Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 010 задач
КомбінаторикаІгри і стратегії
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-034

Лампи, з'єднані дротами, і перемикання кольору

Скінченну кількість ламп з'єднали в електричну схему. Деякі пари ламп з'єднали дротом. Кожна лампа горить синім або червоним кольором. Кожна лампа, що з'єднана принаймні з однією лампою іншого кольору, під час натискання перемикача змінює свій колір на інший. Доведіть, що через деякий час усі лампи будуть мати той самий колір, що мали за два натискання перемикача перед цим.
7–8 класиНапівінваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-035

Гра зі зменшенням чисел 2, 4, …, 2018

Два гравці грають у таку гру. Спочатку на дошці записано числа 2,4,6,…,20182, 4, 6, \ldots, 2018. За один хід можна зменшити на 1 будь-яке із записаних чисел. При цьому з дошки витирають числа 0 та числа, які збігаються з уже записаними числами (тобто витирають рівно одне з двох рівних чисел). Програє той гравець, після чийого ходу на дошці не залишиться жодного числа. Хто виграє за правильної гри — той, хто розпочинає, чи той, хто ходить другим?
7–8 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-040

Фішки на квадраті 2017 на 2017 і виграшна стратегія

Два гравці по черзі ставлять по одній фішці у вільні клітинки квадрата 2017×20172017\times 2017. При цьому має виконуватися умова: у кожному рядку та кожному стовпчику не може стояти більше ніж дві фішки. Той, хто не може зробити хід, програє. Хто має виграшну стратегію за правильної гри обох гравців?
7–8 класиСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-049

Гра двох фішок на смузі зі 101 клітинки

На кінцях смуги, що складається зі 101 клітинки, стоять дві фішки: ліворуч — фішка першого гравця, праворуч — другого. За хід кожний гравець може зсунути свою фішку в напрямі протилежного краю на 1, 2, 3 чи 4 клітинки. При цьому перескакувати через фішку супротивника можна, а от ставати на клітинку, яка зараз зайнята фішкою супротивника, не можна. Перемагає той, хто першим досягне іншого краю. Хто переможе в разі правильної гри обох — перший гравець (який ходить першим) чи другий?
7–8 класиКласичні ігри
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-056

Дев'ять школярів, друзі, вороги і староста

У компанії — дев'ять школярів, деякі з них ворогують один з одним. Час від часу вчитель призначає одного зі школярів старостою, і той одразу свариться з усіма своїми друзями, але починає товаришувати з усіма тими, з ким до цього ворогував. Далі вчитель призначає нового старосту, і процес повторюється. Доведіть, що вчитель, діючи таким чином, може досягти того, що в компанії залишиться не більше ніж 16 ворогуючих пар.
7–8 класиНапівінваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-063

Можливі значення добутку ваг сторін многокутника

Розглянемо многокутник з m+nm+n сторонами, де mm, nn — натуральні числа. Фарбуємо mm вершин у жовтий колір, інші nn вершин — у синій. Сторони, обидва кінці яких жовті, мають вагу 22, сторони з обома синіми кінцями — вагу 12\dfrac{1}{2}, а сторони з кінцями різного кольору — вагу 11. Позначимо через PP добуток ваг усіх сторін. Яких значень може набувати величина PP?
7–8 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-172

Рівність членів послідовностей і число n+3

Дано натуральне nn. Задамо послідовності aia_i і bib_i таким чином. Нехай a0=1a_0 = 1, b0=nb_0 = n, для i>0i > 0: (ai,bi)={(2ai−1+1, bi−1ai−1−1),якщо ai−1<bi−1,(ai−1−bi−1−1, 2bi−1+1),якщо ai−1>bi−1,(ai−1,bi−1),якщо ai−1=bi−1.(a_i, b_i) = \begin{cases} (2a_{i-1}+1,\ b_{i-1}a_{i-1}-1), & \text{якщо } a_{i-1} < b_{i-1}, \\ (a_{i-1}-b_{i-1}-1,\ 2b_{i-1}+1), & \text{якщо } a_{i-1} > b_{i-1}, \\ (a_{i-1}, b_{i-1}), & \text{якщо } a_{i-1} = b_{i-1}. \end{cases} Для деякого цілого невід'ємного kk відомо, що ak=bka_k = b_k. Доведіть, що n+3n + 3 — степінь двійки.
10–11 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-176

