Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

644 задачі
Теорія чиселМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-011

Нерівність для членів рекурентної послідовності

Нехай {an}n=1∞\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} — така послідовність натуральних чисел, що a1=a2=1a_1 = a_2 = 1, для всіх n≥3n \ge 3 an−1<na_{n-1} < n і an=aan−1+an−an−1a_n = a_{a_{n-1}} + a_{n - a_{n-1}}. Доведіть, що a2n≤2ana_{2n} \le 2a_n для всіх натуральних nn.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-002

Найбільший спільний дільник сусідніх членів послідовності

Нехай (an)(a_n) — така послідовність натуральних чисел, що для кожного натурального nn справджується рівність an+1=(n+1)(an−n+1)a_{n+1} = (n+1)(a_n - n + 1). Залежно від значення a1a_1 знайдіть найбільше натуральне число kk, для якого існує такий індекс i⩾2i \geqslant 2, що НСД(ai,ai+1)=k\text{НСД}(a_i, a_{i+1}) = k.
10–11 класиТеорема Вільсона
Балтійський шляхBW-2024-005

Обмеженість послідовності з параметром λ і середнім

Знайдіть усі додатні дійсні числа λ\lambda такі, що кожна послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots додатних дійсних чисел така, що an+1=λ⋅a1+a2+…+anna_{n+1} = \lambda \cdot \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} для всіх n⩾20242024n \geqslant 2024^{2024}, є обмеженою.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Балтійський шляхBW-2024-018

Нескінченна послідовність і простий дільник багатьох членів

Нескінченна послідовність додатних цілих чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots така, що an⩽2a_n \leqslant 2 та an+2a_{n+2} ділить an+1+ana_{n+1}+a_n для всіх n⩾1n \geqslant 1. Доведіть, що існує просте число, яке є дільником нескінченної кількості членів цієї послідовності.
10–11 класиПарність та непарність
Балтійський шляхBW-2024-019

Ціла сума відношень послідовних дільників і прості дільники

Чи існує додатне ціле число NN, яке ділиться принаймні на 2024 попарно різних простих чисел і чиї додатні дільники 1=d1<d2<…<dk=N1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = N такі, що число d2d1+d3d2+…+dkdk−1\frac{d_2}{d_1} + \frac{d_3}{d_2} + \ldots + \frac{d_k}{d_{k-1}} є цілим?
10–11 класиМетод математичної індукції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-005

Функції з однаковою кількістю дільників і умовою на НСД

Дано множину натуральних чисел N\mathbb{N}. Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, для яких для довільної пари натуральних чисел (x,y)(x, y) справджуються такі умови: - xx та f(x)f(x) мають однакову кількість натуральних дільників; - якщо xx не ділиться націло на yy, а yy не ділиться націло на xx, то НСД(f(x),f(y))>f(НСД(x,y)).\text{НСД}(f(x), f(y)) > f(\text{НСД}(x, y)). Примітка. Тут через НСД(m,n)\text{НСД}(m, n) позначено найбільший спільний дільник чисел, тобто найбільше натуральне число, що ділить числа mm та nn одночасно.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-002

Строго зростаюча функція з тотожністю для сум

Нехай Z+\mathbb{Z}^+ — множина натуральних чисел. Знайдіть усі строго зростаючі функції Z+→Z+\mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+, для яких f(1)=1f(1) = 1 і які задовольняють рівняння 3⋅(f(1)+f(2)+⋯+f(n))=f(n+1)+f(n+2)+⋯+f(2n)3 \cdot (f(1) + f(2) + \dots + f(n)) = f(n+1) + f(n+2) + \dots + f(2n) для всіх n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-004

Рекурентні множини та оцінки їх потужностей

Для множин SS і TT, що складаються з додатних дійсних чисел, визначимо S+T={s+t∣s∈S,t∈T}S + T = \{s + t \mid s \in S, t \in T\} і 1S={1s∣s∈S}\frac{1}{S} = \{\frac{1}{s} \mid s \in S\}. Визначимо множини A1,A2,A3,…A_1, A_2, A_3, \dots рекурентно як A1={1}A_1 = \{1\} і An=⋃i=1n−1((Ai+An−i)∪(11Ai+1An−i))A_n = \bigcup_{i=1}^{n-1} \left( (A_i + A_{n-i}) \cup \left( \frac{1}{\frac{1}{A_i} + \frac{1}{A_{n-i}}} \right) \right) для всіх цілих n≥2n \ge 2. Доведіть, що для всіх цілих n≥1n \ge 1 виконується 2n−1≤∣An∣≤8n.2^{n-1} \le |A_n| \le 8^n.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-041

Хороші числа зі зображовними дільниками

Для цілих чисел aa і n>0n > 0 кажемо, що aa є n-зображовним, якщо його можна записати як суму різних додатних дільників числа nn. Натуральне число nn називається хорошим, якщо з того, що aa є n-зображовним, випливає, що a−1a-1 є n-зображовним, для всіх a≥1a \ge 1. Визначте, для яких nn обидва числа n!n! і nnn^n є хорошими.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-033

