Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

592 задачі
КомбінаторикаГрафи
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-003

Два різних простих цикли однакової довжини в графі

Дано додатнє число ε\varepsilon. Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn, окрім скінченної кількості, справджується твердження: у довільному графі на nn вершинах, у якому кількість ребер не менша від (1+ε)n(1+\varepsilon)n, існують два різних простих цикли однакової довжини. Примітка. Графом називають множину VV вершин і множину EE ребер, де кожне ребро з множини EE є парою різних вершин із множини VV. Простий цикл довжини k⩾3k \geqslant 3 — це kk-елементна підмножина CC ребер із множини EE, для якої існує послідовність попарно різних вершин V1,V2,…,VkV_1, V_2, \ldots, V_k така, що для кожного 1⩽i<k1 \leqslant i < k пара {Vi,Vi+1}\{V_i, V_{i+1}\} належить підмножині CC і пара {Vk,V1}\{V_k, V_1\} також належить підмножині CC.
10–11 класиДерева
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-006

Пари c, d і покриття остач орбітами многочлена

Знайдіть усі пари цілих чисел (c,d)(c, d), більших за 11, для яких виконується умова: для довільного многочлена QQ степеня dd із цілими коефіцієнтами та старшим коефіцієнтом 11 і довільного простого числа p>c(2c+1)p > c(2c + 1) існує така множина SS, яка складається не більше ніж із (2c−12c+1)p\left(\frac{2c-1}{2c+1}\right)p цілих чисел, що ⋃s∈S{s,Q(s),Q(Q(s)),Q(Q(Q(s))),…}\bigcup_{s \in S} \{s, Q(s), Q(Q(s)), Q(Q(Q(s))), \ldots\} містить повну систему остач за модулем pp (тобто перетинає кожен клас остач за модулем pp).
10–11 класиОрієнтовані графи
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-004

Шаховий турнір із заданими ступенями

Нехай n≥1n \geq 1 — ціле число, і нехай t1<t2<…<tnt_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n} — додатні цілі числа. У групі з tn+1t_{n}+1 людей грають у шахи. Дві людини можуть грати одна з одною щонайбільше один раз. Доведіть, що можуть одночасно виконуватися такі умови: i) Кількість зіграних партій кожною людиною є одним із чисел t1,t2,…,tnt_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}, ii) Для кожного ii з 1≤i≤n1 \leq i \leq n є хтось, хто зіграв рівно tit_{i} шахових партій.
10–11 класиСтепені вершин4 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-003

Мінімальна сума попарних добутків у Блискучому n-наборі

Задано ціле число n⩾3n \geqslant 3. Ми називаємо nn-набір дійсних чисел (x1,x2,…,xn)(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) Блискучим, якщо для кожної перестановки y1,y2,…,yny_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n} цих чисел маємо ∑i=1n−1yiyi+1=y1y2+y2y3+y3y4+⋯+yn−1yn⩾−1.\sum_{i=1}^{n-1} y_{i} y_{i+1} = y_{1} y_{2} + y_{2} y_{3} + y_{3} y_{4} + \cdots + y_{n-1} y_{n} \geqslant -1. Знайдіть найбільшу константу K=K(n)K = K(n) таку, що ∑1⩽i<j⩽nxixj⩾K\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} x_{i} x_{j} \geqslant K виконується для кожного Блискучого nn-набору (x1,x2,…,xn)(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}).
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-009

Дотичні відрізки між колами, що не перетинаються

На дошці намальовано 20172017 попарно зовнішніх кіл, причому жодні два не дотикаються і жодні три не мають спільної дотичної. Дотичним відрізком називається відрізок, який є спільною дотичною до двох кіл і починається в одній точці дотику, а закінчується в іншій. Лучано малює дотичні відрізки на дошці, один за одним, так, щоб жоден дотичний відрізок не перетинав жодних інших кіл чи раніше намальованих дотичних відрізків. Лучано продовжує малювати дотичні відрізки, доки це можливо. Знайдіть усі можливі кількості дотичних відрізків, коли він закінчить малювання.
10–11 класиПланарні графи2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-025

Максимальна кількість любовних трикутників у турнірі

У школі є nn учнів. Відомо, що для будь-яких двох учнів AA і BB або AA любить BB, або BB любить AA (але не обох одночасно). (Отже, учень може любити кількох інших учнів.) Любовним трикутником називається трійка учнів AA, BB, CC таких, що AA любить BB, BB любить CC і CC любить AA. Яка найбільша можлива кількість любовних трикутників за даної кількості nn учнів?
10–11 класиОрієнтовані графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-028