Гра з малюванням квадратів у квадраті 10×10

Квадрат 10×1010\times 10 розбито на одиничні квадратики. Андрій та Олеся по черзі роблять такі ходи. Кожен із них має право намалювати на цьому полі квадрат, який задовольняє такі умови: він має сторони, паралельні сторонам великого квадрата, вершини розташовані у вершинах одиничних квадратиків та його сторони не мають спільних точок зі сторонами жодного з раніше нарисованих квадратів, а також заданого квадрата 10×1010\times 10. Пропускати хід не можна. Коли виникає ситуація, за якої вже не можна нарисувати жодного квадрата, відбувається такий підрахунок: L=lSL=lS, A=aPA=aP, де SS — сума площ, PP — сума периметрів усіх нарисованих квадратів, коефіцієнти ll, aa дорівнюють: l=1l=1, a=54a=\dfrac{5}{4}. Олеся перемагає, якщо L>AL>A, і програє, якщо L<AL<A. Хто переможе, якщо перший хід робить Олеся?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Київський турнір математичних боївKMB-15-16-052

Перегризання гілок на метрові частини

Бобер вирішив зробити нову загату через річку. Він притягнув з лісу по 1010 гілок довжиною 44 м та 55 м. Для загати потрібно 2020 гілок довжиною 11 м кожна. Скільки та яких гілок треба перегризти бобру для побудови загати, щоб найменше сточити зуби?
6–7 класиЖадібний алгоритм
Київський турнір математичних боївKMB-15-16-101

Три натуральні числа з сумою обернених до половини

Знайдіть три натуральних числа k<l<mk < l < m такі, щоб сума 1k+1l+1m\frac{1}{k}+\frac{1}{l}+\frac{1}{m} була меншою від 12\frac{1}{2}, але максимально близькою до 12\frac{1}{2}.
9 класМетод оцінок, що веде до малого п…
Київський турнір математичних боївKMB-15-16-076

Хто зафарбує останню клітину на дошці 19 × 94

Двоє грають у гру на дошці розміром 19×9419 \times 94. Кожний по черзі відмічає квадрат по лініях сітки довільного можливого розміру та зафарбовує його. Жодна клітина не може бути зафарбована двічі. Виграє той, хто зафарбує останню клітину. Хто виграє при правильній грі обох?
6–7 класиСиметрія та розбиття на пари
Київський турнір математичних боївKMB-15-16-089

Фішка на дошці m × n та переможець гри

На прямокутній дошці m×nm \times n у лівому верхньому куті стоїть фішка. Двоє гравців кожним своїм ходом мають пересунути фішку на декілька позицій праворуч або вниз (залишати на місці фішку в разі чергового ходу не можна). Перемагає той із гравців, після ходу якого фішка потрапляє в правий нижній кут. Хто переможе в цій грі — той, хто розпочинає гру, чи той, хто ходить другим?
6–7 класиСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-113

Найбільше число з неповторюваними цифрами, кратне 99

Знайдіть найбільше натуральне число, цифри якого не повторюються і яке ділиться на 9999.
9 класОзнаки подільності на 2, 3, …
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-116

Ланцюг із 2015 ланок та складання будь-якої ваги

Ланцюг складається з 20152015 ланок, кожна з яких має вагу 11 г. Яку найменшу кількість ланок можна розкувати (відокремити від ланцюга), щоб із частин, що утворилися, можна було скласти будь-яку цілу вагу від 11 г до 20152015 г?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-125

Поділ купи цукерок та сума записаних чисел

У Сашка є купа з NN цукерок. Кожного разу він ділить одну з куп цукерок на дві та записує число ab(a+b)ab(a+b), де aa, bb — кількість цукерок у двох нових купках. Наприкінці в Сашка залишилися купки лише з однієї цукерки кожна. Чому може дорівнювати сума чисел, записаних Сашком?
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-030

Найбільша кількість фішок на дошці 100×100

Петрик та Василько грають у таку гру на порожній спочатку дошці 100×100100 \times 100. Петрик ходить першим і кожним своїм ходом ставить по фішці в будь-які 44 порожні клітинки. Після кожного його ходу Василько може прибрати всі фішки з будь-якого рядка (чи стовпчика). Петрик намагається поставити якомога більше фішок, а Василько намагається цьому запобігти. Яка найбільша кількість фішок може опинитися на дошці після ходу Петрика?
7–8 класиКонструкція через періодичність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-031

Гра з відрізками на сітці m × n

Петрик та Василько за чергою (починає Андрійко) роблять ходи на сітці розміром m×nm \times n. Своїм ходом гравець сполучає відрізком два вузли сітки так, щоб проведений відрізок не проходив через інші вузли й не перетинав уже проведені раніше відрізки. Програє гравець, який не може зробити хід. Хто виграє в разі правильної гри?
7–8 класиСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-136

