Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 192 задачі
КомбінаторикаІнваріанти та напівінваріанти
Новорічний індивідуальний «Математичний занзібар»NYZ-22-23-019

Кількість різних сумарних результатів за шість задач

Петрику треба розв’язати на іспиті шість задач, пронумерованих числами 1,2,…,61, 2, \ldots, 6 за зростанням складності. За правильне розв’язання задачі номером nn він би отримав «+n+n» балів, а за неправильне — «−n-n» балів. Яку кількість різних сумарних результатів міг отримати Петрик? Наприклад, якщо Петрик правильно розв’язав 11, 33 та 44-ту задачі, а інші — неправильно, то він сумарно отримав би такий результат: +1−2+3+4−5−6=−5+1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 = -5.
6 класПарність і непарність
Новорічний індивідуальний «Математичний занзібар»NYZ-22-23-040

Гра до числа N з подвоєнням і додаванням

Задано натуральне число NN. Петрик та Василь грають у таку гру: по черзі змінюють число, написане на дошці. Першим ходить Петрик, він записує на дошці число 11. Кожним наступним ходом учасник витирає записане число nn і пише замість нього або число n+1n + 1, або число 2n2n, за умови, що воно не перевищує NN. Гравець, що напише на дошці число NN, перемагає. При скількох значеннях NN від 11 до 20232023 перемагає Василь, якщо кожен із гравців прагне перемогти?
10 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-006

Існування опуклого n-кутника зі стороною 5 у вузлах сітки

Для яких натуральних nn існує опуклий nn-кутник, усі сторони якого мають довжину 55, а вершини розташовані у вузлах сітки?
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-085

Кількість розв'язків рівняння f(x) - g(x) = k

Функції ff та gg, що визначені на множині Z∩[−100,100]Z \cap [-100, 100], набувають цілих значень. Доведіть, що для деякого цілого kk кількість розв'язків рівняння f(x)−g(x)=kf(x) - g(x) = k — непарна.
9 класПарність і непарність
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-053

Паліндромний обхід усіх клітинок дошки 101 на 101

Петрик пише в кожній клітинці дошки розміром 101×101101 \times 101 цифри 11 чи 22 так, щоб цифр 11 було на одну більше, ніж цифр 22. Далі Василь щоразу пересуває по цій дошці фішку в сусідню по стороні клітинку та записує, на якій цифрі стоїть фішка. Чи завжди Василь може так поставити фішку й так обійти нею всі 1012101^2 клітинок рівно по одному разу, щоб отримана послідовність цифр утворювала паліндром?
6–7 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-054

Обхід усіх клітинок дошки з паліндромною послідовністю

Петрик пише в кожній клітинці дошки розміром 100×100100 \times 100 цифри 11 чи 22 так, щоб цифр 11 та 22 була рівна кількість. Далі Василь щоразу пересуває по цій дошці фішку в сусідню по стороні клітинку та записує, на якій цифрі стоїть фішка. Чи завжди Василь може так поставити фішку й так обійти нею всі 10 00010\,000 клітинок рівно по одному разу, щоб отримана послідовність цифр утворювала паліндром?
6–7 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-057

Гарантований крок появи всіх чисел на дошці

Петрик вибирає два різних числа з множини {0,1,2,…,600}\{0, 1, 2, \ldots, 600\} та записує їх на дошці. Далі знову вибирає два різних числа із цієї множини (може, навіть ті самі, що й першого разу) та додає кожне з вибраних чисел до кожного числа, записаного на дошці. Після цього він записує всі отримані суми на дошці, а попередньо записані числа витирає. Наприклад, якщо на початку були вибрані числа 22 та 33, а далі числа 22 та 44, то після другого вибору на дошці будуть записані числа 44, 55, 66 і 77. При цьому якщо якась сума чисел перевищуватиме 600600, то Петрик замінить її остачею від ділення на 601601. І так далі: він знову вибирає два числа, додає кожне з них до кожного записаного числа, записує на дошці утворені суми й витирає попередній набір чисел. Після якого кроку на дошці буде гарантовано записане, принаймні один раз, кожне із чисел початкової множини {0,1,2,…,600}\{0, 1, 2, \ldots, 600\}?
6–7 класиНапівінваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-097

