Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 538 задач
Теорія чиселТеорія подільності, основні поняття
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-006

Умова парності на вершинах многокутника

На вершинах многокутника з n≥3n \geq 3 сторонами записано цілі числа так, що число, записане в кожній вершині, має ту саму парність, що й сума чисел, записаних у двох сусідніх вершинах (тобто якщо число у вершині парне, то парною є й сума чисел, які стоять у сусідніх вершинах, а якщо число непарне, то й сума непарна). Яке з наступних тверджень обов’язково є істинним? (A) Парних чисел більше, ніж непарних. (B) Непарних чисел більше, ніж парних. (C) Кількість вершин, у яких записано непарне число, є парною. (D) nn кратне 3. (E) Жодне з попередніх.
9–11 класиПарність та непарність
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-014

Цілочисельні розв'язки рівняння з добутком

Скільки існує впорядкованих пар цілих чисел (x,y)(x, y) таких, що xy=4(y2+x)x y = 4(y^{2} + x)? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 7 (E) 14
9–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-015

Мінімум пострілів, щоб влучити в авіаносець

В одному з варіантів гри «морський бій» Анна розміщує авіаносець (який можна уявляти як прямокутничок 5×15 \times 1) на сітці 10×1010 \times 10, байдуже вертикально чи горизонтально, не показуючи його Якопо. Якопо намагається влучити в авіаносець, називаючи їй щоразу координати однієї клітинки всередині сітки. Якщо обрана ним клітинка входить до тих, що накриті авіаносцем, то це влучання, інакше — промах. Скільки пострілів щонайменше має зробити Якопо, щоб напевно влучити принаймні раз?
9–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-001

Взаємно прості трійки з подільністю сум

Знайдіть усі трійки натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c) такі, що - a≤b≤ca \leq b \leq c; - НСД(a,b,c)=1\text{НСД}(a, b, c)=1; - aa є дільником b+cb+c, bb є дільником c+ac+a і cc є дільником a+ba+b.
9–11 класиНСД та НСК
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-002

Послідовність стрибків з поверненням у початок

Нехай nn — натуральне число. Блоха знаходиться на дійсній прямій і виконує послідовність із nn стрибків завдовжки 1,2,3,…,n1,2,3, \ldots, n. Блоха може вибирати порядок довжин стрибків і для кожного стрибка вирішувати, стрибати праворуч чи ліворуч. a. Доведіть, що при n=2012n=2012 блоха може завершити послідовність стрибків у тій самій точці, з якої вона стартувала. b. Доведіть, що при n=2013n=2013 це неможливо. c. У загальному випадку для яких nn вона може повернутися до початкової точки?
9–11 класиПарність та непарність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-001

Мінімальна сума при заданому НСК

Нехай найменше спільне кратне трьох натуральних чисел xx, yy, zz дорівнює 21002100. Яке найменше можливе значення може набувати сума x+y+zx + y + z?
10–11 класиНСД та НСК
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-003

Функції з рівністю f(m) + f(n) = f(mn) + f(m + n + mn)

Знайдіть усі функції ff з дійсними значеннями, визначені на множині всіх цілих чисел, які задовольняють таку тотожність для довільної пари m,nm, n цілих чисел: f(m)+f(n)=f(mn)+f(m+n+mn).f(m) + f(n) = f(mn) + f(m + n + mn).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-004

Зростаюча послідовність із квадратними середніми

Нехай nn — ціле число, не менше за 22. Знайдіть найменше натуральне число mm, для якого існує послідовність a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n натуральних чисел, що задовольняє такі дві умови: a1<a2<⋯<an=ma_1 < a_2 < \dots < a_n = m. Усі n−1n-1 чисел a12+a222,…,an−12+an22\frac{a_1^2 + a_2^2}{2}, \dots, \frac{a_{n-1}^2 + a_n^2}{2} є повними квадратами.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-009

Перевертання карток з цілою частиною

Є 2013 карток з номерами 00, 11, 22, …\ldots, 20122012. Спочатку всі картки лежать числом, що на них написане, донизу. Далі для кожного i=1,2,…,2013i = 1, 2, \dots, 2013 виконуємо таку операцію ii, починаючи з i=1i = 1 у порядку зростання і закінчуючи i=2013i = 2013: Операція ii: перевернути кожну з ii карток з номером ⌊2013ji⌋\left\lfloor \frac{2013j}{i} \right\rfloor для j=0,1,…,i−1j = 0, 1, \dots, i - 1. Скільки карток наприкінці всіх операцій лежатимуть числами догори (показуючи свої номери)? Тут через ⌊r⌋\lfloor r \rfloor для кожного дійсного числа rr позначаємо найбільше ціле число, що не перевищує rr.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-011

