Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 627 задач
Геометрія
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-027

Площа трикутника як функція медіани

Нехай AA, BB і CC — точки на площині, причому AB=40AB = 40 і AC=42AC = 42, а xx — довжина відрізка від AA до середини відрізка BCBC. Визначимо функцію ff, поклавши f(x)f(x) рівним площі △ABC\triangle ABC. Тоді областю визначення ff є відкритий інтервал (p,q)(p, q), а найбільше значення rr функції f(x)f(x) досягається при x=sx = s. Чому дорівнює p+q+r+sp + q + r + s? (A) 909 (B) 910 (C) 911 (D) 912 (E) 913
10–11 класиПлоща трикутника
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-029

Примітивні піфагорові трикутники з сумою кутів

Величини найменших кутів трьох різних прямокутних трикутників у сумі дають 90∘90^\circ. Довжини сторін усіх трьох трикутників утворюють примітивні піфагорові трійки. Дві з них — 33-44-55 і 55-1212-1313. Чому дорівнює периметр третього трикутника? (A) 4040 (B) 126126 (C) 154154 (D) 176176 (E) 208208
10–11 класиПіфагорові трійки
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-030

Трикутник, один кут якого вдвічі більший за інший

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник із цілими довжинами сторін, для якого виконується ∠B=2∠A\angle B = 2\angle A. Який найменший периметр може мати такий трикутник? (A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-031

Сума добутків квадратів тангенсів

Обчисліть значення виразу tg⁡2π16⋅tg⁡23π16+tg⁡2π16⋅tg⁡25π16+tg⁡23π16⋅tg⁡27π16+tg⁡25π16⋅tg⁡27π16\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{16} \cdot \operatorname{tg}^2 \frac{3\pi}{16} + \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{16} \cdot \operatorname{tg}^2 \frac{5\pi}{16} + \operatorname{tg}^2 \frac{3\pi}{16} \cdot \operatorname{tg}^2 \frac{7\pi}{16} + \operatorname{tg}^2 \frac{5\pi}{16} \cdot \operatorname{tg}^2 \frac{7\pi}{16}
10–11 класиТеорема Вієта
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-032

Висота піраміди з восьмикутною основою

Основою правильної піраміди з вершиною VV є правильний восьмикутник ABCDEFGHABCDEFGH зі стороною 11. Відрізки AV‾\overline{AV} і DV‾\overline{DV} перпендикулярні. Чому дорівнює квадрат висоти піраміди? (A) 11 (B) 1+22\frac{1+\sqrt{2}}{2} (C) 2\sqrt{2} (D) 32\frac{3}{2} (E) 2+23\frac{2+\sqrt{2}}{3}
10–11 класиМетод координат
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-033

Висоти з цілим радіусом вписаного кола

Скільки існує впорядкованих трійок (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, де a≤b≤c≤9a \le b \le c \le 9, таких, що існує невироджений трикутник △ABC\triangle ABC з цілим радіусом вписаного кола, для якого a,ba, b і cc — довжини висот з AA на BC‾\overline{BC}, з BB на AC‾\overline{AC} і з CC на AB‾\overline{AB} відповідно? (Нагадаємо, що радіус вписаного кола трикутника — це радіус найбільшого можливого кола, яке можна вписати в трикутник.) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-034

Дисфеноїд з цілочисельними різносторонніми гранями

Дисфеноїд — це тетраедр, усі трикутні грані якого конгруентні між собою. Яка найменша площа повної поверхні дисфеноїда, грані якого є різносторонніми трикутниками з цілими довжинами сторін? (A) 3\sqrt{3} (B) 3153\sqrt{15} (C) 15 (D) 15715\sqrt{7} (E) 24624\sqrt{6}
10–11 класиПлоща трикутника
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-035

Симетрія графіка дробово-лінійної функції

Графік симетричний відносно прямої, якщо він не змінюється після відбиття відносно цієї прямої. Для скількох четвірок цілих чисел (a,b,c,d)(a, b, c, d), де ∣a∣,∣b∣,∣c∣,∣d∣≤5|a|, |b|, |c|, |d| \le 5 і cc та dd не дорівнюють одночасно 00, графік y=ax+bcx+dy = \frac{ax + b}{cx + d} симетричний відносно прямої y=xy = x?
10–11 класиСиметрія
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-007

