Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

399 задач
ГеометріяДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2018-007

Дотична до описаного кола перпендикулярна до сторони

Дано трикутник △ABC\triangle A B C з ∠C=90∘\angle C=90^{\circ}. Середину катета ACA C позначимо через DD, а ортогональну проєкцію CC на пряму BDB D позначимо через EE. Доведіть, що дотична в CC до описаного кола трикутника △AEC\triangle A E C перпендикулярна до гіпотенузи ABA B.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-032

Конкурентність дотичних на описаному колі трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник із центром вписаного кола II, центром описаного кола OO та описаним колом Γ\Gamma. Нехай MM — середина сторони AB‾\overline{AB}. Промінь AIAI перетинає BC‾\overline{BC} у точці DD. Позначимо через ω\omega і γ\gamma описані кола трикутників △BIC\triangle BIC і △BAD\triangle BAD відповідно. Пряма MOMO перетинає ω\omega у точках XX і YY, а пряма COCO перетинає ω\omega у точках CC і QQ. Припустімо, що точка QQ лежить усередині △ABC\triangle ABC і що ∠AQM=∠ACB\angle AQM = \angle ACB. Проведено дотичні до кола ω\omega у точках XX і YY та дотичні до кола γ\gamma у точках AA і DD. За умови ∠BAC≠60∘\angle BAC \neq 60^\circ доведіть, що ці чотири прямі перетинаються в одній точці, що лежить на колі Γ\Gamma.
10–11 класиДотична кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-046

Паралельні прямі при дотику кіл

Два кола C\mathcal{C} і C′\mathcal{C}^{\prime} з центрами OO і O′O^{\prime} дотикаються зовні в точці BB. Спільна зовнішня дотична дотикається до кола C\mathcal{C} в точці MM, а до кола C′\mathcal{C}^{\prime} — в точці NN. Спільна дотична до кіл C\mathcal{C} і C′\mathcal{C}^{\prime} в точці BB перетинає (MN)(M N) в точці AA. Позначимо через CC перетин прямих (OA)(O A) і (BM)(B M), а через DD — перетин прямих (O′A)\left(O^{\prime} A\right) і (BN)(B N). Доведіть, що пряма (CD)(C D) паралельна прямій (MN)(M N).
9–11 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-047

Колінеарність у трикутнику з дотичною і колом

Нехай ABCABC — трикутник такий, що AB<ACAB < AC, HH — його ортоцентр, Γ\Gamma — його описане коло, dd — дотична до кола Γ\Gamma в AA. Коло з центром BB, яке проходить через AA, перетинає dd в точці DD і (AC)(AC) в точці EE. Доведіть, що точки DD, EE, HH лежать на одній прямій.
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2017-004

Колінеарність у колі з дотичними

Дано коло ω\omega з діаметром AKA K. Точка MM лежить усередині кола, не на прямій AKA K. Пряма AMA M перетинає ω\omega ще раз у QQ. Дотична до кола ω\omega у QQ перетинає пряму, що проходить через MM перпендикулярно до AKA K, у PP. Точка LL лежить на колі ω\omega так, що пряма PLP L є дотичною, причому L≠QL \neq Q. Доведіть, що K,LK, L і MM лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2017-033

Рівнобедрений трикутник із дотичною до вписаного кола

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA та висотою ADAD. На стороні ABAB вибрано точку FF, відмінну від BB, таку, що пряма CFCF дотикається до вписаного кола трикутника ABDABD. Припустимо, що △BCF\triangle BCF є рівнобедреним. Доведіть, що ці умови однозначно визначають: a) яка вершина трикутника BCFBCF є його вершиною; b) величину ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2017-032

Дотична і перетин в описаному колі трикутника

У трикутнику ABCA B C точка MM — середина сторони ABA B, а NN — середина відрізка CMC M. Нехай XX — точка, для якої ∠XMC=∠MBC\angle X M C=\angle M B C і ∠XCM=∠MCB\angle X C M=\angle M C B, причому XX і BB лежать по різні боки від прямої CMC M. Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника AMXA M X. a) Доведіть, що пряма CMC M дотикається до кола Ω\Omega. b) Доведіть, що прямі NXN X і ACA C перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-015

