Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

505 задач
АлгебраНерівність Коші
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2025-001

Сума дробів (a²+bc)²/(b+c) для додатних a, b, c

Для додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c доведіть, що справджується нерівність: (a2+bc)2b+c+(b2+ca)2c+a+(c2+ab)2a+b⩾2abc(a+b+c)2ab+bc+ca.\dfrac{(a^2+bc)^2}{b+c} + \dfrac{(b^2+ca)^2}{c+a} + \dfrac{(c^2+ab)^2}{a+b} \geqslant \dfrac{2abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}.
7–9 класиНерівність Коші-Буняковського
Балтійський шляхBW-2024-004

Найбільше α для нерівності з x, y і z

Знайдіть найбільше дійсне число α\alpha таке, що для всіх невід'ємних дійсних чисел x,yx, y і zz справджується нерівність: (x+y+z)3+α(x2z+y2x+z2y)⩾α(x2y+y2z+z2x).(x+y+z)^3 + \alpha(x^2z+y^2x+z^2y) \geqslant \alpha(x^2y+y^2z+z^2x).
10–11 класиНерівність Коші
Європейський математичний кубокEMC-2024-002

Максимум суми мінімумів і мінімум суми максимумів

Нехай XX — найбільше можливе значення виразу min⁡{bc,2−a2}+min⁡{ac,2−b2}+min⁡{ab,2−c2},\min\{bc, 2-a^2\} + \min\{ac, 2-b^2\} + \min\{ab, 2-c^2\}, де aa, bb та cc — довільні додатні дійсні числа. Аналогічно, нехай YY — найменше можливе значення виразу max⁡{2−bc,a2}+max⁡{2−ac,b2}+max⁡{2−ab,c2},\max\{2-bc, a^2\} + \max\{2-ac, b^2\} + \max\{2-ab, c^2\}, де aa, bb та cc — довільні додатні дійсні числа. Доведіть, що X=YX = Y.
7–10 класиНерівність Коші
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2024-001

Нерівність для додатних чисел із сумою квадратів

Дано додатні дійсні числа aa, bb, cc такі, що a2+b2+c2=14a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}. Доведіть, що справджується нерівність 1b2+c2+1c2+a2+1a2+b2⩽2(a+b)(b+c)(c+a).\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \leqslant \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}.
7–9 класиНерівність Коші
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-006

Мінімізація суми за циклічної умови на добуток

Нехай nn — натуральне число, x1,…,xnx_1, \dots, x_n і y1,…,yny_1, \dots, y_n — додатні дійсні числа, що задовольняють xn=nx_n = n і yiyi+1≥1y_i y_{i+1} \ge 1 при 1≤i<n1 \le i < n та yny1≥1y_n y_1 \ge 1. Крім того, нехай x0=0x_0 = 0. Визначте найменше можливе значення виразу ∑i=1n(xi−xi−1)2+yi.\sum_{i=1}^{n} \sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + y_i}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-009

Найменше значення дробу зі степенями

Знайдіть найменше можливе значення x2023+20317x7+7x17\frac{x^{2023} + 203}{17x^7 + 7x^{17}} при всіх додатних дійсних xx.
10–11 класиНерівність Коші3 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-001

Додатні числа і вирази з тим самим упорядкуванням

Задано n⩾3n \geqslant 3 додатних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. Для кожного 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n покладемо bi=ai−1+ai+1aib_i = \dfrac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i} (тут уважаємо, що a0=ana_0 = a_n та a1=an+1a_1 = a_{n+1}). Припустимо, що для всіх ii та jj від 11 до nn справджується твердження ai⩽aja_i \leqslant a_j тоді й тільки тоді, коли bi⩽bjb_i \leqslant b_j.
10–11 класиНерівність Коші
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-003

Різні додатні числа та цілі значення коренів сум

Нехай x1,x2,…,x2023x_1, x_2, \ldots, x_{2023} — це попарно різні додатні дійсні числа, такі що число an=(x1+x2+…+xn)(1x1+…+1xn)a_n = \sqrt{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n)\left(\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}\right)} є цілим для всіх n=1,2023‾n = \overline{1, 2023}. Доведіть, що a2023⩾3034a_{2023} \geqslant 3034.
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-001