Дві фігури з переліку та пряма, що ділить навпіл

Мама Амелії пропонує гру. «Вибери дві з наведених нижче фігур», — каже вона Амелії. (Фігури — це рівносторонній трикутник, паралелограм, рівнобічна трапеція, дельтоїд та еліпс. Фігури зображені в масштабі.) Мама Амелії продовжує: «Я намалюю ці дві фігури на аркуші паперу у будь-якому положенні та орієнтації, які сама оберу, так, щоб вони не перекривалися. Потім ти проведеш пряму лінію, що розрізає обидві фігури, причому кожна фігура має розділитися на дві рівні половини.» Які дві фігури слід вибрати Амелії, щоб вона гарантовано змогла це зробити? Для такого вибору фігур поясніть, як Амелія може провести свою пряму, яка властивість цих фігур дає їй таку змогу і чому це не спрацює з жодною іншою парою цих фігур.
6–8 класиСиметрія
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2024-001

Симетрія відносно бісектрис і перпендикулярність

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II. Припустімо, що пряма, симетрична прямій ABAB відносно CICI, і пряма, симетрична прямій ACAC відносно BIBI, перетинаються в точці XX. Доведіть, що пряма XIXI перпендикулярна до BCBC. (Інцентр — це точка перетину трьох бісектрис кутів.)
10–11 класиСиметрія
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2024-005

Побудова ортоцентра паралельною лінійкою

Спочатку на площині позначено три неколінеарні точки AA, BB і CC. Ви маєте олівець і двобічну лінійку шириною 1. З їх допомогою ви можете виконувати такі операції: - Позначити довільну точку на площині. - Позначити довільну точку на вже проведеній прямій. - Якщо позначено дві точки P1P_1 і P2P_2, провести пряму, що сполучає P1P_1 і P2P_2. - Якщо проведено дві непаралельні прямі ℓ1\ell_1 і ℓ2\ell_2, позначити перетин прямих ℓ1\ell_1 і ℓ2\ell_2. - Якщо проведено пряму ℓ\ell, провести пряму, паралельну до ℓ\ell, що знаходиться на відстані 1 від ℓ\ell (зауважте, що можна провести дві такі прямі). Доведіть, що за допомогою цих операцій можна позначити ортоцентр трикутника ABCA B C.
10–11 класиЗадачі на побудову (алгоритмічна…2 розв’язки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-010

Рівносторонні трикутники на паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм, у якому ∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD|. Нехай PP і QQ — такі точки, що △ADP\triangle ADP і △CDQ\triangle CDQ — рівносторонні трикутники, які не перетинаються з паралелограмом. Доведіть, що ∠PQD=30∘\angle PQD = 30^\circ.
10–11 класиОзнаки подібності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-004

Точки на сторонах трикутника і рівні відрізки

Нехай △ABC\triangle A B C — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣<∣AC∣|A B|<|A C|. Дано точки DD і EE на відрізках ABA B і ACA C відповідно. Нехай PP — точка така, що ∣PB∣=∣PD∣|P B|=|P D| і ∣PC∣=∣PE∣|P C|=|P E|. Нехай XX — точка на дузі ACA C описаного кола трикутника △ABC\triangle A B C, яка не містить BB. Пряма XAX A перетинає описане коло трикутника △ADE\triangle A D E ще раз у точці YY. Доведіть, що ∣PX∣=∣PY∣|P X|=|P Y|.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-011

Колінеарність при побудові паралелограмів

Точка D∉{B,C}D \notin \{B, C\} вибрана на відрізку BCBC, а точка AA вибрана на площині так, що вона не лежить на прямій BCBC. Точки PP і QQ вибрані так, що ABPDABPD і ACQDACQD — паралелограми (з вершинами в такому порядку). Описані кола трикутників BDPBDP і CDQCDQ перетинаються в точці R≠DR \neq D. Доведіть, що точки P,Q,RP, Q, R лежать на одній прямій.
8–10 класиСиметрія2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-034

Висота й медіана в рівнобедреному трикутнику

На основі BCBC рівнобедреного трикутника ABCABC вибрано точки DD і EE так, що BD=EC=7BD = EC = 7 см. Пряма, перпендикулярна до сторони ABAB і проведена через точку AA, перетинає основу BCBC у точці FF. EGEG — висота трикутника ACEACE, а AHAH — медіана трикутника AEFAEF. Відомо, що ∠DAF=12∠BAC\angle DAF = \frac{1}{2}\angle BAC. Знайдіть довжину відрізка GHGH.
8 класРівнобедрений та рівносторонній т…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-038

Три точки на одній прямій: серединний перпендикуляр і коло

Дано гострокутний трикутник ABCABC з AC>ABAC > AB. Серединний перпендикуляр до сторони BCBC перетинає прямі ACAC і ABAB у точках DD і EE відповідно. Коло з діаметром DEDE перетинає прямі ACAC і ABAB у точках KK і LL відповідно (K≠D,L≠EK \neq D, L \neq E). Нехай MM — середина сторони BCBC. Доведіть, що точки K,LK, L і MM лежать на одній прямій.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-017

