Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-017

Ортоцентр і колінеарність відбиттів

Нехай ABCABC — трикутник, а HH — його ортоцентр. Нехай PP — довільна точка відрізка BCBC. Доведіть, що HH лежить на прямій, що проходить через точки, симетричні точці PP відносно прямих ABAB і ACAC, тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC прямокутний.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-018

Шестикутник з перпендикулярними діагоналями

Нехай ABCDEFABCDEF — опуклий шестикутник, у якому AB=AFAB = AF, BC=CDBC = CD, DE=EFDE = EF і ∠ABC=∠EFA=90∘\angle ABC = \angle EFA = 90^\circ. Доведіть, що AD⊥CEAD \perp CE.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-019

Рівносторонній трикутник з вписаного чотирикутника

Нехай XX, YY — точки на сторонах ABAB, ACAC трикутника ABCABC відповідно, такі, що BB, CC, XX, YY лежать на одному колі. Медіана трикутника ABCABC, проведена з AA, перетинає серединний перпендикуляр до відрізка XYXY у точці PP. Знайдіть ∠BAC\angle BAC, якщо трикутник PXYPXY — рівносторонній.
10–11 класиАнтипаралельні прямі
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-020

Три прямі перетинаються в одній точці — трикутник рівнобедрений

Коло з центром OO проходить через вершини BB і CC трикутника ABCABC і вдруге перетинає відрізки ABAB і ACAC у точках C1C_1 і B1B_1 відповідно. Прямі AOAO, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в одній точці. Доведіть, що трикутник ABCABC рівнобедрений.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-021

Середина відрізка MN у прямокутному трикутнику

ACAC — гіпотенуза прямокутного трикутника ABCABC, BHBH — його висота. Точки MM і NN — середини відрізків AHAH і CHCH відповідно. Прямі BMBM і BNBN вдруге перетинають описане коло трикутника ABCABC у точках PP і QQ відповідно. Відрізки AQAQ і CPCP перетинаються в точці RR. Доведіть, що пряма BRBR проходить через середину відрізка MNMN.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-022

Ворожі многокутники та опуклість

Нехай n≥4n \ge 4, і розглянемо nn-кутник P1P2...PnP_1P_2...P_n без самоперетинів на площині. Припустимо, що для кожної вершини PkP_k існує єдина інша вершина QkQ_k серед P1,...,PnP_1, ..., P_n, найближча до неї. Многокутник називається ворожим, якщо Qk≠Pk±1Q_k \ne P_{k \pm 1} для всіх kk (індекси вважаються циклічними). a. Доведіть, що не існує опуклих ворожих многокутників. b. Знайдіть усі nn, для яких існує вгнутий ворожий nn-кутник.
10–11 класиНерівність трикутника
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-003

Бісектриси кутів DAB та CXB і пряма BC

Нехай трикутник ABCABC з інцентром у точці II такий, що ∠CAB>∠ABC\angle CAB > \angle ABC. Нехай точка DD на відрізку BCBC така, що ∠CAD=∠ABC\angle CAD = \angle ABC. Нехай коло ww дотикається до сторони ACAC у точці AA та проходить через інцентр II. Нехай точка XX є другою точкою перетину кола ww та описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що бісектриси кутів DABDAB та CXBCXB перетинаються в точці, що належить прямій BCBC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-004

Пряма через точки на сторонах і вписане коло трикутника

Нехай трикутник ABCABC має інцентр у точці II. Коло, що проходить через точку BB та дотикається до прямої AIAI в точці II, перетинає сторону ABAB удруге в точці PP. Коло, що проходить через точку CC та дотикається до прямої AIAI в точці II, перетинає сторону ACAC удруге в точці QQ. Доведіть, що пряма PQPQ є дотичною до вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиДотична кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-002

Точки на чевіанах трикутника на одному колі

У трикутнику ABCABC точка A1A_1 лежить на відрізку BCBC, а точка B1B_1 — на відрізку ACAC. Нехай точки PP і QQ вибрано на відрізках AA1AA_1 та BB1BB_1 відповідно так, що пряма PQ∥ABPQ \parallel AB. Точку P1P_1 вибрано на прямій PB1PB_1 так, що точка B1B_1 розміщується строго між точками PP і P1P_1, при цьому ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C = \angle BAC. Аналогічно точку Q1Q_1 вибрано на прямій QA1QA_1 так, що точка A1A_1 розміщується строго між точками QQ і Q1Q_1, при цьому ∠QQ1C=∠CBA\angle QQ_1C = \angle CBA. Доведіть, що точки PP, QQ, P1P_1 і Q1Q_1 належать одному колу.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-006