Мінімізація суми абсолютних відхилень

Професор Оук годує своїх 100 покемонів. Кожен покемон має миску, місткість якої — додатне дійсне число кілограмів. Ці місткості відомі професору Оуку. Сумарна місткість усіх мисок становить 100 кілограмів. Професор Оук розподіляє 100 кілограмів їжі так, що кожен покемон отримує невід'ємну цілу кількість кілограмів їжі (яка може бути більшою за місткість його миски). Рівень незадоволення покемона, який отримав NN кілограмів їжі і чия миска має місткість CC кілограмів, дорівнює ∣N−C∣|N-C|. Знайдіть найменше дійсне число DD таке, що незалежно від місткостей мисок професор Оук може розподілити їжу так, щоб сума рівнів незадоволення всіх 100 покемонів була не більшою за DD.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-004

Кількість і сума дільників та корінь із числа

Для кожного натурального nn позначимо через τ(n)\tau(n) кількість додатних дільників числа nn, а через σ(n)\sigma(n) — суму всіх додатних дільників числа nn. Знайдіть усі натуральні nn, що задовольняють рівність σ(n)=τ(n) [x]⋅n [x].\sigma(n) = \tau(n)\,[x] \cdot \sqrt{n}\,[x]. Примітка. Тут через [x][x] позначено найменше ціле число, що не менше за xx.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-002

Функції з єдиним y для нерівності

Нехай R+=(0,+∞)\mathbb{R}^{+} = (0, +\infty). Знайдіть усі такі функції f:R+→R+f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}, що для всіх чисел x∈R+x \in \mathbb{R}^{+} існує єдине число y∈R+y \in \mathbb{R}^{+}, для якого справджується нерівність xf(y)+yf(x)⩽2.xf(y) + yf(x) \leqslant 2.
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-003

Нерівність для послідовності з квадратичною умовою

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — ціле число, а x0,x1,…,xn+1x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n+1} — n+2n+2 невід'ємних дійсних чисел, які задовольняють xixi+1−xi−12⩾1x_{i} x_{i+1}-x_{i-1}^{2} \geqslant 1 для всіх i=1,2,…,ni=1,2, \ldots, n. Доведіть, що x0+x1+⋯+xn+xn+1>(2n3)3/2x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{n}+x_{n+1}>\left(\frac{2 n}{3}\right)^{3 / 2}
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-003

Циклічна нерівність з добутком 1

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, для яких abc=1abc = 1. Доведіть, що ab(c+1)+bc(a+1)+ca(b+1)≥32.\frac{a}{b(c+1)} + \frac{b}{c(a+1)} + \frac{c}{a(b+1)} \ge \frac{3}{2}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2020-002

Набори невід'ємних чисел з перестановкою і рівністю

Знайдіть усі набори невід'ємних дійсних чисел (x1,x2,…,x2020)(x_1, x_2, \ldots, x_{2020}) таких, що задовольняють три умови: - x1⩽x2⩽…⩽x2020x_1 \leqslant x_2 \leqslant \ldots \leqslant x_{2020}; - x2020⩽x1+1x_{2020} \leqslant x_1 + 1; - існує така перестановка (y1,y2,…,y2020)(y_1, y_2, \ldots, y_{2020}) набору (x1,x2,…,x2020)(x_1, x_2, \ldots, x_{2020}), що ∑i=12020((xi+1)(yi+1))2=8∑i=12020xi3.\sum_{i=1}^{2020} \bigl((x_i + 1)(y_i + 1)\bigr)^2 = 8 \sum_{i=1}^{2020} x_i^3. Примітка. Перестановкою набору називають набір тієї самої довжини з тими самими елементами, але ці елементи можуть іти в довільному порядку. Наприклад, набір чисел (2,1,2)(2, 1, 2) є перестановкою набору (1,2,2)(1, 2, 2), а ці два набори є перестановками набору (2,2,1)(2, 2, 1). Зауважте, що будь-який набір є перестановкою самого себе.
10–11 класиНерівність Коші
Європейський математичний кубокEMC-2020-004

Додатні числа з умовою та нерівність з коренями

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, що задовольняють умову ab+bc+ca=a+b+cab + bc + ca = a + b + c. Доведіть, що справджується нерівність a+bc+b+ca+c+ab⩽2⋅min⁡{ab+bc+ca,ba+cb+ac}.\sqrt{a+\frac{b}{c}}+\sqrt{b+\frac{c}{a}}+\sqrt{c+\frac{a}{b}} \leqslant \sqrt{2} \cdot \min\left\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}, \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right\}.
7–10 класиНерівність Коші
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-002

Нерівність із сумою дробів від a, b, c

Нехай aa, bb, cc — додатні числа. Доведіть, що справджується нерівність 1ab(b+1)(c+1)+1bc(c+1)(a+1)+1ca(a+1)(b+1)⩾3(1+abc)2.\frac{1}{ab(b+1)(c+1)}+\frac{1}{bc(c+1)(a+1)}+\frac{1}{ca(a+1)(b+1)} \geqslant \frac{3}{(1+abc)^2}.
7–10 класиНерівність Коші
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2020-002

