Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

428 задач
Теорія чиселСтепені в арифметиці за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-012

Цілочисельні многочлени зі збереженням простих дільників

Знайти всі многочлени P∈Z[X]P \in \mathbb{Z}[X] такі, що: (i) P(n)⩾1P(n) \geqslant 1 для всіх n⩾1n \geqslant 1 (ii) P(mn)P(mn) і P(m)P(n)P(m) P(n) мають однакову кількість простих дільників для всіх m,n⩾1m, n \geqslant 1.
10–11 класиТеорема Ейлера
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-121

Циклічні степеневі конгруенції за простим модулем

Натуральні числа a1,a2,…,a7,b1,b2,…,b7a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{7}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{7} задовольняють 2≤ai≤1662 \leq a_{i} \leq 166 і aibi≡ai+12( mod 167)a_{i}^{b_{i}} \equiv a_{i+1}^{2} (\bmod 167) для кожного 1≤i≤71 \leq i \leq 7 (де a8=a1a_{8}=a_{1}). Обчисліть найменше можливе значення b1b2⋯b7(b1+b2+⋯+b7)b_{1} b_{2} \cdots b_{7}\left(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{7}\right).
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-068

Математичне сподівання квадрата голосів переможця

Група зі 101 далматинця бере участь у виборах, де кожен незалежно голосує за кандидата AA або BB з однаковою ймовірністю. Якщо XX — кількість далматинців, які проголосували за переможного кандидата, то математичне сподівання величини X2X^{2} можна записати у вигляді ab\frac{a}{b} для натуральних чисел a,ba, b, для яких НСД(a,b)=1\text{НСД}(a, b)=1. Знайдіть єдине натуральне число k≤103k \leq 103 таке, що 103∣a−bk103 \mid a-b k.
10–11 класиКомбінації
Відбіркові тести на IMOTST-2022-001

Двійкова послідовність, подільна за будь-якої основи

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує скінченна послідовність SS, складена лише з нулів та одиниць, яка має таку властивість: для будь-якого натурального числа d≥2d \geq 2, коли SS тлумачиться як число в системі числення з основою dd, одержане число ненульове і ділиться на nn. Зауваження: послідовність S=sksk−1⋯s1s0S=s_{k} s_{k-1} \cdots s_{1} s_{0}, тлумачена в системі з основою dd, — це число ∑i=0ksidi\sum_{i=0}^{k} s_{i} d^{i}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-023

Подільність частки показникової суми

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. Доведіть, що якщо n2+4n+7nn\frac{n^{2}+4^{n}+7^{n}}{n} — ціле число, то воно ділиться на 1111.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-002

Непарні степені за модулем степеня двійки

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що числа 11,33,55,…,(2n−1)2n−11^{1}, 3^{3}, 5^{5}, \ldots,\left(2^{n}-1\right)^{2^{n}-1} дають попарно різні остачі при діленні на 2n2^{n}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-005

Подільність суми степенів на 35

Нехай n=2021n=2021. Доведіть, що число 32n+1+2n+23^{2 n+1}+2^{n+2} ділиться на 35.
8–10 класиОстачі від великих степенів2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-024

Адитивні функції на натуральних числах

Знайдіть усі функції f:N⩾1↦N⩾0f: \mathbb{N}_{\geqslant 1} \mapsto \mathbb{N}_{\geqslant 0}, які задовольняють обидві такі умови: 1. f(xy)=f(x)+f(y)f(x y)=f(x)+f(y) для всіх цілих x⩾1x \geqslant 1 і y⩾1y \geqslant 1; 2. існує нескінченно багато цілих чисел n⩾1n \geqslant 1 таких, що рівність f(k)=f(n−k)f(k)=f(n-k) виконується для кожного цілого kk такого, що 1⩽k⩽n−11 \leqslant k \leqslant n-1. Позначимо через N⩾0\mathbb{N}_{\geqslant 0} множину цілих чисел, більших або рівних 0, а через N⩾1\mathbb{N}_{\geqslant 1} — множину цілих чисел, більших або рівних 1.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-010

Послідовні складені числа навколо степеня двійки

Нехай mm — натуральне число. Доведіть, що існує натуральне число nn таке, що кожне з 2m+12m+1 чисел 2n−m,2n−(m−1),…,2n+(m−1),2n+m2^{n}-m, 2^{n}-(m-1), \ldots, 2^{n}+(m-1), 2^{n}+m є додатним і складеним.
10–11 класиМала теорема Ферма
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-006