Обмеження на відношення добутків членів послідовності

Нехай a1,a2,…a_1, a_2, \dots — нескінченна послідовність різних ненульових дійсних чисел, для якої ai+1ai+ai+1ai+2\frac{a_{i+1}}{a_i} + \frac{a_{i+1}}{a_{i+2}} набуває одного й того самого значення, що лежить між 0 і 2, для кожного i≥1i \ge 1. Виразіть через a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 найменше число cc, яке задовольняє таку умову: Умова: для будь-якої пари натуральних чисел x,yx, y з x<yx < y, axax+1+ax+1ax+2+⋯+ay−1ayaxay≤cвиконується.\frac{a_x a_{x+1} + a_{x+1} a_{x+2} + \dots + a_{y-1} a_y}{a_x a_y} \le c \quad \text{виконується.}
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-003

Тотожність для множин інверсій перестановки

Нехай f:{1,2,…,n}→{1,2,…,n}f : \{1, 2, \dots, n\} \to \{1, 2, \dots, n\} — взаємно однозначна відповідність для деякого натурального числа nn. Визначимо чотири множини AA, BB, CC, DD так: A={i∣i>f(i)}A = \{i \mid i > f(i)\} B={(i,j)∣i<j≤f(j)<f(i) або f(j)<f(i)<i<j}B = \{(i, j) \mid i < j \le f(j) < f(i) \text{ або } f(j) < f(i) < i < j\} C={(i,j)∣i<j≤f(i)<f(j) або f(i)<f(j)<i<j}C = \{(i, j) \mid i < j \le f(i) < f(j) \text{ або } f(i) < f(j) < i < j\} D={(i,j)∣i<j і f(i)>f(j)}D = \{(i, j) \mid i < j \text{ і } f(i) > f(j)\} Доведіть, що ∣A∣+2∣B∣+∣C∣=∣D∣|A| + 2|B| + |C| = |D|, де ∣X∣|X| — кількість усіх елементів множини XX.
10–11 класиПерестановки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-018

Різні дільники в послідовності цілих чисел

Числа xx, yy, zz і ww на рисунку — цілі числа, усі різні між собою, більші за 11, і їх розміщено в клітинках нижче так, що кожне число (починаючи з yy) є дільником числа в клітинці ліворуч. | | | | | | --- | --- | --- | --- | | xx | yy | zz | ww | Знайдіть усі можливі розв’язки для xx, yy, zz і ww, знаючи, що їхня сума дорівнює 329329.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-021

Попарні суми різних цілих чисел

Торговець отримав чотири мішки картоплі й хоче виміряти вагу кожного з них. Він знає, що ваги цих мішків у кілограмах є різними цілими числами. Припустимо, що ваги мішків (у кілограмах) дорівнюють a,b,ca, b, c і dd, причому a<b<c<da<b<c<d. a) Покажіть, що при зважуванні мішків по два найбільший результат дорівнює c+dc+d, а другий за величиною — b+db+d. Покажіть також, що найменший результат дорівнює a+ba+b, а другий найменший — a+ca+c. b) Терези торговця зламалися. Тепер вони здатні показувати лише ваги, не менші за 100 кілограмів. Тоді він вирішує зважити мішки по два, виконавши таким чином шість зважувань. У чотирьох зважуваннях він отримав такі результати (у кілограмах): 101, 112, 116 і 127. В інших двох він зміг лише з'ясувати, що суми не перевищували 100 кілограмів. Знайдіть ваги чотирьох мішків.
10–11 класиЧислові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-025

Квадрат суми цифр і його оцінки

Сержіу попросив Івана задумати натуральне число. Потім попросив Івана обчислити суму його цифр і, нарешті, піднести результат до квадрата. Не називаючи число, яке задумав спочатку, Іван повідомив, що як остаточний результат отримав xx. Покажіть Сержіу, як дійти таких висновків: a) Якщо Іван задумав число з 3 або менше цифр, то xx буде менше ніж 730. b) Якщо Іван задумав число з 4 цифр, то xx буде менше ніж число, яке задумав Іван. c) Якщо Іван задумав число з 5 або більше цифр, то xx буде менше ніж число, яке задумав Іван. Після цього Сержіу зробив таке: розглянув число xx, яке назвав Іван, обчислив суму його цифр і підніс результат до квадрата. Коли Сержіу повідомив Івану число, яке отримав, Іван здивовано сказав, що саме це число він і задумав. d) Знайдіть усі можливі значення числа, яке задумав Іван.
10–11 класиМетод математичної індукції
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2012-002

