Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

644 задачі
Теорія чиселМетод математичної індукції
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-028

Множина з одиницею, квадратами і числом √2001 + 2002

Множина AA задовольняє три такі умови: а) 1∈A1 \in A; б) якщо x∈Ax \in A, то й x2∈Ax^2 \in A; в) якщо (x−2)2∈A(x - 2)^2 \in A, то й x∈Ax \in A. Доведіть, що 2001+2002∈A\sqrt{2001} + 2002 \in A.
Метод математичної індукції
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-002

Зростаюча послідовність з квадратними приростами сум

Для довільного натурального nn визначимо величину s(n)=1+2+…+ns(n)=1+2+\ldots+n. Строго зростаюча послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задовольняє такі умови: a1=1a_1=1, для кожного натурального nn an+1=min⁡{m∣s(m)−s(an) є точним квадратом цілого числа}.a_{n+1}=\min\{m \mid s(m)-s(a_n) \text{ є точним квадратом цілого числа}\}. Знайдіть величину a2024a_{2024}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-013

Нескінченна послідовність простих чисел з умовою 2p ± 1

Доведіть, що не існує нескінченної послідовності простих чисел p0,p1,p2,…p_0, p_1, p_2, \ldots, що для довільного натурального kk справджується умова: pk=2pk−1+1p_k = 2p_{k-1}+1 або pk=2pk−1−1p_k = 2p_{k-1}-1.
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-004

Взаємно прості числа по колу, що ділять суми сусідів

Аня хоче розставити по колу n⩾3n \geqslant 3 попарно різних натуральних чисел, які в сукупності взаємно прості. Вона прагне досягти того, щоб кожне число ділило суму двох сусідніх. Доведіть, що Аня має не більше ніж (n−1)!2\dfrac{(n-1)!}{2} способів зробити це. Примітка. Способи, що відрізняються один від одного поворотом чи симетрією, уважаємо однаковими.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-011

Максимальна кількість гострокутних трикутників на двох прямих

На двох горизонтальних прямих вибрано n=2m+1n = 2m + 1 точка A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n. Ці nn точок відмічено на заданих прямих таким чином, щоб серед усіх трикутників із вершинами в цих точках AiAjAkA_iA_jA_k, 1⩽i<j<k⩽n1 \leqslant i < j < k \leqslant n, утворилася максимальна кількість гострокутних трикутників. Скільки гострокутних трикутників при цьому утворилося? Примітка. Вироджені трикутники, тобто трикутники, у яких усі три вершини лежать на одній прямій, не враховуємо.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-005

Перестановка дільників числа з квадратними частковими сумами

Знайдіть усі натуральні числа nn, якщо існує така перестановка (d1,d2,…,dk)(d_1, d_2, \ldots, d_k) усіх натуральних дільників числа nn, що для будь-якого i=1, 2, …, ki = 1,\ 2,\ \ldots,\ k число d1+…+did_1 + \ldots + d_i є точним квадратом.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-009

Перестановка різних чисел і подільність зваженої суми на n

Знайдіть усі такі натуральні числа n⩾2n \geqslant 2, що для будь-якої групи з nn попарно різних натуральних чисел, сума яких не ділиться на nn, існує така перестановка цих чисел (a1,…,an)(a_1, \ldots, a_n), що nn ділить суму 1⋅a1+2⋅a2+…+n⋅an1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 + \ldots + n \cdot a_n.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-011

Рекурентна послідовність та порівняння членів з половиною

Дано таку послідовність чисел a0,a1,…,a2022a_0, a_1, \ldots, a_{2022}, що a0=1a_0 = 1 та для всіх n∈{0,1,2,…,2021}n \in \{0, 1, 2, \ldots, 2021\} справджується умова an+1=an−an22022a_{n+1} = a_n - \frac{a_n^2}{2022}. Доведіть, що a2021>12>a2022a_{2021} > \frac{1}{2} > a_{2022}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-005

Неперетинні круги, точки в них і сума відстаней

На площині намальовано n⩾6n \geqslant 6 кругів D1,D2,…,DnD_1, D_2, \ldots, D_n, які попарно не перетинаються, з відповідними радіусами R1⩾R2⩾…⩾RnR_1 \geqslant R_2 \geqslant \ldots \geqslant R_n. Для кожного i=1,2,…,ni = 1, 2, \ldots, n точку PiP_i вибрано всередині або на межі круга DiD_i. Нехай OO — довільна точка в цій площині. Доведіть, що справджується нерівність OP1+OP2+…+OPn⩾R6+R7+…+Rn.OP_1 + OP_2 + \ldots + OP_n \geqslant R_6 + R_7 + \ldots + R_n.
10–11 класиІнші нерівності в геометрії
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-007

