Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

374 задачі
ГеометріяСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-027

Перпендикулярність AX і OH для точки X на EF

Нехай ABCABC — трикутник, а D,E,FD, E, F — основи висот з A,B,CA, B, C відповідно. Нехай також HH — ортоцентр трикутника ABCABC, OO — центр його описаного кола, а XX — точка прямої (EF)(EF), для якої XA=XDXA = XD. Доведіть, що прямі (AX)(AX) і (OH)(OH) перпендикулярні.
9–11 класиРадикальна вісь
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-033

Центр описаного кола трикутника на прямій центрів

Нехай ABCABC — трикутник, не рівнобедрений при вершині AA. Позначимо через D,E,FD, E, F точки дотику вписаного кола зі сторонами (BC)(BC), (AC)(AC) і (AB)(AB), а через II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Нехай PP і QQ — перетини прямої (EF)(EF) з описаним колом Ω\Omega трикутника ABCABC. Нарешті, нехай O1O_{1} і O2O_{2} — центри описаних кіл трикутників AIBAIB і AICAIC. Доведіть, що центр описаного кола трикутника DPQDPQ лежить на прямій (O1O2)\left(O_{1}O_{2}\right).
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-016

Фіксована точка перетину від проєкцій на дотичні

Нехай Γ\Gamma — коло з центром OO, а (d)(d) — пряма, що не перетинає Γ\Gamma. Позначимо через PP ортогональну проєкцію OO на (d)(d). Нехай QQ — змінна точка на прямій (d)(d), а (t1)\left(t_{1}\right) і (t2)\left(t_{2}\right) — дотичні до кола Γ\Gamma, що проходять через QQ. Позначимо через AA і BB ортогональні проєкції PP на (t1)\left(t_{1}\right) і (t2)\left(t_{2}\right). Доведіть, що точка перетину (AB)(AB) і (OP)(OP) залишається нерухомою, коли QQ змінюється.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-027

Відстані до ортоцентра в гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH. Нехай D,ED, E — основи висот, проведених з вершин AA і BB відповідно. Відомо, що AH=20AH = 20 і HD=15HD = 15 та BE=56BE = 56, знайдіть довжину BHBH.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-014

Дотики D, E і перетини кіл BEI, CDI

Нехай ABCABC — трикутник, який не є рівнобедреним. Нехай Γ\Gamma — його описане коло, а II — центр його вписаного кола. Нехай DD і EE — точки дотику вписаного кола трикутника ABCABC до сторін ABAB і ACAC відповідно. Нехай PP — відмінна від BB точка перетину кола Γ\Gamma й описаного кола трикутника BEIBEI, а QQ — відмінна від CC точка перетину кола Γ\Gamma й описаного кола трикутника CDICDI. Доведіть, що чотири точки DD, EE, PP, QQ лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-008

Перетин описаних кіл на прямій

П’ять точок AA, BB, CC, DD, PP лежать у площині. Точки AA, BB, CC, DD лежать на одній прямій у цьому порядку. Крім того, відомо, що виконуються рівності AB=BC=CD=6AB = BC = CD = 6, PB=5PB = 5 і PC=7PC = 7. Тут довжину відрізка XYXY також позначаємо через XYXY. Нехай QQ — відмінна від PP точка перетину описаного кола трикутника PACPAC та описаного кола трикутника PBDPBD. Знайдіть довжину відрізка PQPQ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2015-002

Центри описаних кіл у конфігурації з вписаним колом

Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, вписане коло якого дотикається до сторін BCBC, ACAC, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Припустимо, що описане коло трикутника ABCABC перетинає пряму EFEF у точках PP і QQ. Якщо O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників IABIAB і IACIAC відповідно, доведіть, що центр описаного кола трикутника DPQDPQ лежить на прямій O1O2O_1O_2.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-006

Коло через дві точки, дотичне до заданого кола

Нехай дано коло kk і дві точки AA і BB поза колом. Укажіть, як за допомогою циркуля та лінійки можна побудувати коло ℓ\ell так, щоб AA і BB лежали на колі ℓ\ell і кола kk та ℓ\ell дотикалися.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2014-004

Рівні кути у вписаному чотирикутнику

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло. Точка PP лежить усередині чотирикутника ABCDABCD, причому ∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA\angle PAB = \angle PBC = \angle PCD = \angle PDA. Прямі ADAD і BCBC перетинаються в точці QQ, а прямі ABAB і CDCD перетинаються в точці RR. Доведіть, що прямі PQPQ і PRPR утворюють такий самий кут, як діагоналі чотирикутника ABCDABCD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-004