Відношення НСК послідовних цілих чисел

Для будь-яких натуральних чисел nn і kk нехай L(n,k)L(n, k) — найменше спільне кратне kk послідовних цілих чисел n,n+1,…,n+k−1n, n+1, \dots, n+k-1. Доведіть, що для будь-якого цілого числа bb існують цілі числа nn і kk такі, що L(n,k)>bL(n+1,k)L(n, k) > b L(n + 1, k).
10–11 класиНСД та НСК
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2012-004

Сортування вставленням томів на своє місце

На полиці стоїть nn томів, позначених числами від 11 до nn у деякому порядку. Бібліотекар хоче поставити їх у правильному порядку в такий спосіб. Бібліотекар вибирає том, що стоїть занадто праворуч, скажімо, том з номером kk, виймає його і вставляє так, щоб він опинився на kk-му місці. Наприклад, якщо на полиці томи стоять у порядку 11, 33, 22, 44, бібліотекар може взяти том 22 і поставити його на друге місце. Тоді книги стоятимуть у правильному порядку 11, 22, 33, 44. a. Доведіть, що якщо повторювати цей процес, то, хоч би як бібліотекар робив вибір, усі томи зрештою опиняться у правильному порядку. b. Яка найбільша кількість кроків може знадобитися для цього процесу?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-003

Цілі числа як сума двох дробів

Знайдіть усі натуральні числа, які не можна записати у вигляді ab+a+1b+1\frac{a}{b}+\frac{a+1}{b+1}, де a,ba, b — натуральні числа.
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2012-001

Множина з властивістю взаємної простоти

Нехай k⩾2k \geqslant 2 — ціле число. 1) Нехай n>kn > k — ціле число. Чи існує nn натуральних чисел таких, що будь-які kk з них ніколи не є взаємно простими в сукупності, але будь-які k+1k+1 завжди є взаємно простими в сукупності? 2) Чи існує нескінченна послідовність натуральних чисел, яка задовольняє обидві наведені вище умови?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-016

Чотирицифрові числа з дільниками при викресленні цифри

Знайдіть усі чотирицифрові числа, які після викреслення будь-якої однієї цифри перетворюються на трицифрове число, що є дільником початкового числа.
8–10 класиДільники та кратні (базові власти…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-037

Подільність суми кубів за модульних умов

Цілі числа aa, bb, cc такі, що a+b+ca + b + c ділиться на 66, а a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 ділиться на 3636. Чи випливає звідси, що a3+b3+c3a^3 + b^3 + c^3 ділиться на a) 88; b) 2727?
9 класМіркування за модулем
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-025

Середні двох чисел із переставленням цифр

Знайдіть усі пари (n,m)(n, m) натуральних чисел таких, що середнє арифметичне і середнє геометричне чисел mm і nn є різними двоцифровими числами, що складаються з тих самих цифр.
10 класМетод факторизації (розкладання н…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-008

Сума обернених найбільших степенів двійки

Для будь-якого натурального числа nn нехай ana_n — найбільший степінь числа 22, який ділить nn (напр. a2011=1a_{2011} = 1, a2012=4a_{2012} = 4). Доведіть, що для будь-яких натуральних чисел ii і jj з i<ji < j сума 1ai+1ai+1+⋯+1aj\frac{1}{a_i} + \frac{1}{a_{i+1}} + \dots + \frac{1}{a_j} є дробовим числом.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-028

Нумерація вершин розбитого трикутника

Рівносторонній трикутник зі стороною 33 поділено на 99 рівносторонніх трикутників зі стороною 11. У кожну точку, яка є вершиною малого трикутника (зафарбовані вершини на рисунку), вписано ціле число від 11 до 1010 так, що всі числа записано рівно по одному разу. Для кожного малого трикутника суму чисел у трьох його вершинах записано всередині нього. Доведіть, що існують три малі трикутники такі, що сума чисел усередині них принаймні 4848.
10 класПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-014

Нерівність зі степенями та лінійними членами

Нехай aa — дійсне число, 0≤a≤10 \le a \le 1. Доведіть, що для будь-якого невід'ємного цілого числа nn виконується нерівність (n+1)a≤n+an+1(n+1)a \le n + a^{n+1}.
10–11 класиНерівність Коші3 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-021

Факторіальне рівняння для трійок натуральних чисел

Знайдіть усі трійки натуральних чисел (x,y,z)(x, y, z), для яких x⋅y!+2y⋅x!=z!x \cdot y! + 2y \cdot x! = z!.
10 класДільники та кратні (базові власти…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.