Перетин дотичних до кола в трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай DD — основа бісектриси, що виходить з AA. Нехай ω\omega — коло через AA, дотичне до сторони BCBC в DD, а E,FE, F — перетини кола ω\omega зі сторонами AB,ACAB, AC відповідно. Дотичні до кола ω\omega в EE і FF перетинаються в PP. Відомо, що PE=3PE=3 і що радіус кола ω\omega дорівнює 44, чому дорівнює довжина відрізка PDPD? (A) 34\frac{3}{4} (B) 11 (C) 1+22\frac{1+\sqrt{2}}{2} (D) 2\sqrt{2} (E) Даних недостатньо, щоб його визначити
10–11 класиДотична кола
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-024

Спільна дотична вписаних кіл двох частин трикутника

Точку DD вибрано на стороні BCBC трикутника ABCABC. Пряма, дотична до вписаних кіл трикутників ABDABD і ADCADC та відмінна від прямих BCBC і ADAD, перетинає відрізок ADAD у точці TT. Якщо AB=40 смAB=40\ \text{см}, AC=50 смAC=50\ \text{см} і BC=60 смBC=60\ \text{см}, знайдіть довжину відрізка ATAT.
8–9 класиДотична кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-010

Рівнобедрений трикутник із дотичної побудови

Нехай ABCABC — трикутник з AB≠ACAB \neq AC і описаним колом kk. Дотична до кола kk, проведена через AA, перетинає пряму BCBC в точці PP. Бісектриса кута ∠APB\angle APB перетинає сторону ABAB в точці DD і сторону ACAC в точці EE. Доведіть, що трикутник ADEADE рівнобедрений.
10–11 класиДотична кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-003

Симетрія та дотичні у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через PP точку, симетричну BB відносно прямої (AC)(AC), а через QQ — точку, симетричну CC відносно прямої (AB)(AB). Нехай TT — точка перетину прямої (PQ)(PQ) з дотичною в AA до описаного кола (APQ)(APQ). Доведіть, що точка, симетрична TT відносно AA, належить прямій (BC)(BC).
9–11 класиТеорема Менелая
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-079

Спільна дотична до вписаних кіл трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB=13, BC=14BC=14, CA=15CA=15. Висота з AA перетинає BCBC в точці DD. Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — вписані кола трикутників ABDABD і ACDACD, а спільна зовнішня дотична до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} (відмінна від прямої BCBC) перетинає ADAD в точці EE. Обчисліть довжину AEAE.
10–11 класиВписане коло2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-022

Відстань між центрами описаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Знайдіть відстань між центрами описаних кіл трикутників AOBAOB та AOCAOC.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-030

Дотичні до описаного кола основ висот

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15, а E,FE, F — основи висот, проведених з BB і CC відповідно. Нехай описане коло трикутника AEFAEF — це ω\omega. Проведено три прямі, дотичні до описаного кола трикутника AEFAEF в точках AA, EE і FF. Обчисліть площу трикутника, який визначають ці три прямі.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2016-003

Трикутник з висотою і рівними відрізками

Нехай ABCA B C — гострокутний трикутник. Нехай HH — основа висоти з CC на ABA B. Припустимо, що ∣AH∣=3∣BH∣|A H| = 3|B H|. Нехай MM і NN — середини сторін відповідно ABA B і ACA C. Нехай PP — така точка, що ∣NP∣=∣NC∣|N P| = |N C| і ∣CP∣=∣CB∣|C P| = |C B|, причому BB і PP лежать по різні боки від прямої ACA C. Доведіть, що ∠APM=∠PBA\angle A P M = \angle P B A.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-002

Паралельні прямі з дотичних до двох кіл

Два кола k1k_{1} і k2k_{2} перетинаються в точках AA і CC. Нехай BB — друга точка перетину кола k1k_{1} з дотичною до кола k2k_{2} в точці AA, а DD — друга точка перетину кола k2k_{2} з дотичною до кола k1k_{1} в точці CC. Доведіть, що прямі ADA D і BCB C паралельні.
10–11 класиДотична кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-008