Дотичні та паралельна хорда в колі

Нехай PP — точка поза колом C\mathcal{C}. Дотичні до кола C\mathcal{C}, що проходять через PP, дотикаються до кола C\mathcal{C} в точках AA і BB. Пряма, що проходить через PP, перетинає C\mathcal{C} в точках QQ і RR. Нехай SS — точка кола C\mathcal{C} така, що (BS)∥(QR)(B S) \parallel (Q R). Доведіть, що пряма (SA)(S A) проходить через середину відрізка [QR][Q R].
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-033

Точки на одному колі при паралельних радіусах двох кіл

Нехай дано два кола C\mathcal{C} і C′\mathcal{C}^{\prime} з центрами OO і O′O^{\prime}, що лежать одне поза іншим. Проведено два паралельні однаково напрямлені радіуси [OM][O M] і [O′M′][O^{\prime} M^{\prime}], а також два інші паралельні однаково напрямлені радіуси [OP][O P] і [O′P′][O^{\prime} P^{\prime}]. Пряма (MM′)(M M^{\prime}) вдруге перетинає C′\mathcal{C}^{\prime} в точці NN, а пряма (PP′)(P P^{\prime}) вдруге перетинає C′\mathcal{C}^{\prime} в точці QQ. Доведіть, що M,N,P,QM, N, P, Q лежать на одному колі.
9–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-124

Трикутник з дотичним описаним колом

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=6AB=6, BC=10BC=10 і CA=8CA=8. Нехай MM і NN — середини сторін BABA і BCBC відповідно. Точку YY вибрано на промені CMCM так, щоб описане коло трикутника AMYAMY дотикалося до прямої ANAN. Знайдіть площу трикутника NAYNAY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-046

Вписаний чотирикутник із перетином дотичної

Нехай ω\omega — коло, а ABCDABCD — чотирикутник, вписаний у коло ω\omega. Припустимо, що BDBD і ACAC перетинаються в точці EE. Дотична до кола ω\omega в точці BB перетинає пряму ACAC в точці FF, причому CC лежить між EE і FF. Відомо, що AE=6AE = 6, EC=4EC = 4, BE=2BE = 2 і BF=12BF = 12, знайдіть довжину відрізка DADA.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-053

Шестикутник з хорд через точки трисекції трикутника

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 66, вписаний у коло ω\omega. Нехай A1,A2A_1, A_2 — точки (відмінні від AA), в яких прямі через AA, що проходять через дві точки поділу сторони BCBC на три рівні частини, перетинають ω\omega. Аналогічно визначимо B1,B2,C1,C2B_1, B_2, C_1, C_2. Відомо, що A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 з'являються на колі ω\omega саме в такому порядку. Знайдіть площу шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-001

Дотичні кола з рівними відрізками

Коло C1C_1 внутрішньо дотикається до кола C2C_2 в точці AA. Нехай OO — центр кола C2C_2. Дотична до кола C1C_1 в точці PP на колі C1C_1 проходить через точку OO. Нехай QQ — точка перетину променя OPOP з колом C2C_2, а RR — точка перетину прямої, дотичної до кола C1C_1 в точці AA, з прямою OPOP. Припустимо, що радіус кола C2C_2 дорівнює 99 і виконується PQ=QRPQ = QR. Тут довжину відрізка XYXY також позначаємо через XYXY. Знайдіть значення OPOP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-006

Коло через точки перетину, дотичне до сторони

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, а ℓ\ell — пряма, дотична до кола Γ\Gamma в точці AA. Нехай D,ED, E — внутрішні точки сторін AB,ACAB, AC відповідно, що задовольняють умову BD:DA=AE:ECBD : DA = AE : EC. Нехай F,GF, G — дві точки перетину прямої DEDE і кола Γ\Gamma, HH — точка перетину прямої ℓ\ell і прямої, паралельної до ACAC, що проходить через точку DD, а II — точка перетину прямої ℓ\ell і прямої, паралельної до ABAB, що проходить через точку EE. Доведіть, що чотири точки F,G,H,IF, G, H, I лежать на колі, яке дотикається до прямої BCBC. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-003