Перетин прямих DI і PQ на перпендикулярі до AI

Нехай точка II — центр вписаного кола гострокутного трикутника ABCABC та AB≠ACAB \neq AC. Вписане коло ww трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC і ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до прямої EFEF, удруге перетинає коло ww у точці RR. Пряма ARAR удруге перетинає коло ww у точці PP. Описані кола трикутників PCEPCE та PBFPBF удруге перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі DIDI та PQPQ перетинаються на прямій, яка проходить через вершину AA перпендикулярно до прямої AIAI.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-005

Дотичні у точках перетину кола з трикутником

Нехай ABCABC — трикутник. Коло Γ\Gamma проходить через AA, перетинає відрізки ABAB і ACAC ще раз у точках DD і EE відповідно та перетинає відрізок BCBC у точках FF і GG так, що FF лежить між BB і GG. Дотична до кола BDFBDF у точці FF і дотична до кола CEGCEG у точці GG перетинаються в точці TT. Припустимо, що точки AA і TT різні. Доведіть, що пряма ATAT паралельна BCBC.
10–11 класиДотична кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-006

Рівні хорди двох вписаних кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD, EE і FF — основи висот, проведених з AA, BB і CC на сторони BCBC, CACA і ABAB відповідно. Позначимо через ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} вписані кола трикутників BDFBDF і CDECDE, і нехай ці кола дотикаються до відрізків DFDF і DEDE в точках MM і NN відповідно. Нехай пряма MNMN перетинає кола ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} вдруге в точках P≠MP \neq M і Q≠NQ \neq N відповідно. Доведіть, що MP=NQMP = NQ.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-007

Подвоєні відрізки чевіан і описане коло

Нехай PP — точка всередині трикутника ABCABC. Нехай пряма APAP перетинає сторону BCBC в точці A1A_{1}, нехай пряма BPBP перетинає сторону CACA в точці B1B_{1}, а пряма CPCP перетинає сторону ABAB в точці C1C_{1}. Нехай A2A_{2} — така точка, що A1A_{1} є серединою відрізка PA2PA_{2}, нехай B2B_{2} — така точка, що B1B_{1} є серединою відрізка PB2PB_{2}, а C2C_{2} — така точка, що C1C_{1} є серединою відрізка PC2PC_{2}. Доведіть, що точки A2,B2A_{2}, B_{2} і C2C_{2} не можуть усі лежати строго всередині описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-008

Точка п'ятикутника з рівними відстанями

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п’ятикутник, у якому CD=DEC D = D E і ∠EDC≠2⋅∠ADB\angle E D C \neq 2 \cdot \angle A D B. Припустимо, що точка PP розташована всередині п’ятикутника так, що AP=AEA P = A E і BP=BCB P = B C. Доведіть, що PP лежить на діагоналі CEC E тоді й лише тоді, коли area⁡(BCD)+area⁡(ADE)=area⁡(ABD)+area⁡(ABP)\operatorname{area}(B C D) + \operatorname{area}(A D E) = \operatorname{area}(A B D) + \operatorname{area}(A B P).
10–11 класиРозбиття і перекидання площ2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-013

Розбиття кутів многокутника на рівні суми

Нехай n>1n>1 — ціле число. Припустимо, що на площині дано 2n2n точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Ці точки треба позначити A1,A2,…,A2nA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2n} у деякому порядку. Далі розглянемо 2n2n кутів ∠A1A2A3,∠A2A3A4,…,∠A2n−2A2n−1A2n,∠A2n−1A2nA1,∠A2nA1A2\angle A_{1}A_{2}A_{3}, \angle A_{2}A_{3}A_{4}, \ldots, \angle A_{2n-2}A_{2n-1}A_{2n}, \angle A_{2n-1}A_{2n}A_{1}, \angle A_{2n}A_{1}A_{2}. Кожен кут вимірюємо так, щоб дістати найменше додатне значення (тобто між 0∘0^{\circ} і 180∘180^{\circ}). Доведіть, що існує таке впорядкування даних точок, що утворені 2n2n кутів можна розбити на дві групи так, щоб сума кутів однієї групи дорівнювала сумі кутів іншої групи.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок4 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-009