Червоний повний двочастковий підграф у розфарбованому графі

Граф має 20162016 вершин. Усі ребра графа пофарбовано в синій або червоний колір. Відомо, що граф не містить синього шляху на 10621062 вершинах. Доведіть, що можна вибрати дві неперетинні множини по 477477 вершин кожна, такі, що всі ребра між цими множинами червоні.
10–11 класиШляхи на графах
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-003

Найменша кількість блакитних клітинок таблиці 4m × 4m

Нехай mm — натуральне число. Розглянемо таблицю розміром 4m×4m4m \times 4m, що складається з одиничних клітинок. Дві різні клітинки назвемо пов’язаними одна з одною, якщо вони знаходяться в одному рядку чи в одному стовпчику. Жодна клітинка не є пов’язаною сама із собою. Деякі клітинки пофарбовані блакитним кольором так, що кожна клітинка дошки пов’язана хоча б із двома блакитними клітинками. Визначте найменшу можливу кількість блакитних клітинок.
10–11 класиДвочасткові графи
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-010

Перебудова ребер графа зі збереженням зв’язності

У місті є n⩾3n \geqslant 3 островів. Спочатку поромна компанія пропонує деякі маршрути між деякими парами островів так, що неможливо поділити острови на дві групи так, щоб жодні два острови з різних груп не були сполучені поромним маршрутом. Після кожного року поромна компанія закриватиме поромний маршрут між деякими двома островами XX і YY. Водночас, щоб підтримувати обслуговування, компанія відкриватиме нові маршрути за таким правилом: для будь-якого острова, який сполучений поромним маршрутом рівно з одним із XX і YY, додається новий маршрут між цим островом та іншим із XX і YY. Припустімо, що в будь-який момент, якщо ми розіб’ємо всі острови на дві непорожні групи будь-яким способом, то відомо, що поромна компанія через кілька років закриє певний маршрут, що сполучає два острови з цих двох груп. Доведіть, що через кілька років з’явиться острів, який буде сполучений поромними маршрутами з усіма іншими островами.
10–11 класиДвочасткові графи
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2016-004

Мінімальна кількість мостів для 1680 островів

Король Георг вирішив з’єднати мостами 1680 островів свого королівства. На жаль, після того, як усі мости буде збудовано, повстанці зруйнують два мости, але не два мости з одного острова. Яку найменшу кількість мостів має збудувати король, щоб гарантувати, що після руйнування повстанцями двох мостів між будь-якими двома з 1680 островів усе ще можна буде подорожувати мостами?
10–11 класиЗв’язність
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-006

Скінченність послідовності перетворень AB-дерев

У тривимірному евклідовому просторі є множина з nn точок така, що жодні 4 з них не лежать в одній площині. Цю множину розбили на дві підмножини AA та BB. ABAB-деревом називають таку конфігурацію з n−1n-1 відрізка, кожний з яких має кінці в різних підмножинах AA та BB так, що відрізки не формують жодної замкненої ламаної. ABAB-дерево перетворюють на інше ABAB-дерево таким чином: вибирають довільні три різні відрізки A1B1A_1B_1, B1A2B_1A_2 та A2B2A_2B_2, де A1∈AA_1 \in A та A1B1+A2B2>A1B2+A2B1A_1B_1 + A_2B_2 > A_1B_2 + A_2B_1 і міняють сегмент A1B1A_1B_1 на A1B2A_1B_2. Доведіть для довільного заданого ABAB-дерева, що будь-яка послідовність припустимих перетворень дійде кінця, тобто після скінченної кількості кроків неможливо буде зробити жодного припустимого перетворення.
10–11 класиНапівінваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2015-006

Цілочисельна послідовність з різними сумами і обмеженими відхиленнями

Послідовність цілих чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots задовольняє такі умови: 1⩽aj⩽2015для всіх j⩾1;1 \leqslant a_j \leqslant 2015 \quad \text{для всіх } j \geqslant 1; k+ak≠l+alдля всіх 1⩽k<l.k + a_k \ne l + a_l \quad \text{для всіх } 1 \leqslant k < l. Доведіть, що існують два натуральних числа bb та NN таких, що ∣∑j=m+1n(aj−b)∣⩽10072\left|\displaystyle\sum_{j=m+1}^{n} (a_j - b)\right| \leqslant 1007^2 для всіх цілих чисел mm і nn, що задовольняють умову n>m⩾Nn > m \geqslant N.
10–11 класиОрієнтовані графи
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-005