Гра з 27 купками камінців і простими ходами

Є 27 купок по 200 камінців. Рома та Микита за чергою роблять ходи. За один хід можна взяти з будь-якої купки кількість камінців, що дорівнює простому числу. Гра завершується тоді, коли не можна зробити хід. Починає Рома. Він виграє, якщо хоча б в одній купці по завершенні гри немає камінців. Микита виграє, якщо по закінченні гри в усіх купках буде по 1 камінцю. Хто виграє за правильної гри?
9 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-204

Добутки чисел на розкиданих клітинках і діагоналі дошки

Назвемо nn клітинок дошки розміром n×nn \times n розкиданими, якщо жодні дві клітинки не знаходяться в жодному рядку та в жодному стовпчику. У кожну клітинку дошки записано натуральне число таким чином, що в кожному рядку та кожному стовпчику немає однакових чисел і для довільних двох наборів з nn розкиданих клітинок сума чисел, що записані в клітинках першого набору, дорівнює сумі чисел, що записані в клітинках другого набору. Відомо, що на одній з головних діагоналей записані числа йдуть у порядку зростання зліва направо й добуток цих чисел найменший із всіх можливих добутків чисел, які записані в довільних nn розкиданих клітинках. Доведіть, що найбільший добуток чисел, які записані в nn розкиданих клітинках, досягається на іншій діагоналі.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-049

Кульки з цифрами в ряд і видалення зліва

Перед Гаррі Поттером лежать у ряд декілька кульок, на яких написано ненульові цифри (на кожній кульці — одна цифра). За один помах чарівної палички він може видалити кульку, що лежить з лівого краю, при цьому після кожної кульки із цифрою kk з'являться кульки із цифрами k+1k + 1, k+2k + 2, …\ldots, 99. Наприклад, якщо перед Гаррі лежать кульки 22, 66, 55, 99, то після помаху палички будуть кульки 66, 77, 88, 99, 55, 66, 77, 88, 99, 99. Чи завжди Гаррі зможе видалити всі кульки?
7–8 класиМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-214

Гра з вибором тарілок і викладанням цукерок

Тетянка й Сашко грають у таку гру: на столі лежать n⩾2n \geqslant 2 порожніх тарілок. Тетянка починає кожен раунд, вибираючи деякі тарілки та ставлячи їх ліворуч від себе, а решту — праворуч. Сашко вибирає тарілки по один бік від Тетянки та кладе на кожну з них по одній цукерці. Далі він забирає всі цукерки з тарілок, що знаходяться по другий бік від Тетянки. Після цього Тетянка може вибрати довільну тарілку, забрати з неї цукерки та завершити гру. У протилежному разі починається новий раунд. Доведіть, що Сашко може грати таким чином, що Тетянка не зможе отримати більше ніж n−1n-1 цукерку.
10–11 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-062

Бої шістнадцяти команд у всіх чужих школах

У турнірі з математичних боїв в одне коло (коли кожен учасник грає з кожним іншим рівно один раз) узяли участь 1616 команд із 1616 шкіл. Кожен бій проходив в одній із шкіл-учасниць. Чи могло по завершенні чемпіонату виявитися, що кожна команда зіграла в усіх школах, крім своєї?
7–8 класиПарність і непарність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-068

Послідовна гра з дільниками числа до 2015

Двоє за чергою виписують на дошці натуральні числа: за числом aa можна написати a+da+d, де dd — довільний дільник числа aa. Програє той, хто буде змушений написати число, більше за 20152015. Хто з гравців має виграшну стратегію, якщо перший гравець зобов'язаний спочатку написати одиницю?
7–8 класиПарність і непарність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-232

Раціональне число менше за два як сума обернених

Довести, що довільне додатне раціональне число r<2r < 2 можна подати у вигляді r=1a1+1a2+…+1anr = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n} для деякого натурального nn і натуральних a1⩽a22⩽…⩽an2n−1a_1 \leqslant \frac{a_2}{2} \leqslant \ldots \leqslant \frac{a_n}{2^{n-1}}.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-071

Три купки каменів і гра двох гравців

Є три купки каменів, у яких лежить відповідно aa, bb, cc каменів (числа aa, bb, cc — попарно різні). Двоє гравців роблять ходи за чергою. Своїм ходом гравець має вибрати дві купки й перекласти один чи декілька каменів з меншої купки в більшу (якщо купки рівні, він вибирає напрямок перекладання на свій роздум). Виграє той, кому вдалося зібрати всі камені в одну купку. Хто виграє в цій грі — той, хто починає, чи його супротивник?
7–8 класиСиметрія та розбиття на пари

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.