел, і записати одержане число на дошці замість попереднього. Програє той, після чийого ходу на дошці буде записане неціле число. Хто виграє в цій грі, якщо кожен прагне перемогти?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-022

Односторонні шляхи між містами і повернення в місто

У країні деякі пари міст сполучено односторонніми залізничними шляхами, по яких потяги можуть рухатися лише в одному напрямку. Виявилося, що для будь-яких двох міст AA і BB існує принаймні два різних маршрути залізницею, на кожному з яких одне з міст, наприклад AA, є початком, а місто BB — кінцем маршруту. Доведіть, що існує місто, з якого можна виїхати та повернутися до нього залізницею.
8 класОрієнтовані графи
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-024

Найдовша замкнена ламана на сітці 8 × 8

Яку найбільшу довжину може мати замкнена ламана без самоперетинів, ланки якої розташовані по лініях сітки квадрата 8×88 \times 8 (і навіть по краю)?
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-032

Математики та гуманітарії на острові зі знайомствами

На острові живе 20212021 людина, кожна з них є математиком або гуманітарієм. Деякі мешканці острова знайомі одне з одним, при цьому кожен має принаймні одного знайомого. Відомо, що той, у кого знайомих математиків менше, ніж гуманітаріїв, завжди бреше, а всі інші завжди кажуть правду. Кожний мешканець острова стверджує, що з-поміж його знайомих рівно два гуманітарії. Доведіть, що хоча б одна людина має принаймні 44 знайомих.
9 класСтепені вершин
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-047

Пари чисел з A і B поза сумами C

Нехай AA — множина з nn різних чисел, BB — множина з nn різних чисел, CC — множина з (n−1)(n-1) різних чисел. Доведіть, що можна розбити числа з множин AA і BB на nn пар (у кожній з яких одне число з множини AA та одне число з множини BB) так, що сума чисел у кожної пари не належить множині CC.
10 класКласичні теореми теорії графів
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-049

Розфарбування дошки 2021 × 2021 з різними рядками і стовпцями

Скількома способами можна розфарбувати клітинки дошки розміром 2021×20212021 \times 2021 у жовтий і синій кольори так, щоб справджувалася умова: кожні два рядки мають різну кількість синіх клітинок, а кожні два стовпці — різну кількість жовтих клітинок?
10 класРекурентний підрахунок
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-060

Перетворення відсортованого масиву з відніманням індексів

Дано натуральне число NN і відсортований масив цілих чисел A0=[a1,a2,…,aN]A^0=[a_1, a_2, \ldots, a_N], для яких виконується умова 0=a1⩽a2⩽…⩽aN⩽N0=a_1 \leqslant a_2 \leqslant \ldots \leqslant a_N \leqslant N. Масив Ai+1A^{i+1} отримують з масиву AiA^i так: для кожного jj від 11 до NN від jj-го елемента AiA^i віднімають jj, отриманий масив сортують знову в порядку неспадання, після чого до всіх чисел додають деяку константу так, щоб мінімальне число в масиві стало рівним 00 — отриманий масив є масивом Ai+1A^{i+1}. Наприклад: A0=[0,0,1,2]→[−1,−2,−2,−2]→[−2,−2,−2,−1]→A1=[0,0,0,1]→[−1,−2,−3,−3]→[−3,−3,−2,−1]→A2=[0,0,1,2].A^0=[0, 0, 1, 2] \to [-1, -2, -2, -2] \to [-2, -2, -2, -1] \to A^1=[0, 0, 0, 1] \to [-1, -2, -3, -3] \to [-3, -3, -2, -1] \to A^2=[0, 0, 1, 2]. Доведіть, що для i⩾N−1i \geqslant N-1 справджується умова Ai=Ai+2A^i=A^{i+2}.
11 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-062

Максимальна кількість купок по 2021 камінцю

Маємо nn купок, кожна з яких містить по 20212021 камінцю. Маси камінців дорівнюють одному із чисел 1,2,…,251, 2, \ldots, 25, при цьому загальна маса кожної купки камінців різна. Відомо, що коли взяти дві довільні купки та забрати з кожної із них найважчий і найлегший камінці, то купка, що була перед тим важчою, стане легшою. Для якого максимального nn це можливо?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-064

Слова довільної довжини без поганого розрізу

Абетка племені которас складається з 1111 букв. Відомо, що для довільного натурального kk є рівно п'ять kk-буквених поганих слів у мові цього племені. Доведіть, що мовою которас можна придумати слово з довільної кількості букв, яке не можна розрізати на два менших слова, з яких хоча б одне буде поганим.
8 класЖадібний алгоритм
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-071