Незалежність точки K від точки X на медіані

Точка XX вибрана на медіані ADAD трикутника ABCABC. Описане коло трикутника ABXABX перетинає медіану BEBE трикутника ABCABC у точці Y≠BY \neq B. Описане коло трикутника EXYEXY перетинає пряму DEDE у точці K≠EK \neq E. Доведіть, що положення точки KK не залежить від XX.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-040

Хорди бісектрис кутів і рівнобедрений трикутник

Внутрішні бісектриси кутів при вершинах BB і CC трикутника ABCABC перетинають описане коло трикутника ABCABC у точках EE і FF відповідно. Відомо, що BE=CF≠0BE = CF \neq 0. Чи обов’язково трикутник ABCABC є рівнобедреним?
9 класЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-043

Колінеарність у колах, що перетинаються

Коло ω\omega з центром OO і коло α\alpha з центром AA перетинаються у двох різних точках CC і DD, причому ∠OCA=90∘\angle OCA = 90^\circ. Точку EE вибрано на колі ω\omega всередині кола α\alpha. Нехай FF — точка, симетрична точці EE відносно точки OO, а GG — точка перетину прямої CECE з колом α\alpha (G≠CG \neq C). Доведіть, що точки GG, DD і FF лежать на одній прямій.
10 класЦентральні і вписані кути
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-023

Висоти трикутника, дотична та підрахунок кутів

У гострокутному трикутнику ABCABC з AB<ACAB < AC висоти BEBE і CFCF перетинаються в точці HH. Дотична до описаного кола трикутника ABCABC в точці AA перетинає описане коло трикутника AEFAEF в точці T≠AT \neq A. Описані кола трикутників TBETBE і TCFTCF перетинаються в точці K≠TK \neq T. Доведіть, що ∠KHB=∠ABC\angle KHB = \angle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-046

Дотичні та коло через точки трикутника

Висоти гострокутного трикутника ABCABC перетинаються в точці HH. Дотична в точці AA до описаного кола трикутника AHBAHB перетинає пряму CHCH в точці KK. Дотична в точці AA до описаного кола трикутника AHCAHC перетинає пряму BHBH в точці LL. Доведіть, що точки BB, CC, KK, LL лежать на одному колі.
11 класДотична кола2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-028

Паралелограми в трикутнику та паралельність прямих

Точки EE і FF вибрано відповідно на сторонах CACA і ABAB трикутника ABCABC. Прямі BEBE і CFCF перетинаються в точці PP. Нехай QQ — точка, така, що PBQCPBQC — паралелограм, а RR — точка, така, що AERFAERF — паралелограм. Доведіть, що PR∥AQPR \parallel AQ.
10–11 класиВекторний метод2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-049

Вписаний чотирикутник і бісектриси кутів

У трикутнику ABCABC внутрішні бісектриси при вершинах BB і CC перетинаються в точці II і перетинають сторони CACA і ABAB у точках EE і FF відповідно. Нехай MM і NN — середини відрізків BIBI і CICI відповідно. Пряма FMFM перетинає зовнішню бісектрису при вершині BB трикутника ABCABC у точці KK, а пряма ENEN перетинає зовнішню бісектрису при вершині CC трикутника ABCABC у точці LL. Доведіть, що точки K,B,CK, B, C і LL лежать на одному колі.
11 класГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-003

Рівновіддалена точка на хорді вписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, ω\omega — його вписане коло, а DD, EE і FF — точки дотику кола ω\omega зі сторонами BCBC, CACA і ABAB відповідно. Перпендикуляр до (BC)(BC) у точці CC перетинає пряму (EF)(EF) у точці MM, а перпендикуляр до (BC)(BC) у точці BB перетинає пряму (EF)(EF) у точці NN. Пряма (DM)(DM) вдруге перетинає ω\omega у точці PP, а пряма (DN)(DN) вдруге перетинає ω\omega у точці QQ. Доведіть, що DP=DQDP = DQ.
8–10 класиСиметрія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-045

Колінеарність у трикутнику з вписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а Ω\Omega — його описане коло. Позначимо через A′A' точку, діаметрально протилежну точці AA на колі Ω\Omega. Нехай II — центр кола, вписаного в трикутник ABCABC, а EE і FF — точки дотику вписаного кола зі сторонами ACAC і ABAB відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF вдруге перетинає коло Ω\Omega в точці XX. Доведіть, що точки A′A', II і XX лежать на одній прямій.
10–11 класиЦентральні і вписані кути

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.