Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

480 задач
КомбінаторикаПарність і непарність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-13-14-006

Двоколірна дошка n × n з двома одноколірними шляхами

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — непарне натуральне число. Кожну клітинку дошки розміром n×nn \times n пофарбовано в жовтий або блакитний колір. Назвемо послідовність клітин S1,S2,…,SmS_1, S_2, \ldots, S_m шляхом, якщо всі вони одного кольору та клітинки SiS_i та SjS_j мають спільне ребро тоді і лише тоді, коли ∣i−j∣=1|i - j| = 1. Припустимо, що всі клітинки жовтого кольору утворюють шлях і всі клітинки блакитного кольору утворюють шлях. Доведіть, що один із двох шляхів починається або закінчується в центрі дошки.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-008

Солдати в шерензі та двоє в кінці тренування

Капітан Петренко знову вишикував роту солдатів в одну шеренгу обличчям до себе і проводить з ними наступне стройове тренування. За його командою один із солдатів, що стоїть обличчям до капітана, але не є крайнім у шерензі, робить крок уперед і йде геть, а два його сусіди повертаються кругом, після чого шеренга змикається. Такі операції повторюються, доки це можливо. Для якої початкової кількості солдатів тренування може бути проведеним так, щоб у кінцевій ситуації в шерензі залишилися лише два солдати?
10–11 класиОстача від ділення
Європейський математичний кубокEMC-2024-006

Магічні кругові інтервали та непарна кількість відмічених чисел

Нехай nn — натуральне число. Числа 1,2,…,2n+11, 2, \ldots, 2n+1 розташовані по колу в указаному порядку, і деякі з них відмічені. Ми визначаємо для кожного k∈{1,2,…,2n+1}k \in \{1, 2, \ldots, 2n+1\} замкнений круговий інтервал IkI_k, що починається числом kk і закінчується числом k+nk+n, де додавання відбувається за модулем 2n+12n+1. Ми називаємо інтервал IkI_k магічним, якщо він містить строго більше половини всіх відмічених елементів. Доведіть, що наступні два твердження еквівалентні: - принаймні n+1n+1 з інтервалів I1,I2,…,I2n+1I_1, I_2, \ldots, I_{2n+1} є магічними; - кількість відмічених чисел непарна.
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-011

Зафарбовування дошки квадратами два на два

Нехай nn — натуральне число. Дано дошку n×nn \times n, клітинка у верхньому лівому куті спочатку зафарбована в чорний колір, а інші клітинки зафарбовані в білий. Потім до дошки застосовують серію операцій фарбування. У кожній операції вибирають квадрат 2×22 \times 2 з рівно однією чорною клітинкою і фарбують решту три клітинки цього квадрата 2×22 \times 2 в чорний колір. Визначте всі значення nn, для яких можна зафарбувати всю дошку в чорний колір.
10–11 класиДерева2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-001

Перестановки слонів стрибками з першого в останній рядок

Нехай nn — це натуральне число. У клітинках першого рядка шахової дошки розміром 2n×2n2^n \times 2^n стоять шахові слони, пронумеровані зліва направо числами від 11 до 2n2^n. Назвемо стрибком одночасний хід усіх слонів, що задовольняє такі умови: - кожен слон переміщується на декілька клітинок уздовж деякої діагоналі; - наприкінці стрибків усі слони стоять у різних клітинках одного рядка. Знайдіть кількість можливих перестановок σ\sigma чисел 1,2,…,2n1, 2, \ldots, 2^n, що задовольняють таку умову: існує послідовність стрибків така, що в кінці всі слони опиняться в останньому рядку та розташовуються в порядку σ(1),σ(2),…,σ(2n)\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(2^n) зліва направо.
10–11 класиСистеми числення
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-025

Замкнений маршрут по сітці з поворотами

Perseverance — марсохід NASA, який досліджує цю планету. Щодня він стартує з домашньої бази, а далі рухається на північ, південь, схід або захід. Кожного кілометра робот робить один поворот на 90∘90^\circ. Крім того, робот не хоче відвідувати те саме місце двічі протягом дня (за винятком домашньої бази, яка завжди є початковою та кінцевою точкою його маршруту). Які можливі довжини маршруту робота?
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-026

Цикли робота на квадратній решітці

Робот рухається лініями нескінченної квадратної решітки. Він стартує в точці перетину та повертає на 90∘90^\circ в кожній точці перетину, яку зустрічає. У певний момент він досягає своєї початкової точки, не відвідавши жодної іншої точки двічі. Які можливі довжини шляху робота?
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-030

Ґратковий многокутник з рівними площею і периметром

Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого можна накреслити nn-кутник уздовж ліній квадратної решітки так, щоб його периметр дорівнював nn, а площа дорівнювала nn. При цьому межа nn-кутника не може проходити через жодну точку більше ніж один раз.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-032