Бульдозери, що змітають міста в ряд

У Лінленді є n⩾1n \geqslant 1 міст, розташованих уздовж дороги, що йде зліва направо. Кожне місто має лівий бульдозер (поставлений зліва від міста і спрямований ліворуч) та правий бульдозер (поставлений справа від міста і спрямований праворуч). Розміри всіх 2n2n бульдозерів різні. Щоразу, коли правий і лівий бульдозери зустрічаються лоб у лоб, більший бульдозер зіштовхує менший з дороги. Натомість бульдозери зовсім незахищені ззаду; тож якщо один бульдозер дістається до заднього кінця іншого, перший зіштовхує другий з дороги незалежно від їхніх розмірів. Нехай AA і BB — два міста, причому BB розташоване праворуч від AA. Кажемо, що місто AA може змести місто BB, якщо правий бульдозер міста AA може дійти до BB, зіштовхуючи всі бульдозери, які зустрічає на шляху. Аналогічно, BB може змести AA, якщо лівий бульдозер міста BB може дійти до AA, зіштовхуючи всі бульдозери всіх міст на своєму шляху. Доведіть, що існує рівно одне місто, яке не може бути зметене жодним іншим.
10–11 класиМетод математичної індукції3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-007

Розбиття графа з малою кількістю непарних циклів

У компанії людей деякі пари є ворогами. Група людей називається недружньою, якщо кількість її членів непарна і становить принаймні 33, і всіх її членів можна розсадити навколо круглого столу так, щоб будь-які двоє сусідів були ворогами. Відомо, що недружніх груп не більше ніж 20152015. Доведіть, що компанію можна розбити на 1111 частин так, щоб жодні двоє ворогів не опинилися в одній частині.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-030

Розфарбування шапок з обмеженням на степінь

Є великий натовп хлопців і дівчат. Чи завжди можна роздати їм шапки 100100 кольорів (кожен отримує одну шапку) так, що якщо деякий хлопець знайомий принаймні з 20142014 дівчатами, то ці дівчата мають шапки принаймні 22 кольорів, і те саме виконується для дівчат: якщо деяка дівчина знайома принаймні з 20142014 хлопцями, то ці хлопці мають шапки принаймні 22 кольорів?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-032

Умова на суму степенів і гамільтонові цикли

GG і G′G' — графи (без петель і кратних ребер) на одній і тій самій множині зі 100 вершин. Дві вершини з'єднані ребром у графі G′G' тоді й лише тоді, коли сума їхніх степенів у графі GG не менша за 100. Граф G′G' має гамільтонів цикл (тобто цикл довжини 100, що проходить через усі вершини). Доведіть, що GG також має гамільтонів цикл.
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-033

Видалення ребер у графі з обмеженим степенем

Степінь кожної вершини графа GG не перевищує 100100. Видаляємо ребра цього графа. За один крок можна видалити довільну множину ребер без спільних кінців, яка є максимальною (у тому сенсі, що якщо до цієї множини додати будь-яке із ребер, що залишилися, то з’являться два ребра зі спільним кінцем). Доведіть, що всі ребра буде видалено не більш ніж за 199199 кроків.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-034

Граф збалансованих розрізів без гамільтонового шляху

Множиною вершин графа GG є 2014 точок загального положення на площині. Відрізок ABAB є ребром графа тоді й лише тоді, коли кожна з двох (відкритих) півплощин прямої ABAB містить 1006 точок. Доведіть, що GG не містить гамільтонового шляху (тобто шляху, що проходить через кожну вершину рівно один раз).
10–11 класиСтепені вершин
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-009

Операції над графом з видаленням вершин непарного степеня

Божевільний фізик відкрив новий вид частинок, які він назвав імонами, після того, як деякі з них загадково з'явилися в його лабораторії. Деякі пари імонів у лабораторії можуть бути заплутаними, і кожен імон може брати участь у багатьох відношеннях заплутаності. Фізик знайшов спосіб виконувати з цими частинками такі два види операцій, по одній операції за раз. (i) Якщо деякий імон заплутаний з непарною кількістю інших імонів у лабораторії, то фізик може його знищити. (ii) У будь-який момент він може подвоїти все сімейство імонів у своїй лабораторії, створивши копію I′I^{\prime} кожного імона II. Під час цієї процедури дві копії I′I^{\prime} і J′J^{\prime} стають заплутаними тоді й лише тоді, коли вихідні імони II і JJ заплутані, і кожна копія I′I^{\prime} стає заплутаною зі своїм вихідним імоном II; жодні інші заплутаності в цей момент не виникають і не зникають. Доведіть, що фізик може застосувати послідовність таких операцій, у результаті якої дістане сімейство імонів, жодні два з яких не заплутані.
10–11 класиСтепені вершин2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2013-002

