Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

339 задач
АлгебраМетод заміни змінних
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-073

Три комплексні числа і добуток зі зсувом на 3

Комплексні числа x,y,zx, y, z задовольняють xyz=−4(x+1)(y+1)(z+1)=7(x+2)(y+2)(z+2)=−3\begin{aligned} x y z & = -4 \\ (x+1)(y+1)(z+1) & = 7 \\ (x+2)(y+2)(z+2) & = -3 \end{aligned} Знайдіть з доведенням значення (x+3)(y+3)(z+3)(x+3)(y+3)(z+3).
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-087

Циклотомічний добуток за модулем 101

Нехай z=e2πi101z = e^{\frac{2\pi i}{101}} і ω=e2πi10\omega = e^{\frac{2\pi i}{10}}. Доведіть, що ∏a=09∏b=0100∏c=0100(ωa+zb+zc)\prod_{a=0}^{9} \prod_{b=0}^{100} \prod_{c=0}^{100} \left(\omega^{a} + z^{b} + z^{c}\right) є цілим числом, і знайдіть (з доведенням) його остачу від ділення на 101101.
10–11 класиМногочлени ділення кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-130

Дотична до множини з коренем

Нехай G\mathcal{G} — множина всіх точок (x,y)(x, y) на декартовій площині таких, що 0≤y≤80 \leq y \leq 8 і (x−3)2+31=(y−4)2+8y(8−y)(x-3)^{2}+31=(y-4)^{2}+8 \sqrt{y(8-y)} Існує єдина пряма ℓ\ell з від'ємним кутовим коефіцієнтом, дотична до множини G\mathcal{G}, що проходить через точку (0,4)(0,4). Припустимо, що ℓ\ell дотикається до множини G\mathcal{G} в єдиній точці PP. Знайдіть координати (α,β)(\alpha, \beta) точки PP.
10–11 класиЗаміни в виразах з радікалами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-042

Корені многочлена п'ятого степеня

Знайдіть усі корені многочлена x5−5x4+11x3−13x2+9x−3x^{5}-5 x^{4}+11 x^{3}-13 x^{2}+9 x-3.
10–11 класиЛінійні заміни (зведення до нуля,…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-057

Сума квадратів коренів многочлена

Знайдіть суму квадратів усіх різних комплексних чисел xx, що задовольняють рівняння 0=4x10−7x9+5x8−8x7+12x6−12x5+12x4−8x3+5x2−7x+40 = 4 x^{10} - 7 x^{9} + 5 x^{8} - 8 x^{7} + 12 x^{6} - 12 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x + 4
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-002

Зважені вектори з сумою обернених відстаней

Зафіксуймо натуральні числа mm і nn. Нехай a1,a2,…,ama_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m} — дійсні числа, а попарно різні вектори v1,…,vm∈Rnv_{1}, \ldots, v_{m} \in \mathbb{R}^{n} задовольняють ∑j≠iajvj−vi∥vj−vi∥3=0\sum_{j \neq i} a_{j} \frac{v_{j}-v_{i}}{\left\|v_{j}-v_{i}\right\|^{3}}=0 для i=1,2,…,mi=1,2, \ldots, m. Доведіть, що ∑1≤i<j≤maiaj∥vj−vi∥=0\sum_{1 \leq i<j \leq m} \frac{a_{i} a_{j}}{\left\|v_{j}-v_{i}\right\|}=0
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-111

Сума дійсних коренів рівняння четвертого степеня

Знайдіть суму всіх дійсних чисел xx, таких, що 5x4−10x3+10x2−5x−11=05 x^{4}-10 x^{3}+10 x^{2}-5 x-11=0.
10–11 класиЗаміни, породжені симетрією2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-104

Найменше значення ординати на параболі

Розглянемо параболу, що складається з точок (x,y)(x, y) дійсної площини, які задовольняють (y+x)=(y−x)2+3(y−x)+3.(y+x) = (y-x)^2 + 3(y-x) + 3. Знайдіть найменше можливе значення yy.
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-028

Мінімальний многочлен для виразу з кубічними коренями

Знайдіть ненульовий монічний многочлен P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами найменшого степеня такий, що P(1−23+43)=0P(1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) = 0. (Многочлен називається монічним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює 1.)
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-004