Матчі команд з однаковими очками та очки переможниці

Сто волейбольних команд узяли участь у турнірі, у якому кожна команда зіграла з кожною іншою рівно 11 раз, причому всі матчі були зіграні в різний час. Виявилося, що в кожному матчі зустрічалися команди, які на той момент мали однакову кількість очок. Яку найбільшу кількість очок могла набрати команда — переможниця турніру? Примітка. У волейболі за перемогу команді нараховують 11 очко, за поразку — 00 очок, а нічиїх не буває.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-010

Стала в нерівності з коренем і квадратом різниці

Дано натуральне число nn. Нехай N=2nN=2^n. Знайдіть найменше дійсне число ana_n таке, що для всіх дійсних чисел xx справджується нерівність x2N+12N⩽an(x−1)2+x.\sqrt[N]{\frac{x^{2N}+1}{2}} \leqslant a_n(x-1)^2+x.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-010

Учні за круглим столом та обміни неворогуючих сусідів

Деякі пари учнів школи Row у сварці. Але яка б підгрупа учнів цієї школи не була (де є хоча б 33 учні) і як би ми її не посадили за круглий стіл, завжди знайдеться пара сусідніх учнів, які не ворогують між собою. Першого вересня всіх учнів школи всадили за величезний круглий стіл. Якщо два сусіди не у сварці, то вони можуть помінятися місцями. Доведіть, що завдяки таким операціям учні зможуть сісти в будь-якому порядку. Примітка. Уважаємо однаковими порядки, що відрізняються поворотом круглого столу (місця за ним можуть змінюватися, проте діти залишаються сидіти так само одне відносно одного).
10–11 класиДерева
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-004

Максимальна кількість прямокутних трикутників з вершинами в n точках

Нехай f(n)f(n) позначає максимальну кількість прямокутних трикутників з вершинами в nn точках. Доведіть, що f(n)⩽n2nf(n) \leqslant n^2 \sqrt{n}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-018

Додатні числа з умовою на максимум і гострокутний трикутник

Знайдіть усі натуральні n⩾3n \geqslant 3 такі, що серед довільних nn додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, за умови max⁡(a1,a2,…,an)⩽nmin⁡(a1,a2,…,an)\max(a_1, a_2, \ldots, a_n) \leqslant n \min(a_1, a_2, \ldots, a_n), існують попарно різні індекси i,j,ki, j, k, для яких ai,aj,aka_i, a_j, a_k — сторони гострокутного трикутника.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-016

Рекурентна послідовність і сума перших n членів

Послідовність (an)(a_n) додатних дійсних чисел при довільному натуральному kk задовольняє умову ak+1=kakak2+(k−1)a_{k+1}=\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)}. Доведіть, що a1+a2+…+an⩾na_1+a_2+\ldots+a_n\geqslant n для кожного натурального n⩾2n\geqslant 2.
7–9 класиСуми послідовностей
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-020

Міста на прямій та бульдозери, що руйнують

У країні Лінландії n⩾1n \geqslant 1 міст, що розташовані на прямій лінії зліва направо. У кожному місті є два бульдозери: лівий, що знаходиться на лівому краю міста й спрямований уліво, і правий, що знаходиться на правому краю міста й спрямований управо. Довільні два з 2n2n бульдозерів мають різні розміри. У довільний момент часу, коли лівий і правий бульдозери зустрічаються на шляху, більший бульдозер зіштовхує менший з дороги. Проте, якщо деякий з бульдозерів (А) доганяє інший бульдозер (Б) ззаду, то перший з них (А) виштовхує з дороги другий (Б), незважаючи на їхні розміри. Нехай місто AA знаходиться ліворуч від міста BB. Будемо говорити, що місто AA може зруйнувати місто BB, якщо правий бульдозер міста AA може доїхати до міста BB, виштовхнувши при цьому з дороги всі бульдозери, які він зустрічає на своєму шляху. Аналогічно місто BB може зруйнувати місто AA, якщо лівий бульдозер міста BB може доїхати до міста AA, виштовхнувши всі бульдозери на своєму шляху. Доведіть, що існує рівно одне місто, яке не може бути зруйноване жодним іншим.
7–9 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-001