Набори з експоненційною умовою за модулем

Визначте кількість наборів цілих чисел (a1,a2,…,a17)(a_1, a_2, \dots, a_{17}), які задовольняють 2≤ai≤202 \le a_i \le 20 для всіх i=1,…,17i = 1, \dots, 17 і a1a2⋯a16a17≡a2a3⋯a17a17≡1(mod17).a_1^{a_2} \cdots a_{16}^{a_{17}} \equiv a_2^{a_3} \cdots a_{17}^{a_{17}} \equiv 1 \pmod{17}. Тут степінь обчислюється послідовно починаючи з двох верхніх правих чисел.
10–11 класиМала теорема Ферма
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-007

Заповнення таблиці з сумою 8 у квадратах 2 на 2

Нехай AA — кількість способів заповнити кожну клітинку таблиці 2021×20212021 \times 2021 одним із чисел 11, 22 або 33 так, щоб сума чисел у будь-якому квадраті 2×22 \times 2 таблиці дорівнювала 88. Знайдіть остачу від ділення AA на 100100.
10–11 класиБієкції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-038

Множини цілих чисел, замкнені відносно коренів многочленів

Нехай SS — множина цілих чисел. Будемо казати, що SS красива, якщо вона містить усі цілі числа виду 2a−2b2^{a}-2^{b}, де aa і bb — ненульові натуральні числа. Будемо також казати, що SS сильна, якщо для будь-якого непостійного многочлена P(X)P(X) з коефіцієнтами з SS цілі корені многочлена P(X)P(X) також належать SS. Знайдіть усі множини, які одночасно красиві й сильні.
10–11 класиТеорема Ейлера
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-125

Щасливі многочлени над полем з 101 елемента

Означимо F101[x]\mathbb{F}_{101}[x] як множину всіх многочленів від xx з коефіцієнтами з F101\mathbb{F}_{101} (цілих чисел за модулем 101101 зі звичайними додаванням і відніманням), так що два многочлени рівні тоді й лише тоді, коли коефіцієнти при xkx^{k} рівні в F101\mathbb{F}_{101} для кожного невід'ємного цілого числа kk. Наприклад, (x+3)(100x+5)=100x2+2x+15(x+3)(100 x+5)=100 x^{2}+2 x+15 в F101[x]\mathbb{F}_{101}[x], оскільки відповідні коефіцієнти рівні за модулем 101101. Скажімо, що f(x)∈F101[x]f(x) \in \mathbb{F}_{101}[x] є щасливим, якщо його степінь не перевищує 10001000 і існують g(x),h(x)∈F101[x]g(x), h(x) \in \mathbb{F}_{101}[x] такі, що f(x)=g(x)(x1001−1)+h(x)101−h(x)f(x)=g(x)\left(x^{1001}-1\right)+h(x)^{101}-h(x) в F101[x]\mathbb{F}_{101}[x]. Знайдіть кількість щасливих многочленів.
10–11 класиМногочлени ділення кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-049

Мінімальна множина для степеневих лишків за модулем 100

Нехай AA — множина цілих чисел така, що для кожного цілого числа mm існує ціле число a∈Aa \in A і натуральне число nn такі, що an≡m(mod100)a^{n} \equiv m \pmod{100}. Яке найменше можливе значення ∣A∣|A|?
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Відбіркові тести на IMOTST-2020-031

Взаємна подільність з рівними цілими частинами коренів

Знайдіть усі пари натуральних чисел (a,b)(a, b), що задовольняють такі умови: (i) aa ділить b4+1b^4 + 1, (ii) bb ділить a4+1a^4 + 1, (iii) ⌊a⌋=⌊b⌋\lfloor\sqrt{a}\rfloor = \lfloor\sqrt{b}\rfloor.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-023

Добуток степенів за модулем простого числа

Нехай p,qp, q — прості числа, а aa — ціле число таке, що p>2p > 2 і a≠1(modq)a \neq 1 \pmod{q}, але ap≡1(modq)a^p \equiv 1 \pmod{q}. Доведіть, що (1+a1)(1+a2)…(1+ap−1)≡1(modq).(1+a^1)(1+a^2)\dots(1+a^{p-1}) \equiv 1 \pmod{q}.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…3 розв’язки
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-004

Прості числа з простим зсувом квадрата

Знайдіть усі прості числа pp такі, що p2−6p^{2} - 6 і p2+6p^{2} + 6 — прості числа.
10–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …2 розв’язки
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-012