Кубічне рівняння з коренем у цілих числах

Знайдіть усі пари (x,y)(x, y) цілих чисел, які задовольняють рівняння 7x2−13xy+7y23=∣x−y∣+1\sqrt[3]{7 x^{2}-13 x y+7 y^{2}} = |x-y| + 1
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-022

Діофантове рівняння з різними показниками степенів

Доведіть, що рівняння a3+b5+c7+d11=e13a^{3}+b^{5}+c^{7}+d^{11}=e^{13} має нескінченно багато розв’язків у натуральних числах.
8–10 класиЗаміни в однорідних виразах
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-054

Степені з цілими сумами

1) Нехай aa і bb — два дійсні числа такі, що an+bna^{n}+b^{n} є цілим числом при n=1,2,3,4n=1,2,3,4. Доведіть, що an+bna^{n}+b^{n} є цілим числом для всіх n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}. 2) Чи правда, що якщо aa і bb — два дійсні числа такі, що an+bna^{n}+b^{n} є цілим числом при n=1,2,3n=1,2,3, то an+bna^{n}+b^{n} є цілим числом для всіх n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}?
9–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-120

Симетричні суми степенів комплексних чисел

Нехай xx, yy — комплексні числа такі, що x2+y2x+y=4\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}=4 і x4+y4x3+y3=2\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}=2. Знайдіть усі можливі значення x6+y6x5+y5\frac{x^{6}+y^{6}}{x^{5}+y^{5}}.
10–11 класиЗаміни, породжені симетрією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-028

Сума квадратів дорівнює 9364

Відомо, що 622+1222=1872862^{2} + 122^{2} = 18728. Знайдіть натуральні числа (n,m)(n, m) такі, що n2+m2=9364n^{2} + m^{2} = 9364.
10–11 класиЗаміни, породжені симетрією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-053

Максимізація суми при обмеженні на площу

Нехай a,ba, b — додатні дійсні числа, причому a>b>12aa > b > \frac{1}{2} a. Два квадрати з довжинами сторін a,ba, b поставлено поруч так, щоб більший квадрат мав лівий нижній кут у точці (0,0)(0,0), а менший квадрат — лівий нижній кут у точці (a,0)(a, 0). Через точки (0,a)(0, a) і (a+b,0)(a+b, 0) проведено пряму. Частина двох квадратів, яка лежить вище цієї прямої, має площу 20132013. Якщо (a,b)(a, b) — єдина пара, що максимізує a+ba+b, обчисліть ab\frac{a}{b}.
10–11 класиЧислові нерівності
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-011

Обмеження на відношення добутків членів послідовності

Нехай a1,a2,…a_1, a_2, \dots — нескінченна послідовність різних ненульових дійсних чисел, для якої ai+1ai+ai+1ai+2\frac{a_{i+1}}{a_i} + \frac{a_{i+1}}{a_{i+2}} набуває одного й того самого значення, що лежить між 0 і 2, для кожного i≥1i \ge 1. Виразіть через a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 найменше число cc, яке задовольняє таку умову: Умова: для будь-якої пари натуральних чисел x,yx, y з x<yx < y, axax+1+ax+1ax+2+⋯+ay−1ayaxay≤cвиконується.\frac{a_x a_{x+1} + a_{x+1} a_{x+2} + \dots + a_{y-1} a_y}{a_x a_y} \le c \quad \text{виконується.}
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-018

Сума з кубічною умовою

Нехай xx і yy — додатні дійсні числа такі, що x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 і (3x−4x3)(3y−4y3)=−12(3x - 4x^{3})(3y - 4y^{3}) = -\frac{1}{2}. Обчисліть x+yx + y.
10–11 класиТригонометричні заміни
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-140