Гра з двома купами камінців починає Богдан

Олексій і Богдан грають у гру з двома купами камінців. На початку одна з куп містить 20212021 камінець, а друга — порожня. За один хід кожен із хлопців має забрати парну кількість камінців (більшу за нуль) з довільної купи, після чого перекласти половину з узятих камінців до іншої купи, а другу половину вилучити з гри. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто переможе в цій грі, якщо обидва гравці прагнуть перемогти, а починає Богдан?
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-068

Промінь світла у квадраті з дзеркальними квадратиками

Дано квадрат 2021×20212021\times 2021 із дзеркальною внутрішньою межею, у якому 20202020 квадратиків 1×11\times 1 мають дзеркальну зовнішню межу, а всі інші квадратики мають прозорі межі. Вибирають довільний кут α∈(0∘,90∘)\alpha\in(0^\circ, 90^\circ). Промінь світла проходить без зміни напрямку крізь прозору межу та відбивається за законом відбивання світла, коли потрапляє на дзеркальну межу. При цьому, якщо промінь потрапляє точно в кут дзеркального квадратика, то він відбивається так само, як від горизонтальної сторони квадратика (рис. 4.1). Доведіть, що з деякої точки нижньої сторони квадрата можна випустити промінь світла, що утворює вибраний кут α\alpha із цією стороною (таких променів є два) так, щоб світло дійшло до верхньої сторони квадрата.
8 класПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-069

Почергова розстановка чисел від 1 до n у таблиці

Андрій і Богдан по черзі розставляють числа від 11 до nn у клітинках таблиці n×nn \times n так, щоб у жодному рядку та стовпці не було двох рівних чисел. Андрій ходить першим, а програє той, хто не зможе зробити хід. Хто, залежно від nn, має виграшну стратегію?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-077

Найменший час групування дітей за регіонами

На Всеукраїнську олімпіаду з математики приїхали 100100 дітей із 1010 регіонів України, по 1010 дітей із кожного. На відкритті вони вишикувалися в один ряд на сцені, але не всі діти з одного регіону стояли підряд. Двох сусідніх дітей із різних регіонів можна поміняти місцями за 11 секунду. За який найменший час можна гарантовано зробити так, щоб діти вишикувалися за регіонами (регіони можуть іти в довільному порядку)?
9 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-083

Розбиття індексів послідовності на пари з різними значеннями

Послідовність a1,a2,…,a2na_1, a_2, \ldots, a_{2n} цілих чисел така, що кожне число трапляється в ній не більше ніж nn разів. Доведіть, що існують дві строго зростаючі послідовності індексів b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n і c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n такі, що кожне натуральне число з множини {1,2,…,2n}\{1, 2, \ldots, 2n\} трапляється рівно в одній із цих двох послідовностей і для кожного 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n справджується умова abi≠acia_{b_i} \neq a_{c_i}.
10 класКонструкція за індукцією
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-084

φ(n)+1 дільників числа n із сумою n

Дано натуральне число nn. Доведіть, що можна вибрати φ(n)+1\varphi(n)+1 (не обов’язково різних) дільників числа nn із сумою nn. Примітка. Тут φ(n)\varphi(n) позначає кількість натуральних чисел, менших від nn, що є взаємно простими з nn.
10 класФункція Ейлера φ(n)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-090

Найбільша сумарна маса 101 гирі з умовою розбиття

Є 101101 гиря, не обов’язково різні. Масу кожної з них виражено цілим числом грамів — від 11 г до 20202020 г. Відомо, що в разі будь-якого розбиття цих гир на дві купи сумарна маса принаймні однієї з куп не перевищує 20202020 г. Яким найбільшим числом можна виразити (у грамах) сумарну масу 101101 гирі?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-19-20-023

Заповнення квадратів 2n×2n та 3n×3n фігурками 1×2 та 1×3

Нехай натуральне n⩾2n \geqslant 2. Покажіть, що кількість різних заповнень квадрата 2n×2n2n \times 2n фігурками 1×21 \times 2 менша від кількості заповнень квадрата 3n×3n3n \times 3n фігурками 1×31 \times 3. Примітка. Заповнення потрібно робити щільно та без накладань.
10 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-19-20-032

Найбільша кількість різних додатних чисел з умовою

Знайдіть найбільше можливе натуральне nn, для якого існують nn таких попарно різних додатних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, що для всіх 1⩽i,j⩽n1 \leqslant i, j \leqslant n задовольняють умову (3xi−xj)(xi−3xj)⩾(1−xixj)2.(3x_i - x_j)(x_i - 3x_j) \geqslant (1 - x_i x_j)^2.
11 класТригонометричні заміни

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.