Нерівність для впорядкованих чисел із сумою 1

Дано дійсні числа aa, bb, cc, dd такі, що a⩾b⩾c⩾d>0a \geqslant b \geqslant c \geqslant d > 0 та a+b+c+d=1a + b + c + d = 1. Доведіть, що (a+2b+3c+4d) aabbccdd<1.(a+2b+3c+4d)\,a^a b^b c^c d^d < 1.
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-001

Оптимальна стала в нерівності з коренем

Варіант 1. Нехай nn — натуральне число, і покладемо N=2nN=2^{n}. Знайдіть найменше дійсне число ana_{n} таке, що для всіх дійсних xx, x2N+12N⩽an(x−1)2+x.\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant a_{n}(x-1)^{2}+x . Варіант 2. Для кожного натурального числа NN знайдіть найменше дійсне число bNb_{N} таке, що для всіх дійсних xx, x2N+12N⩽bN(x−1)2+x\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant b_{N}(x-1)^{2}+x
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-013

Відношення ребер тетраедра та кути між площинами

Дві точки MM і NN вибрано на ребрі BCBC тетраедра ABCDABCD так, що точка MM лежить між BB і NN, точка NN лежить між MM і CC, а кут між площинами ANDAND і ACDACD дорівнює куту між площинами AMDAMD і ABDABD. Доведіть, що MBMC+NBNC≥2⋅∣△ABD∣∣△ACD∣,\frac{MB}{MC} + \frac{NB}{NC} \ge 2 \cdot \frac{|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}, де ∣△ABD∣|\triangle ABD| — площа трикутника △ABD\triangle ABD, і аналогічно ∣△ACD∣|\triangle ACD| — площа △ACD\triangle ACD.
10–11 класиВідношення площ трикутників2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-003

Нерівність з кубами та коренем

Для всіх невід'ємних дійсних чисел xx, yy, zz таких, що x≥yx \ge y, доведіть нерівність x3−y3+z3+16≥(x−y)xyz.\frac{x^3 - y^3 + z^3 + 1}{6} \ge (x - y) \sqrt{xyz}.
10–11 класиНерівність Коші2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-004

Нерівність з умовою на добуток

Нехай a,b,c,da, b, c, d — додатні числа такі, що abcd=1abcd = 1. Доведіть нерівність 1a+2b+3c+10+1b+2c+3d+10+1c+2d+3a+10+1d+2a+3b+10≤1.\frac{1}{\sqrt{a + 2b + 3c + 10}} + \frac{1}{\sqrt{b + 2c + 3d + 10}} + \frac{1}{\sqrt{c + 2d + 3a + 10}} + \frac{1}{\sqrt{d + 2a + 3b + 10}} \le 1.
10–11 класиНерівність Коші
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-005

Циклічна сума дробів a²-b² поділена на a+bc при abc=1

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, що задовольняють умову abc=1abc=1. Доведіть, що справджується нерівність a2−b2a+bc+b2−c2b+ca+c2−a2c+ab⩽a+b+c−3.\frac{a^2-b^2}{a+bc}+\frac{b^2-c^2}{b+ca}+\frac{c^2-a^2}{c+ab}\leqslant a+b+c-3.
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-011

Чотирикутник AB = AD з точкою T на AC

ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AB=ADAB = AD. TT — точка на діагоналі ACAC така, що ∠ABT+∠ADT=∠BCD\angle ABT + \angle ADT = \angle BCD. Доведіть, що AT+AC≥AB+ADAT + AC \geq AB + AD.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-009

Цілі четвірки з квадратичною та лінійною умовами

Знайдіть усі четвірки цілих чисел (a,b,c,d)(a, b, c, d), які задовольняють рівняння {−a2+b2+c2+d2=13a+b+c+d=1.\begin{cases} -a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1 \\ 3a + b + c + d = 1. \end{cases}
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-021

Вирівнювання рахунків телефонними дзвінками

Мобільний оператор має nn клієнтів і проводить таку рекламну кампанію. На початку він зараховує 11 € на рахунок кожного клієнта. Коли двоє людей, які мають на рахунках aa € і bb €, спілкуються телефоном, оператор прирівнює обидва рахунки до (a+b)(a + b) €. Виявляється, що після h(m)h(m) телефонних дзвінків рахунки всіх nn клієнтів стали дорівнювати mm €. Доведіть, що h(m)≤12nlog⁡2mh(m) \le \frac{1}{2} n \log_2 m.
10–11 класиНапівінваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.