Точки на колі зі зміною кольорів

На колі позначено декілька точок. Кожна позначена точка пофарбована в червоний, зелений або синій колір. За один хід можна стерти дві позначені точки різних кольорів, між якими немає позначених точок, і позначити нову точку між місцями стертих точок третім кольором. У кінцевому стані всі позначені точки мають однаковий колір, який називається кольором кінцевого стану. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує початковий стан з nn позначених точок з одним відсутнім кольором, з якого можна досягти кінцевого стану будь-якого з трьох кольорів, застосувавши відповідну послідовність ходів.
10–11 класиПарність і непарність2 розв’язки
Європейський математичний кубокEMC-2023-007

Найбільша розділена підмножина двійкових послідовностей

Дано натуральне число nn. Нехай BnB_n — це множина всіх двійкових послідовностей завдовжки nn. Для двійкової послідовності s1s2…sns_1s_2\ldots s_n визначимо її зміну таким чином. Спершу порахуємо, зі скількох блоків послідовних однакових цифр складається ця послідовність. Позначимо цю кількість як bb. Тоді замінимо член послідовності sbs_b на число 1−sb1-s_b. Послідовність (a)(a) назвемо нащадком послідовності (b)(b), якщо aa можна отримати з підмножини bb за допомогою скінченної кількості змін. Підмножину множини BnB_n назвемо розділеною, якщо жодні два елементи цієї підмножини не мають спільного нащадка. Знайдіть найбільшу кількість елементів, яку може мати розділена підмножина множини BnB_n.
10–11 класиЗв’язність
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-011

Непарні значення в монотонній бієкції ґратки

Нехай Z⩾0\mathbb{Z}_{\geqslant 0} — множина невід'ємних цілих чисел, а f:Z⩾0×Z⩾0→Z⩾0f: \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \times \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\geqslant 0} — бієкція така, що щоразу, коли f(x1,y1)>f(x2,y2)f\left(x_{1}, y_{1}\right)>f\left(x_{2}, y_{2}\right), виконується f(x1+1,y1)>f(x2+1,y2)f\left(x_{1}+1, y_{1}\right)>f\left(x_{2}+1, y_{2}\right) і f(x1,y1+1)>f(x2,y2+1)f\left(x_{1}, y_{1}+1\right)>f\left(x_{2}, y_{2}+1\right). Нехай NN — кількість пар цілих чисел (x,y)(x, y), де 0⩽x,y<1000 \leqslant x, y<100, таких, що f(x,y)f(x, y) непарне. Знайдіть найменше й найбільше можливі значення NN.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-031

Описаний многокутник із послідовними сторонами

Для яких значень nn існує описаний nn-кутник зі сторонами 1,2,…,n1, 2, \dots, n (у довільному порядку)?
10–11 класиВписане коло
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-005

Обміни горішків-сусідів у ямках навколо дерева

Івасик і Телесик зібрали на зиму 20212021 горішок. Івасик пронумерував горішки числами від 11 до 20212021 та вирив 20212021 ямку навколо їхнього улюбленого дерева. Наступного ранку він побачив, що Телесик поклав у кожну ямку по одному горішку, геть не турбуючись про порядок горішків. Івасик засмутився та вирішив упорядкувати горішки через таку послідовність з 20212021 дії: протягом kk-ї дії він міняє місцями горішки, що є сусідніми з горішком за номером kk. Доведіть, що знайдеться таке kk, коли впродовж kk-ї дії помінялися місцями горішки з номерами aa і bb, де a<k<ba < k < b.
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-013

Кругові обміни наперстків з нерівностями

У фокусника є 2021 наперсток з номерами від 1 до 2021. Наперстки розставлено по колу в довільному порядку. Фокусник виконує послідовність із 2021 ходів; на k-муk^{\text{-му}} ході він міняє місцями два наперстки, сусідні з наперстком kk. Доведіть, що існує таке значення kk, що на k-муk^{\text{-му}} ході фокусник міняє місцями деякі наперстки aa і bb такі, що a<k<ba < k < b.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-017

Перестановки з попарним розділенням у стовпцях

Визначте найбільше NN, для якого існує таблиця TT цілих чисел з NN рядками та 100 стовпцями, що має такі властивості: (i) Кожен рядок містить числа 1,2,…,1001,2, \ldots, 100 у деякому порядку. (ii) Для будь-яких двох різних рядків rr і ss існує стовпець cc такий, що ∣T(r,c)−T(s,c)∣⩾2|T(r, c)-T(s, c)| \geqslant 2. Тут T(r,c)T(r, c) означає число на перетині рядка rr та стовпця cc.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Європейський математичний кубокEMC-2020-006

Пари n і k з різними k-мутаціями перестановок

Нехай nn та kk — натуральні числа. Кортеж (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) називають перестановкою, якщо кожне число з множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} трапляється в ньому рівно один раз. Для перестановки (p1,p2,…,pn)(p_1, p_2, \ldots, p_n) назвемо kk-мутацією такий кортеж (p1+p1+k,p2+p2+k,…,pn+pn+k),(p_1 + p_{1+k}, p_2 + p_{2+k}, \ldots, p_n + p_{n+k}), де індекси пораховано за модулем nn. Знайдіть усі такі пари чисел (n,k)(n, k), для яких кожні дві різні перестановки мають різні kk-мутації. Примітка. Наприклад, якщо (n,k)=(4,2)(n, k) = (4, 2), то 22-мутацією перестановки (1,2,4,3)(1, 2, 4, 3) є кортеж (1+4,2+3,4+1,3+2)=(5,5,5,5)(1 + 4, 2 + 3, 4 + 1, 3 + 2) = (5, 5, 5, 5).
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-023