Описані кола перетинаються на стороні трикутника

Нехай GG — точка перетину медіан прямокутного трикутника ABCABC, у якому ∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ. Нехай PP — точка на промені AGAG така, що ∠CPA=∠CAB\angle CPA = \angle CAB, а QQ — точка на промені BGBG така, що ∠CQB=∠ABC\angle CQB = \angle ABC. Доведіть, що описані кола трикутників AQGAQG і BPGBPG перетинаються в точці на стороні ABAB.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-032

Коло через точки на хорді перетину

Кола c1,c2c_1, c_2 з центрами O1,O2O_1, O_2 відповідно перетинаються в точках PP і QQ та дотикаються до кола cc зсередини в точках A1A_1 і A2A_2 відповідно. Пряма PQPQ перетинає коло cc в точках BB і DD. Прямі A1BA_1B і A1DA_1D перетинають коло c1c_1 вдруге в точках E1E_1 і F1F_1 відповідно, а прямі A2BA_2B і A2DA_2D перетинають коло c2c_2 вдруге в точках E2E_2 і F2F_2 відповідно. Доведіть, що E1,E2,F1,F2E_1, E_2, F_1, F_2 лежать на колі, центр якого збігається із серединою відрізка O1O2O_1O_2.
10–11 класиГомотерія і подібність
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-001

Точки на одному колі у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник. Нехай KK — точка перетину діагоналей. Нехай MM і NN — середини відрізків [A,C][A, C] і [B,D][B, D] відповідно. Описані кола трикутників ADMADM і BCMBCM перетинаються в точці LL. Доведіть, що точки K,L,M,NK, L, M, N лежать на одному колі.
9–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-003

Дотик до кола через відображення в трикутнику

Трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega так, що ∠A=60∘\angle A = 60^\circ і ∠B=75∘\angle B = 75^\circ. Нехай бісектриса кута AA перетинає BCBC і ω\omega у точках EE і DD відповідно. Нехай відображеннями точки AA відносно DD і CC є точки D′D' і C′C' відповідно. Якщо дотична до кола ω\omega у точці AA перетинає пряму BCBC у точці PP, а описане коло трикутника APD′APD' перетинає пряму ACAC у точці F≠AF \neq A, доведіть, що описане коло трикутника C′FEC'FE дотикається до прямої BCBC у точці EE.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-088

Дотик описаного кола і довжина відрізка

Нехай ABCABC — трикутник з центром описаного кола OO такий, що AC=7AC = 7. Припустімо, що описане коло трикутника AOCAOC дотикається до сторони BCBC в точці CC і перетинає пряму ABAB у точках AA і FF. Нехай FOFO перетинає BCBC у точці EE. Обчисліть довжину відрізка BEBE.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-090

Точка описаного кола на стороні трикутника

Розглянемо трикутник ABCABC зі сторонами AB=4AB = 4, BC=7BC = 7 і AC=8AC = 8. Нехай MM — середина відрізка ABAB, а NN — внутрішня точка відрізка ACAC, яка також лежить на описаному колі трикутника MBCMBC. Обчисліть довжину відрізка BNBN.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-092

Довжина CG при куті 60° і FG = 4

У трикутнику ABCABC маємо ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Нехай ω\omega — коло, дотичне до відрізка ABAB у точці DD і до відрізка ACAC у точці EE. Припустімо, що ω\omega перетинає відрізок BCBC у точках FF і GG так, що точка FF лежить між BB і GG. Відомо, що AD=FG=4AD = FG = 4 і BF=12BF = \frac{1}{2}. Знайдіть довжину відрізка CGCG.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-127

Кут між радіусами в описаному колі трикутника

У трикутнику ABCABC, ∠A=45∘\angle A = 45^{\circ}, а MM — середина сторони BC‾\overline{BC}. Пряма AM‾\overline{AM} перетинає описане коло трикутника ABCABC вдруге в точці DD, причому AM=2MDAM = 2MD. Знайдіть cos⁡∠AOD\cos \angle AOD, де OO — центр описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-094

Діаметр за відрізками паралельної дотичної

Точки AA, BB, CC лежать на колі ω\omega так, що BCBC — діаметр. Відрізок ABAB продовжено за BB до точки B′B', а відрізок ACAC продовжено за CC до точки C′C' так, що пряма B′C′B'C' паралельна BCBC і дотикається до кола ω\omega в точці DD. Якщо B′D=4B'D = 4 і C′D=6C'D = 6, обчисліть довжину відрізка BCBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.