Три фішки на 6n+3-кутнику з лунками

Полем гри є вершини правильного 6n+36n + 3-кутника, які за рухом годинникової стрілки перенумеровані числами 11; 22; …\ldots; 6n+36n + 3. Вершини з номерами 2n+12n + 1; 4n+24n + 2; 6n+36n + 3 називаються лунками. На початку гри на полі розташовано 3 фішки. Два гравці за чергою вибирають будь-яку з трьох фішок та пересувають її в сусідню вершину за рухом годинникової стрілки, якщо та не зайнята іншою фішкою. Перший гравець перемагає, якщо принаймні дві з фішок після ходу будь-якого з гравців попадають у лунки. Чи завжди перший гравець може перемогти, якщо на початку гри фішки розставлені у вигляді правильного трикутника?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-012

Рівні відрізки в центрально-симетричній множині точок

На сторонах опуклого kk-кутника вибрали mm точок таким чином, що множина PP з n=m+kn = m + k точок (kk вершин многокутника і mm вибраних точок) центрально-симетрична. Нехай S(P)S(P) позначає максимальну кількість відрізків однакової довжини в множині PP. Доведіть, що максимальне значення, якого може набувати величина S(P)S(P) при фіксованому nn, дорівнює 2n−32n - 3.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-014

Найбільше число не сума чисел вигляду 2ⁿ − 2ᵏ

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. Нехай AnA_n позначає множину {2n−2k:k∈N, 0⩽k<n}.\{2^n-2^k : k\in\mathbb{N},\ 0\leqslant k<n\}. Знайдіть найбільше натуральне число, яке не можна подати у вигляді суми одного або більше (не обов’язково різних) чисел із множини AnA_n.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-015

Буси для друзів і ворогів з найменшою кількістю кольорів

На деякому острові проживає nn аборигенів. Кожна пара аборигенів або товаришує, або ворогує між собою. Одного дня вони отримали завдання виготовити собі буси з різнокольорових самоцвітів кількістю бусин від 00 і більше таким чином, щоб: - у кожної пари товаришів у бусах були самоцвіти однакового кольору; - у кожної пари ворогів самоцвітів однакового кольору не було. Яка найменша кількість кольорів має бути, щоб це можна було зробити для довільних відносин між жителями острова?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-014

Відношення сусідніх членів послідовності та раціональні числа

Визначимо послідовність {an}\{a_n\} таким чином: a0=1a_0 = 1, a2n+1=ana_{2n+1} = a_n і a2n+2=an+1+ana_{2n+2} = a_{n+1} + a_n для всіх n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що кожне раціональне число трапляється в множині A={an−1an  |  n∈N}.A = \left\{ \frac{a_{n-1}}{a_n} \;\middle|\; n \in \mathbb{N} \right\}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-001

Максимальна кількість раундів передачі карток по колу

Є 20102010 карток червоного та 20102010 карток білого кольорів. Усі ці 40204020 карток перемішуються та роздаються по дві випадковим чином кожному з 20102010 гравців, які сидять за круглим столом. Гра складається з декількох раундів, у кожному з яких гравці одночасно передають картки один одному за таким правилом. Якщо гравець має принаймні одну червону картку, він передає одну червону картку гравцю, що сидить ліворуч від нього, у противному разі він передає ліворуч одну білу картку. Гра закінчується після того раунду, коли в кожного з гравців виявляється по одній червоній та білій картці. Визначите максимально можливу кількість таких раундів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-012

Подання раціонального числа сумою n одиничних дробів

Чи існує натуральне число nn, для якого виконується така умова: для довільного раціонального rr існує ціле число bb і цілі числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що не дорівнюють нулю, і r=b+1a1+1a2+…+1an?r = b + \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}?
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-007

Періодичність послідовності графів зі спільними сусідами

На площині є граф Γ0\Gamma_0 з вершинами A1,A2,...,AnA_1, A_2, ..., A_n. Граф Γm+1\Gamma_{m+1} будується таким чином – у графі Γm\Gamma_m витираємо усі ребра, а нові ребра будуються за правилом: дві різні вершин AiA_i і AjA_j з'єднуються ребром тоді і тільки тоді, коли існує відмінна від них третя вершина AkA_k така, що AkA_k була одночасно зв'язана з AiA_i і AjA_j. Довести, що нескінченна послідовність (Γm)(\Gamma_m), m∈Nm \in N починаючи з деякого номера періодична з періодом T≤2nT \le 2^n.
10–11 класиЗв’язність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-012

Многочлен із біноміальними коефіцієнтами та дійсні корені

Довести, що для будь-яких натуральних m,nm, n многочлен ∑i=0mCn+in⋅xi\sum\limits_{i=0}^{m} C_{n+i}^{n} \cdot x^i має не більше одного дійсного кореня.
10–11 класиМетод математичної індукції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.