Обнулення таблиці ходами по рядках, стовпцях і діагоналях

У кожній одиничній комірці таблиці розміром m×nm \times n, m,n⩾3m, n \geqslant 3, записано ціле число. Діагоналлю назвемо групу комірок, у яких різниця між номером рядка та номером стовпчика є сталим числом. Наприклад, комірки (1,5)(1, 5), (2,6)(2, 6), (3,7)(3, 7), …\ldots утворюють діагональ, а от комірки (1,5)(1, 5), (2,4)(2, 4), (3,3)(3, 3), …\ldots діагональ не утворюють. Зазначимо, що окрема права верхня комірка таблиці сама також утворює діагональ. Ми можемо робити такі ходи: вибираємо деякий рядок, стовпчик або діагональ та додаємо 11 чи −1-1 до чисел, що стоять у вибраних комірках (до всіх вибраних чисел додаємо однакове число під час кожного ходу). Відомо, що в довільній частині таблиці розміром завбільшки 3×33 \times 3 ми можемо отримати такими ходами всі числа, що дорівнюватимуть 00, не змінюючи жодного іншого числа поза цим фрагментом 3×33 \times 3. Доведіть, що таким чином можна отримати таблицю із числом 00 у кожній комірці. На рис. 7.5 зображено приклад діагоналі та фрагмент 3×33 \times 3 таблиці. | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | 1 | | | | | | ♣ | | | | | 2 | | ◊ | ◊ | ◊ | | | ♣ | | | | 3 | | ◊ | ◊ | ◊ | | | | ♣ | | | 4 | | ◊ | ◊ | ◊ | | | | | ♣ | | 5 | | | | | | | | | | Рис. 7.5
9 класІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-100

Послідовність з нулів і одиниць та її періодичність

Послідовність (an)(a_n), що складається із чисел 00 та 11, для кожного k>2016k > 2016 задовольняє таку умову: ak=0⇔ak−1+ak−2+…+ak−2016>23.a_k = 0 \Leftrightarrow a_{k-1} + a_{k-2} + \ldots + a_{k-2016} > 23. Доведіть, що існує таке натуральне число TT, що для всіх достатньо великих kk справджується умова ak=ak+Ta_k = a_{k+T}.
9 класПеріодичні і неперіодичні послідо…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-047

Сто чисел у таблиці 10×10 без сусідньої різниці 1

Задано 100100 різних дійсних чисел. Доведіть, що їх можна розставити в клітинках таблиці розміром 10×1010 \times 10 так, щоб різниця ніяких двох чисел, що стоять у сусідніх по стороні клітинках, не дорівнювала 11.
7–8 класиНапівінваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-054

Обхід дошки з чергуванням прямих і діагональних ходів

Фішка стоїть у деякому одиничному квадратику (клітинці) mm шахівниці розміром n×nn \times n, n⩾2n \geqslant 2. Існують ходи двох типів: діагональні, коли фішка зі своєї клітинки переходить у клітинку, яка має рівно одну спільну з нею точку, та прямі, коли фішка переходить в сусідню по стороні клітинку. Для яких nn існує така початкова клітинка, що можна почати з неї діагональним ходом, а далі, чергуючи типи ходів, обійти всі клітинки дошки, побувавши на кожній рівно по одному разу?
7–8 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-055

Найбільша кількість n-цифрових чисел без сусідніх

Назвемо два натуральних числа сусідніми, якщо їхні десяткові записи відрізняються тільки однією цифрою в одному з розрядів (наприклад, числа 23 57823\,578 та 23 47823\,478 — сусідні). Визначте найбільшу кількість nn-цифрових чисел, серед яких не було б сусідніх.
7–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-008

Кількість ламаних для визначення кольору клітинки

Петрик нарисував на площині шахівницю розміром 8×88 \times 8 та розфарбував її клітинки в шаховому порядку. Після цього він вибрав клітинку, усередині якої поставив умовну точку. За один крок Василь рисує на площині довільну замкнену ламану без самоперетинів, яка може виходити за межі зображеної шахівниці, та отримує від Петрика відповідь на запитання: «Умовна точка розташована всередині чи зовні цієї ламаної?» За скільки кроків Василь може з’ясувати колір (чорний чи білий) тієї клітинки шахівниці, на якій розташована умовна точка?
5 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київський турнір математичних боївKMB-20-21-020

Найбільша кількість орлів, змій і мишей, що лишилася

У чарівному зоопарку є 66 орлів, 1717 змій та 5555 мишей. Орел не може з'їсти іншого орла, але може з'їсти змію чи мишу, при цьому він після того перетвориться на мишу чи змію відповідно. Змія не може з'їсти орла чи іншу змію, але може з'їсти мишу, після чого перетвориться в орла. Через певний проміжок часу в зоопарку жодна тварина, що лишилася, не могла з'їсти іншу тварину. Яка найбільша кількість тварин могла при цьому лишитися?
6–7 класиПарність і непарність
Київський турнір математичних боївKMB-20-21-070

Максимальна сума кубів очок тенісного турніру

У тенісному турнірі взяли участь 12 друзів, кожен із кожним зіграв рівно 1 матч. За перемогу нараховували 1 очко, за поразку — 0 очок. Відомо, що кількість очок, які набрали гравці, дорівнює відповідно B1,B2,…,B12B_1, B_2, \ldots, B_{12}. Якого максимального значення може набувати вираз S3=B13+B23+…+B123S_3 = B_1^3 + B_2^3 + \ldots + B_{12}^3?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київський турнір математичних боївKMB-20-21-039