Кількість слів і подільність на степені трійки

Нехай kk — невід'ємне ціле число, а AA — непорожня скінченна множина. Визначимо слово з алфавіту AA довжини kk як послідовність елементів AA довжини kk. (Зауважимо, що за означенням порожня послідовність є словом довжини 00.) Нехай BB — множина всіх слів з дев'ятиелементного алфавіту {b,@,l,t,i,c,w,a,y}\{b, @, l, t, i, c, w, a, y\}, довжини яких не перевищують 20232023. Крім того, нехай MM — множина всіх слів з чотириелементного алфавіту {m,a,t,h}\{m, a, t, h\}, довжини яких не перевищують 20252025 і які містять елемент tt рівно двічі. (Наприклад, tata∈Mtata \in M, бо воно має довжину 44 і містить літеру tt двічі, але mahatma∉Mmahatma \notin M, бо воно містить літеру tt лише один раз.) Доведіть, що різниця ∣B∣−∣M∣|B| - |M| ділиться на 320233^{2023}.
10–11 класиРекурентний підрахунок3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-008

Найменша кількість частин смужки для квадрата з подільністю

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Пол має прямокутну смужку 1×n21 \times n^{2}, що складається з n2n^{2} одиничних квадратиків, де i-йi^{\text{-й}} квадратик позначено числом ii для всіх 1⩽i⩽n21 \leqslant i \leqslant n^{2}. Він хоче розрізати смужку на кілька частин, кожна з яких складається з кількох послідовних одиничних квадратиків, а потім паралельним перенесенням (без поворотів і перегортань) скласти з цих частин квадрат n×nn \times n з такою властивістю: якщо одиничний квадратик в i-йi^{\text{-й}} рядку та j-йj^{\text{-й}} стовпчику позначено числом aija_{ij}, то aij−(i+j−1)a_{ij}-(i+j-1) ділиться на nn. Знайдіть найменшу кількість частин, на які Полу потрібно розрізати смужку, щоб це здійснити.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-009

Скрині зі скарбами з обмеженою різницею

Еліза має 2023 скрині зі скарбами, усі вони спочатку відімкнені й порожні. Щодня Еліза додає новий самоцвіт в одну з відімкнених скринь на свій вибір, а після цього фея діє за такими правилами: - якщо відімкнено більше ніж одну скриню, вона замикає одну з них, або - якщо відімкнена лише одна скриня, вона відмикає всі скрині. Відомо, що цей процес триває нескінченно довго. Доведіть, що існує стала CC з такою властивістю: Еліза може забезпечити, щоб різниця між кількостями самоцвітів у будь-яких двох скринях ніколи не перевищувала CC, незалежно від того, як фея вибирає скрині для замикання.
10–11 класиЖадібний алгоритм2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-010

Розбиття дошки на монотонні шляхи

Нехай NN — натуральне число, розглянемо клітинну дошку N×NN \times N. Шляхом вправо-вниз називається послідовність клітин дошки, в якій кожна клітина розташована або на одну клітину праворуч, або на одну клітину нижче від попередньої клітини в послідовності. Шляхом вправо-вгору називається послідовність клітин дошки, в якій кожна клітина розташована або на одну клітину праворуч, або на одну клітину вище від попередньої клітини в послідовності. Доведіть, що клітини дошки N×NN \times N не можна розбити на менше ніж NN шляхів вправо-вниз або вправо-вгору. Наприклад, таке розбиття дошки 5×55 \times 5 використовує 5 шляхів.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-004

Найдовша послідовність дійсних чисел з двома умовами

Для кожного натурального n⩾2n \geqslant 2 знайдіть таке найбільше натуральне NN, що існують N+1N + 1 дійсне число a0,a1,…,aNa_0, a_1, \ldots, a_N, для яких: 1) a0+a1=−1na_0 + a_1 = -\frac{1}{n}; 2) (ak+ak−1)(ak+ak+1)=ak−1−ak+1(a_k + a_{k-1})(a_k + a_{k+1}) = a_{k-1} - a_{k+1}, де 1⩽k⩽N−11 \leqslant k \leqslant N - 1.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-003

Розставлення непарних простих чисел по колу

Задано натуральне число kk та скінченну множину SS, що складається з непарних простих чисел. Доведіть, що існує не більше ніж один спосіб (з точністю до поворотів та симетрій) розставити всі елементи множини SS по колу таким чином, щоб добуток довільних двох сусідніх чисел можна було подати у вигляді x2+x+kx^2 + x + k для деякого натурального числа xx.
10–11 класиМетод математичної індукції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2021-001

Фантастичність степеня 2021²⁰²¹ за трійками m, 2m+1, 3m

Відомо, що число 20212021 є фантастичним. Для кожного натурального mm справджується таке твердження: якщо хоча б один елемент множини {m, 2m+1, 3m}\{m,\ 2m+1,\ 3m\} є фантастичним, то й усі інші елементи множини є фантастичними. Чи правильно, що число 202120212021^{2021} є фантастичним?
10–11 класиЗв’язність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-002