Квадратична рекурента з умовами монотонності

Нехай f(x)=x2−r2x+r3f(x) = x^{2} - r_{2} x + r_{3} для всіх дійсних чисел xx, де r2r_{2} і r3r_{3} — деякі дійсні числа. Визначимо послідовність {gn}\{g_{n}\} для всіх невід'ємних цілих чисел nn рівностями g0=0g_{0} = 0 і gn+1=f(gn)g_{n+1} = f(g_{n}). Припустимо, що {gn}\{g_{n}\} задовольняє такі три умови: (i) g2i<g2i+1g_{2i} < g_{2i+1} і g2i+1>g2i+2g_{2i+1} > g_{2i+2} для всіх 0≤i≤20110 \leq i \leq 2011; (ii) існує натуральне число jj таке, що gi+1>gig_{i+1} > g_{i} для всіх i>ji > j; (iii) {gn}\{g_{n}\} необмежена. Якщо AA — найбільше число таке, що A≤∣r2∣A \leq |r_{2}| для будь-якої функції ff, яка задовольняє ці властивості, знайдіть AA.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-095

Симетричні суми з експоненціальними вагами

Нехай ex+ey=Axex+yey=Bx2ex+y2ey=Cx3ex+y3ey=Dx4ex+y4ey=E.\begin{gathered} e^{x}+e^{y}=A \\ x e^{x}+y e^{y}=B \\ x^{2} e^{x}+y^{2} e^{y}=C \\ x^{3} e^{x}+y^{3} e^{y}=D \\ x^{4} e^{x}+y^{4} e^{y}=E . \end{gathered} Доведіть, що якщо A,B,CA, B, C і DD раціональні, то EE також раціональне.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-132

Симетрична система з комплексними параметрами

Нехай aa, bb, cc, xx, yy і zz — комплексні числа, такі, що a=b+cx−2,b=c+ay−2,c=a+bz−2.a = \frac{b+c}{x-2}, \quad b = \frac{c+a}{y-2}, \quad c = \frac{a+b}{z-2}. Якщо xy+yz+zx=67xy + yz + zx = 67 і x+y+z=2010x + y + z = 2010, знайдіть значення xyzxyz.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-135

Кубічні многочлени з симетрією композиції

Нехай p(x)p(x) і q(x)q(x) — два кубічні многочлени такі, що p(0)=−24p(0) = -24, q(0)=30q(0) = 30, і p(q(x))=q(p(x))p(q(x)) = q(p(x)) для всіх дійсних чисел xx. Знайдіть впорядковану пару (p(3),q(6))(p(3), q(6)).
10–11 класиОборотні функції
Відбіркові тести на IMOTST-2010-029

Симетричний многочлен через підстановку

Нехай PP — дійсний многочлен, такий, що для всіх дійсних xx виконується рівність P(x)=P(1−x)P(x)=P(1-x). Доведіть, що існує дійсний многочлен QQ такий, що P(x)=Q(x(1−x))P(x)=Q(x(1-x))
10–11 класиЗаміни, породжені симетрією3 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-026

Чи можна розставити дев'ять послідовних чисел у таблицю з рівними сумами

Розмістіть числа 663,664,665,666,667,668,669,670663, 664, 665, 666, 667, 668, 669, 670 і 671671, без повторень, у таблицю 3×33 \times 3 так, щоб сума в кожному рядку, у кожному стовпці та в кожній діагоналі дорівнювала 20012001. Якщо це неможливо, обґрунтуйте свою відповідь.
10–11 класиЛінійні заміни (зведення до нуля,…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-147

Первісна від вкладених синусів

Диференційовна функція F:R→RF: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} задовольняє F(0)=−1F(0) = -1 і ddxF(x)=sin⁡(sin⁡(sin⁡(sin⁡(x))))⋅cos⁡(sin⁡(sin⁡(x)))⋅cos⁡(sin⁡(x))⋅cos⁡(x)\frac{d}{d x} F(x) = \sin (\sin (\sin (\sin (x)))) \cdot \cos (\sin (\sin (x))) \cdot \cos (\sin (x)) \cdot \cos (x) Знайдіть F(x)F(x) як функцію від xx.
10–11 класиТригонометричні заміни
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-148

Експонента інтеграла від раціональної функції

Обчисліть eAe^{A}, де AA визначено як ∫3/44/32x2+x+1x3+x2+x+1dx\int_{3 / 4}^{4 / 3} \frac{2 x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}+x+1} d x
10–11 класиРаціональні функції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.