Двоцифрові прості числа з карток 1, 3, 7, 9

У Петрика є чотири набори зі 101101 картки, на яких написано числа 11, 33, 77 і 99. Складіть із цих 404404 карток, кожну з яких можна використати лише один раз, рівно 202202 двоцифрових числа, поміж яких буде найменша можлива кількість простих чисел.
6–7 класиПарність і непарність
Київський турнір математичних боївKMB-20-21-040

Найбільша кількість Z-тетраміно в прямокутнику 10 × 5

Яку найбільшу кількість фігурок (Z-тетраміно), що зображено на рис. 7.7, можна так помістити в прямокутнику розміром 10×510 \times 5, який поділено на квадратики 1×11 \times 1, щоб вони не перекривалися та кожна точно покривала рівно 4 квадратики 1×11 \times 1? Примітка. Фігурки можна повертати та перегортати.
6–7 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київський турнір математичних боївKMB-20-21-009

Найбільша кількість Z-тетраміно на циліндрі 10 × 5

Із прямокутника розміром 10×510 \times 5, що поділений на квадратики 1×11 \times 1, зробили циліндр заввишки 55. Яку найбільшу кількість фігурок (Z-тетраміно), що зображено на рис. 7.7, можна приліпити на його бічну поверхню так, щоб вони не перекривалися та кожна точно покривала рівно 44 квадратики 1×11 \times 1? Примітка. Фігурки можна повертати та перегортати.
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київський турнір математичних боївKMB-20-21-073

Найбільша кількість Z-тетраміно на циліндрі 11 на 5

Із прямокутника розміром 11×511 \times 5, що поділений на квадратики 1×11 \times 1, зробили циліндр заввишки 55. Яку найбільшу кількість фігурок (Z-тетраміно), що зображено на рис. 7.7, можна приліпити на його бічну поверхню так, щоб вони не перекривалися та кожна точно покривала рівно 44 квадратики 1×11 \times 1? Примітка. Фігурки можна повертати та перегортати.
9 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київський турнір математичних боївKMB-20-21-094

Найбільша кількість Z-тетраміно в прямокутнику 11 × 5

Яку найбільшу кількість фігурок (ZZ-тетраміно), що зображено на рис. 7.7, можна помістити в прямокутнику розміром 11×511 \times 5, який поділили на квадратики 1×11 \times 1, так, щоб вони не перекривалися та кожна точно покривала рівно 4 квадратики 1×11 \times 1? Примітка. Фігурки можна повертати та перегортати.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-003

Жовті та сині блоки в лінії й обміни

Для натурального числа nn розглянемо впорядковані в лінію 2n2n блоків, одна половина з яких жовті, друга половина — сині. За правилами можна взяти два сусідніх блоки та поміняти їх місцями. Нехай AA — найменша кількість таких замін, щоб перші nn блоків були жовтими, а BB — найменша кількість таких замін, щоб перші nn блоків були синіми. Доведіть, що сума A+BA + B не залежить від початкового розташування блоків, і знайдіть цю величину.
7–8 класиПідрахунок двома способами
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-084

Послідовність з діленням на 3 або подвоєнням

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задовольняє такі умови: an+1={13an,якщо an⋮3,2an+1,якщо інакше.a_{n+1}=\begin{cases}\dfrac{1}{3}a_n, & \text{якщо } a_n \vdots 3,\\ 2a_n+1, & \text{якщо інакше.}\end{cases} Покажіть, що послідовність (an)(a_n) або нескінченно зростає, або стає з певного моменту послідовністю 1,3,1,3,1,…1, 3, 1, 3, 1, \ldots.
9 класПослідовності (інші властивості)
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-19-20-002

Кількість різних сум чисел на чотирьох картках

На першій картці з одного боку записано число 11, із другого — число 22; на другій картці з одного боку записано число 33, із другого — число 44; і так далі, на 5050-й картці з одного боку записано число 9999, із другого — число 100100. Настя вибирає довільні чотири картки та рахує суму всіх восьми чисел, що на них записані. Скільки різних результатів вона може отримати?
4 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-19-20-026

Послідовний відбір яблук від кожного десятого до кожного третього

На столі в ряд лежать 10021002 яблука. Василь бере кожне десяте яблуко (тобто десяте, двадцяте, тридцяте й т. д.). Після цього він бере кожне дев'яте з тих яблук, що залишилися, потім кожне восьме з тих, що залишилися, і т. д. Нарешті, він бере кожне третє з тих яблук, що залишилися на цей момент. Скільки яблук залишиться на столі після відбору кожного третього яблука?
5 класІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-19-20-049

П’ять чисел на картках і вічний рух

Програміст Антон Тригуб написав на картках 55 натуральних чисел і склав їх у стовпчик. Його друг Арсеній діє за такою програмою: рухається стільки метрів прямо, скільки написано на верхній картці, далі повертається на 90∘90^\circ проти руху годинникової стрілки, а верхня картка стає найнижчою. Потім він аналогічно вчиняє з новою верхньою карткою і так далі. Зупинитися він може лише тоді, коли повернеться в початкову точку. Чи може Антон записати такі числа, щоб Арсеній рухався вічно?
6–7 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.