Нерівність з сумами коренів з модулів сум і різниць

Доведіть, що нерівність ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣⩽∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i+x_j|} справджується для довільних дійсних x1,…,xnx_1, \ldots, x_n.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-019

Подільність зваженої суми для перестановок

Знайдіть усі цілі числа n⩾2n \geqslant 2 з такою властивістю: будь-які nn попарно різних цілих чисел, сума яких не ділиться на nn, можна розташувати в деякому порядку a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} так, щоб nn ділило 1⋅a1+2⋅a2+⋯+n⋅an1 \cdot a_{1}+2 \cdot a_{2}+\cdots+n \cdot a_{n}.
10–11 класиРозв’язування конгруенцій ax ≡ b…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-006

Кусково задана послідовність з оцінкою суми

Дійсну послідовність (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^{\infty} задано рекурентно початковим значенням a0=2a_0 = 2 і рекурентною формулою an={an−12якщо an−1<3an−123якщо an−1≥3.a_n = \begin{cases} a_{n-1}^2 & \text{якщо } a_{n-1} < \sqrt{3} \\ \frac{a_{n-1}^2}{3} & \text{якщо } a_{n-1} \ge \sqrt{3}. \end{cases} Іншу дійсну послідовність (bn)n=1∞(b_n)_{n=1}^{\infty} визначено через першу формулою bn={0якщо an−1<312nякщо an−1≥3,b_n = \begin{cases} 0 & \text{якщо } a_{n-1} < \sqrt{3} \\ \frac{1}{2^n} & \text{якщо } a_{n-1} \ge \sqrt{3}, \end{cases} яка виконується для кожного n≥1n \ge 1. Доведіть, що b1+b2+⋯+b2020<23.b_1 + b_2 + \dots + b_{2020} < \frac{2}{3}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-038

Подільність добутків елементів множин

Нехай AA і BB — множини натуральних чисел, причому ∣A∣≥2|A| \ge 2 і ∣B∣≥2|B| \ge 2. Нехай SS — множина, що складається з ∣A∣+∣B∣−1|A| + |B| - 1 чисел вигляду abab, де a∈Aa \in A і b∈Bb \in B. Доведіть, що існують попарно різні x,y,z∈Sx, y, z \in S такі, що xx є дільником yzyz.
10–11 класиМетод математичної індукції
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-002

Прості дільники добутку значень 3x²+1

Нехай f(x)=3x2+1f(x)=3x^2+1. Доведіть, що для довільного натурального nn добуток f(1)⋅f(2)⋅…⋅f(n)f(1)\cdot f(2)\cdot\ldots\cdot f(n) має не більше ніж nn різних простих дільників.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-005

Числа на дошці і отримання чисел -2020 та 2020

На дошці записано 2020 натуральних чисел. Щохвилини Зумінг витирає два числа та замість них записує на дошці одне із чисел: їхню суму, різницю, добуток або частку. Наприклад, якщо Зумінг витирає числа 6 і 3, то замість них він може записати одне із чисел множини {6+3, 6−3, 3−6, 6⋅3, 6:3, 3:6}={9, 3, −3, 18, 2, 12}.\{6+3,\ 6-3,\ 3-6,\ 6\cdot 3,\ 6:3,\ 3:6\}=\left\{9,\ 3,\ -3,\ 18,\ 2,\ \frac{1}{2}\right\}. Через 2019 хвилин Зумінг записав на дошці єдине число −2020-2020. Доведіть, що Зумінг міг останнім записати число 2020, використовуючи ті самі правила та почавши з тих же 2020 початкових чисел.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2020-001

Послідовність з рекурентним співвідношенням і подільність

Натуральні числа a0,a1,a2,…,a3030a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{3030} задовольняють умови: 2an+2=an+1+4an,n=0,3028‾.2a_{n+2} = a_{n+1} + 4a_n, \quad n = \overline{0, 3028}. Доведіть, що хоча б одне із чисел a0,a1,a2,…,a3030a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{3030} ділиться на 220202^{2020}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-001

Оптимальна стала в нерівності з коренем

Варіант 1. Нехай nn — натуральне число, і покладемо N=2nN=2^{n}. Знайдіть найменше дійсне число ana_{n} таке, що для всіх дійсних xx, x2N+12N⩽an(x−1)2+x.\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant a_{n}(x-1)^{2}+x . Варіант 2. Для кожного натурального числа NN знайдіть найменше дійсне число bNb_{N} таке, що для всіх дійсних xx, x2N+12N⩽bN(x−1)2+x\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant b_{N}(x-1)^{2}+x
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-004

Сума з обмеженою послідовністю та квадратними коренями

Нехай nn і kk — натуральні числа. Доведіть, що для a1,…,an∈[1,2k]a_{1}, \ldots, a_{n} \in [1,2^{k}] виконується ∑i=1naia12+…+ai2⩽4kn\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{\sqrt{a_{1}^{2}+\ldots+a_{i}^{2}}} \leqslant 4 \sqrt{k n}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.