Хорда вписаного кола і кути описаного кола

Нехай II — центр вписаного кола гострокутного трикутника ABCA B C. Нехай вписане коло дотикається до сторін BCB C, CAC A і ABA B у точках DD, EE і FF відповідно. Нехай пряма EFE F перетинає описане коло трикутника в точках PP і QQ, причому FF лежить між EE і PP. Доведіть, що ∠DPA+∠AQD=∠QIP\angle D P A + \angle A Q D = \angle Q I P.
10–11 класиПоворотна гомотетія3 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2019-002

Чотирикутник з умовами подвоєння кутів

Чотирикутник ABCDABCD задовольняє умови ∠ACD=2∠CAB\angle ACD = 2 \angle CAB, ∠ACB=2∠CAD\angle ACB = 2 \angle CAD і CB=CDCB = CD. Доведіть, що ∠CAB=∠CAD\angle CAB = \angle CAD.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-002

Рівнобічна трапеція, середина діагоналі та дотичні до кіл

Дано рівнобічну трапецію ABCDABCD з основами ABAB і CDCD. Нехай точка EE — середина сторони ACAC, ω\omega та Ω\Omega — описані кола трикутників ABEABE та CDECDE відповідно. Точка PP — точка перетину дотичної до кола ω\omega у точці AA та дотичної до кола Ω\Omega у точці DD. Доведіть, що пряма PEPE дотикається до кола Ω\Omega.
10–11 класиДотична кола
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-004

Многокутник з рівно n різними тріангуляціями

Доведіть, що для довільного натурального числа nn існує многокутник (не обов'язково опуклий), жодні три вершини якого не лежать на одній прямій і для якого існує рівно nn різних тріангуляцій.
10–11 класиГеометричні приклади і контрприкл…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-011

Коло з рівними хордами і цілим діаметром

Точки AA, BB, CC, DD лежать на колі ω\omega у вказаному порядку, причому ADAD — діаметр кола ω\omega. Крім того, AB=BC=aAB = BC = a і CD=cCD = c для деяких взаємно простих натуральних чисел aa і cc. Доведіть, що якщо діаметр dd кола ω\omega також є цілим числом, то dd є повним квадратом або 2d2d є повним квадратом.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-012

Нерівність для радіусів описаного та вписаного кіл трикутника

Дано трикутник Δ\Delta з радіусом описаного кола RR та радіусом вписаного кола rr. Доведіть, що площа круга з радіусом R+rR + r принаймні у 5 разів більша за площу трикутника Δ\Delta.
10–11 класиІнші нерівності в геометрії
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-022

Точки перетину ліній решітки

Нехай MM — підмножина площини, яка має такі властивості: 1) Не існує жодної прямої kk, такої, що M⊂kM \subset k. 2) Для будь-якого паралелограма ABCDABCD, якщо A,B,C∈MA, B, C \in M, то D∈MD \in M. 3) Якщо A,B∈MA, B \in M, то ∣AB∣>1|AB| > 1. Доведіть, що існують дві сім’ї паралельних прямих такі, що MM — це множина, яка складається з усіх точок перетину прямих першої сім’ї з прямими другої сім’ї.
10–11 класиПаралельний перенос
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-013

Найбільша площа чотирикутника з прямим кутом

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має прямий кут при AA і для нього BC+CD=1BC + CD = 1. Знайдіть його найбільшу можливу площу.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-014

Коло з діаметром AH, дотичне до кола з центром у середині сторони

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, HH — його ортоцентр, а MM — середина сторони BCBC. Крім того, нехай k1k_1 і k2k_2 — відповідно коло з діаметром AHAH і коло з центром MM, яке дотикається до описаного кола трикутника ABCABC зсередини. Доведіть, що кола k1k_1 і k2k_2 дотикаються.
10–11 класиКола, що дотикаються
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-015

Описане коло, дотичне до даного кола

Нехай ω\omega — коло, а AA — точка поза колом ω\omega. З точки AA проведено дотичні до кола ω\omega; XX та YY — точки дотику. Нехай BB і CC — точки на відрізках AXAX і AYAY відповідно, такі, що периметр △ABC\triangle ABC дорівнює довжині відрізка AXAX. Нехай DD — точка, симетрична AA відносно прямої BCBC. Доведіть, що описане коло трикутника BDCBDC дотикається до кола ω\omega.
10–11 класиЗовнівписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.