Парність кроків фіксованої довжини в тривимірній решітці

Нехай nn — натуральне число. Ельфійка Ельфі живе у тривимірному просторі Z3\mathbb{Z}^3. Вона починає з початку координат: (0,0,0)(0,0,0). Кожного ходу вона може телепортуватися в будь-яку точку з Z3\mathbb{Z}^3, що лежить на відстані n\sqrt{n} від її поточного розташування. Однак телепортація — складна процедура. Спочатку Ельфі нормальна, але з першою телепортацією вона стає дивною. Наступного разу, коли вона телепортується, вона знову стає нормальною, потім знову дивною... і т. д. Для яких nn Ельфі може потрапити в будь-яку задану точку з Z3\mathbb{Z}^3 і бути нормальною, коли дістанеться туди?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-003

Суми обернених чисел з підмножин

Для будь-якої множини SS натуральних чисел доведіть, що виконується принаймні одне з двох тверджень: (1) Існують різні скінченні підмножини FF і GG множини SS такі, що ∑x∈F1/x=∑x∈G1/x\sum_{x \in F} 1 / x = \sum_{x \in G} 1 / x; (2) Існує додатне раціональне число r<1r < 1 таке, що ∑x∈F1/x≠r\sum_{x \in F} 1 / x \neq r для всіх скінченних підмножин FF множини SS.
10–11 класиГеометрична прогресія2 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-003

Шлях равлика на прямих з чергуванням поворотів

На площині проведено 20172017 прямих так, що жодні 33 з них не проходять через одну точку. Равлик Турбо може повзти вздовж прямих у такий спосіб: спочатку вона рухається однією з прямих і продовжує рухатись даною прямою, доки не досягне перетину 22 прямих. У точці перетину вона продовжує свою подорож іншою прямою, повертаючи ліворуч або праворуч, чергуючи напрям, який обирає, у кожній точці перетину, через яку проходить. Чи може статися так, що вона вдруге проповзе відрізок прямої, але у протилежному напрямі, ніж першого разу?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…4 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-020

Замощення шестикутника одиничними трикутниками

Чи існує шестикутник з довжинами сторін 11, 22, 33, 44, 55, 66 (не обов'язково в такому порядку), який можна замостити a) 3131 b) 3232 рівносторонніми трикутниками зі стороною 11?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-001

Суми квадратів і подвоєні добутки сусідніх чисел

Нехай nn — непарне натуральне число і x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n — невід'ємні дійсні числа. Доведіть, що min⁡i=1,…,n(xi2+xi+12)⩽max⁡j=1,…,n2xjxj+1,\min_{i=1,\ldots,n}\left(x_i^2 + x_{i+1}^2\right) \leqslant \max_{j=1,\ldots,n} 2x_jx_{j+1}, де xn+1=x1x_{n+1} = x_1.
10–11 класиЧислові нерівності
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-006

Жабеня на відрізках, що попарно перетинаються

На площині задано n⩾2n \geqslant 2 відрізків таким чином, що довільні два з них перетинаються у внутрішній точці та жодні три не перетинаються в одній точці. Дід Панас має вибрати кінець кожного відрізка та посадити в нього жабеня очима в напрямку другого кінця. Після цього він плескає в долоні n−1n - 1 раз. Щоразу, коли він плескає, кожне жабеня одразу перестрибує в наступну точку перетину свого відрізка. Жабенята ніколи не змінюють напрямку стрибків. Дід Панас хоче розсадити їх таким чином, щоб жодна пара жабенят не опинилася в одній точці перетину в жодний момент часу. Доведіть, що дід Панас: а) може завжди так зробити, коли nn — непарне число; б) не зможе цього зробити, коли nn — парне число.
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист IMOIMOSL-2015-006

Єдині подання непарною сумою в множині

Нехай SS — непорожня множина натуральних чисел. Будемо казати, що натуральне число nn є чистим, якщо воно має єдине подання у вигляді суми непарної кількості різних елементів множини SS. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел, які не є чистими.
10–11 класиПарність і непарність2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2015-003

Перестановки томами енциклопедії за допомогою операцій зі стосом

Енциклопедія складається з 20002000 пронумерованих томів. Томи складено в стопку по порядку, причому номер 11 — зверху, а 20002000 — знизу. Зі стопкою можна виконувати дві операції: (i) Для парного nn можна взяти верхні nn томів і покласти їх у низ стопки, не змінюючи порядку. (ii) Для непарного nn можна взяти верхні nn томів, обернути їхній порядок і знову покласти їх на верх стопки. Скільки різних перестановок томів можна отримати, неодноразово застосовуючи ці дві операції?
10–11 класиПерестановки3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-029

Позначки на діагоналях дошки

Яку найменшу кількість клітинок потрібно позначити на дошці n×nn \times n, щоб не існувало послідовності діагональних клітинок довжини >n2> \frac{n}{2} без позначки?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.