Сума останніх цифр квадратів

Обчислюємо квадрат кожного з чисел від 11 до 20192019. Беремо останню цифру з кожного отриманого квадрата, а потім додаємо ці 20192019 цифр разом. Яке число ми отримаємо?
7–9 класиСтепені за модулем. Періодичність…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-016

Факторіал як різниця степенів

Нехай uu — натуральне число. Доведіть, що існує лише скінченна кількість трійок невід'ємних цілих чисел (a,b,n)(a, b, n) таких, що n!=ua−ubn! = u^{a} - u^{b}. Зауваження: нагадаємо, що 0!=1!=10! = 1! = 1.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-018

Сума з функцією Ейлера

Нехай a0,a1,…,ada_{0}, a_{1}, \ldots, a_{d} — цілі числа такі, що НСД(a0,a1)=1\text{НСД}(a_{0}, a_{1})=1. Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 покладемо un=∑k=0dakφ(n+k)u_{n}=\sum_{k=0}^{d} a_{k} \varphi(n+k) Доведіть, що 1 — єдине натуральне число, яке ділить усі цілі числа unu_{n}. Нагадаємо, що φ(n+k)\varphi(n+k) — це кількість натуральних чисел ℓ<n+k\ell<n+k таких, що НСД(ℓ,n+k)=1\text{НСД}(\ell, n+k)=1.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-010

Періодичні функції з модульним функціональним рівнянням

Нехай p=2017p=2017 — просте число, а Fp\mathbb{F}_p — цілі числа за модулем pp. Функція f:Z→Fpf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{F}_p називається хорошою, якщо існує α∈Fp\alpha \in \mathbb{F}_p, α≢0( mod p)\alpha \not \equiv 0 (\bmod p), таке, що f(x)f(y)=f(x+y)+αyf(x−y)( mod p)f(x) f(y) = f(x+y) + \alpha^{y} f(x-y) \quad (\bmod p) для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}. Скільки існує хороших функцій з найменшим періодом 20162016?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-014

Композиційні пари многочленів над полем

Нехай p>2p > 2 — просте число. Fp[x]\mathbb{F}_p[x] означено як множина всіх многочленів від xx з коефіцієнтами з Fp\mathbb{F}_p (цілих чисел за модулем pp зі звичайними додаванням і відніманням), тож два многочлени рівні тоді й лише тоді, коли коефіцієнти при xkx^k рівні в Fp\mathbb{F}_p для кожного невід'ємного цілого числа kk. Наприклад, (x+2)(2x+3)=2x2+2x+1(x+2)(2x+3) = 2x^2 + 2x + 1 в F5[x]\mathbb{F}_5[x], оскільки відповідні коефіцієнти рівні за модулем 55. Нехай f,g∈Fp[x]f, g \in \mathbb{F}_p[x]. Пару (f,g)(f, g) називають композиційною, якщо f(g(x))≡xp2−xf(g(x)) \equiv x^{p^2} - x в Fp[x]\mathbb{F}_p[x]. Знайдіть з доведенням кількість композиційних пар (у термінах pp).
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-081

Стабілізація останніх двох цифр степенів

Скільки натуральних чисел 2≤a≤1012 \leq a \leq 101 мають властивість, що існує натуральне число NN, для якого останні дві цифри десяткового запису числа a2na^{2^{n}} однакові для всіх n≥Nn \geq N?
10–11 класиСтепені за модулем. Періодичність…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-089

Порядок за модулем і функція Ейлера

Для натуральних чисел aa і bb, таких, що aa взаємно просте з bb, визначимо ord⁡b(a)\operatorname{ord}_{b}(a) як найменше натуральне число kk таке, що b∣ak−1b \mid a^{k}-1, а φ(a)\varphi(a) — як кількість натуральних чисел, не більших за aa, які взаємно прості з aa. Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що ord⁡n(m)<φ(n)10\operatorname{ord}_{n}(m)<\frac{\varphi(n)}{10} для всіх натуральних чисел mm, взаємно простих з nn.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-016

Цілочисельні функції з подільністю на прості числа

Знайдіть усі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, які задовольняють - f(p)>0f(p)>0 для всіх простих чисел pp, - p∣(f(x)+f(p))f(p)−xp \mid (f(x)+f(p))^{f(p)}-x для всіх x∈Zx \in \mathbb{Z} і всіх простих чисел pp.
10–11 класиМала теорема Ферма

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.