Дотичне до сторін коло на бісектрисі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає сторону BCBC в точці DD. Нехай kk — коло, яке проходить через точку DD і дотикається до відрізків ACAC та ABAB в точках EE, відповідно FF. Нехай GG — друга точка перетину кола kk зі стороною BCBC. Нехай SS — точка перетину прямих EGEG і DFDF. Доведіть, що пряма ADAD перпендикулярна до прямої BSBS.
10–11 класиДотична кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-009

Перетин описаних кіл на гіпотенузі

Нехай ABCA B C — прямокутний трикутник з ∠ACB=90∘\angle A C B=90^{\circ}, а MM — середина гіпотенузи ABA B. Нехай GG — довільна точка на відрізку MCM C, а PP — точка на прямій AGA G, така, що ∠CPA=∠BAC\angle C P A=\angle B A C. Далі нехай QQ — точка на прямій BGB G, така, що ∠BQC=∠CBA\angle B Q C=\angle C B A. Доведіть, що описані кола трикутників AQGA Q G і BPGB P G перетинаються на відрізку ABA B.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-047

Гострокутний трикутник з перетином дотичної

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, такий, що AC>ABAC > AB, DD — точка на стороні BCBC, така, що AD=ABAD = AB і DD відмінна від BB. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, Δ\Delta — дотична до кола Γ\Gamma в точці CC, EE — перетин прямих (AD)(AD) і Δ\Delta. Доведіть, що CD2=AD⋅DE−BD⋅DCCD^{2} = AD \cdot DE - BD \cdot DC.
9–11 класиОзнаки подібності
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-031

Дотичні та рівні кути в колі

Через точку AA кола з центром OO проведено дотичну до цього кола, а на цій дотичній взято дві точки BB і CC, причому CC між AA і BB. Із BB і CC проведено (BD)(B D) і (CE)(C E) — дотичні до кола. Доведіть, що BOC^=DAE^\widehat{B O C}=\widehat{D A E}.
9–11 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-002

Дотичні до кола та паралельні прямі

Нехай три точки AA, BB, CC лежать на колі Γ\Gamma. Нехай PP — точка перетину дотичних до кола Γ\Gamma у точках BB і CC. Припустімо, що прямі ABAB і CPCP паралельні, а AB=3AB = 3 і BP=4BP = 4. Знайдіть довжину відрізка BCBC. Тут довжину відрізка XYXY також позначаємо через XYXY.
10–11 класиДотична кола
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-059

Дотичні з точки до кола

a) Теорема про дотичні стверджує, що відстані від точки поза колом до точок, у яких проведені з неї дотичні торкаються кола, рівні. На рисунку нижче APAP і AQAQ — дотичні до кола. Доведіть, що AP=AQAP = AQ. b) На рисунку нижче зображено шестикутник, у якого всі сторони дотикаються до кола. Знайдіть значення невідомої сторони xx.
8–9 класиДотична кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-024

Перпендикулярність у точці перетину дотичних до кіл

Нехай CC і C′C' — два кола з центрами OO і O′O', зовнішні одне відносно іншого. Спільна зовнішня дотична перетинає дві спільні внутрішні дотичні в точках MM і NN. Доведіть, що пряма (OM)(OM) перпендикулярна до прямої (O′M)(O'M) і що пряма (ON)(ON) перпендикулярна до прямої (O′N)(O'N).
10–11 класиДотична кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-042

Фіксована точка з дотичних кіл і оцінка відрізка

Нехай ABCABC — нерівнобедрений трикутник, вписаний у коло Γ\Gamma радіуса RR. Коло, що проходить через AA і дотикається в точці CC до сторони [BC][BC], перетинає вдруге коло, що проходить через BB і дотикається в точці CC до сторони [AC][AC], у точці DD. a) Доведіть, що CD⩽RCD \leqslant R. b) Доведіть, що коли CC рухається по Γ\Gamma, пряма (CD)(CD) проходить через фіксовану точку.
9–11 класиІнші точки трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-118

Радіус кола при відстані 12 і PT = 13

Нехай точка PP і пряма ℓ\ell такі, що відстань від PP до прямої ℓ\ell дорівнює 1212. Нехай TT — точка на прямій ℓ\ell така, що PT=13PT = 13. Знайдіть радіус кола, що проходить через PP і дотикається до прямої ℓ\ell у точці TT.
10–11 класиОзнаки подібності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.