Періодична послідовність з обмеженням на суму

Нехай nn — натуральне число, і розглянемо послідовність a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} з натуральних чисел. Продовжимо її періодично до нескінченної послідовності a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots, визначивши an+i=aia_{n+i}=a_{i} для всіх i⩾1i \geqslant 1. Якщо a1⩽a2⩽⋯⩽an⩽a1+na_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{n} \leqslant a_{1}+n і aai⩽n+i−1 для i=1,2,…,na_{a_{i}} \leqslant n+i-1 \quad \text{ для } i=1,2, \ldots, n доведіть, що a1+⋯+an⩽n2.a_{1}+\cdots+a_{n} \leqslant n^{2} .
10–11 класиПідрахунок двома способами3 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2013-002

Пара функцій і тотожна функція як спільна комутуюча

Чи існує така пара функцій g,h:R→Rg, h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що єдиною функцією f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, яка одночасно задовольняє умови f(g(x))=g(f(x))f(g(x))=g(f(x)) та f(h(x))=h(f(x))f(h(x))=h(f(x)) для всіх дійсних xx, є функція f(x)=xf(x)=x?
10–11 класиКонструктивна побудова функції
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-006

Кількість дівчат-подруг у капелюхах двох кольорів

У деякому містечку живуть тільки дівчата. Кожна дівчина має рівно одну або рівно двох подруг, причому дружба у них взаємна. Одного ранку всі дівчата, які мають двох подруг, надягли червоні капелюхи, а всі інші дівчата — сині. Виявилось, що кожні дві подруги надягли капелюхи різного кольору. По обіді 1010 дівчат зняли свої червоні капелюхи й надягли сині, а 1212 інших дівчат зняли свої сині капелюхи й надягли червоні. Тепер кожні дві подруги носять капелюхи однакового кольору. Скільки дівчат живе в містечку?
4–6 класиСтепені вершин
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-011

Перестановка фішок із циклічною зміною кольорів

Стовпці та рядки квадратної дошки 3n×3n3n \times 3n пронумеровано числами 1,2,…,3n1, 2, \ldots, 3n. Кожну клітинку (x,y)(x, y) з 1≤x,y≤3n1 \leq x, y \leq 3n пофарбовано у спаржевий, візантійський або цитриновий колір залежно від остачі за модулем 33 числа x+yx+y, яка дорівнює 00, 11 чи 22 відповідно. На кожну клітинку покладено по одній фішці спаржевого, візантійського або цитринового кольору так, що кожного кольору є 3n23n^{2} фішок. Припустимо, що фішки можна переставити так, що кожна фішка переміститься на відстань не більше dd від свого початкового положення, кожна спаржева фішка замінить візантійську фішку, кожна візантійська фішка замінить цитринову фішку, а кожна цитринова фішка замінить спаржеву фішку. Доведіть, що фішки можна переставити так, що кожна фішка переміститься на відстань не більше d+2d+2 від свого початкового положення, і кожна клітинка міститиме фішку того самого кольору, що й клітинка.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-033

Знайомства учнів трьох шкіл

У Грайфсвальді є три школи AA, BB і CC, кожну з яких відвідує принаймні один учень. Серед будь-яких трьох учнів aa з AA, bb з BB і cc з CC знайдуться двоє, які знають один одного, і двоє інших, які не знають один одного. Доведіть, що або деякий учень з AA знає всіх учнів з BB, або деякий учень з BB знає всіх учнів з CC, або деякий учень з CC знає всіх учнів з AA.
10–11 класиСтепені вершин
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-034

Розфарбування сітки з обмеженнями на квадрати 2×2

Дано прямокутну сітку, розбиту на m×nm \times n клітинок; розфарбування клітинок у два кольори (чорний і білий) називається допустимим, якщо виконуються такі умови: усі клітинки, що дотикаються до межі сітки, мають бути пофарбовані в чорний колір. Жодні чотири клітинки, що утворюють квадрат 2×22 \times 2, не мають бути пофарбовані в один і той самий колір. Жодні чотири клітинки, що утворюють квадрат 2×22 \times 2, не мають бути пофарбовані так, щоб лише клітинки, що дотикаються по діагоналі, мали однаковий колір. Для яких розмірів сітки m×nm \times n (з m,n≥3m, n \ge 3) існує допустиме розфарбування?
10–11 класиЗв’язність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.