Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

399 задач
ГеометріяДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-096

Точка на стороні з умовами паралельності й перпендикулярності

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO, у якому AB=4AB = 4, AC=5AC = 5 і BC=6BC = 6. Нехай DD — основа висоти з AA на BCBC, а EE — точка перетину прямої AOAO зі стороною BCBC. Припустімо, що XX лежить на BCBC між DD і EE так, що існує точка YY на ADAD, яка задовольняє XY∥AOXY \parallel AO і YO⊥AXYO \perp AX. Знайдіть довжину відрізка BXBX.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2014-019

Коло через вершину, дотичне в інцентрі

У трикутнику ABCABC точка II — центр вписаного кола. Коло дотикається до прямої AIAI в точці II і проходить через точку BB. Це коло перетинає ABAB ще раз у точці PP, а BCBC — ще раз у точці QQ. Пряма QIQI перетинає ACAC у точці RR. Доведіть, що ∣AR∣⋅∣BQ∣=∣PI∣2|AR| \cdot |BQ| = |PI|^{2}.
10–11 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-001

Дотичні кола з рівними відрізками

Коло C1C_1 внутрішньо дотикається до кола C2C_2 в точці AA. Нехай OO — центр кола C2C_2. Дотична до кола C1C_1 в точці PP на колі C1C_1 проходить через точку OO. Нехай QQ — точка перетину променя OPOP з колом C2C_2, а RR — точка перетину прямої, дотичної до кола C1C_1 в точці AA, з прямою OPOP. Припустимо, що радіус кола C2C_2 дорівнює 99 і виконується PQ=QRPQ = QR. Тут довжину відрізка XYXY також позначаємо через XYXY. Знайдіть значення OPOP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-006

Коло через точки перетину, дотичне до сторони

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, а ℓ\ell — пряма, дотична до кола Γ\Gamma в точці AA. Нехай D,ED, E — внутрішні точки сторін AB,ACAB, AC відповідно, що задовольняють умову BD:DA=AE:ECBD : DA = AE : EC. Нехай F,GF, G — дві точки перетину прямої DEDE і кола Γ\Gamma, HH — точка перетину прямої ℓ\ell і прямої, паралельної до ACAC, що проходить через точку DD, а II — точка перетину прямої ℓ\ell і прямої, паралельної до ABAB, що проходить через точку EE. Доведіть, що чотири точки F,G,H,IF, G, H, I лежать на колі, яке дотикається до прямої BCBC. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-004

Дотик і перпендикулярність у рівнобедреній конфігурації

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з AC=BCAC = BC. Нехай DD — точка на прямій BABA така, що AA лежить між BB і DD. Нехай O1O_1 — описане коло трикутника DACDAC. Коло O1O_1 перетинає BCBC у точці EE. Нехай FF — точка на прямій BCBC така, що пряма FDFD дотикається до кола O1O_1, а O2O_2 — описане коло трикутника DBFDBF. Два кола O1,O2O_1, O_2 перетинаються в точці GG (G≠DG \neq D). Нехай OO — центр описаного кола трикутника BEGBEG. Доведіть, що пряма FGFG дотикається до кола OO тоді й лише тоді, коли пряма DGDG перпендикулярна до прямої FOFO.
10–11 класиДотична кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2014-001

Паралельна хорда у колах, що перетинаються

Два кола k1k_{1}, k2k_{2} з центрами M1M_{1} та M2M_{2} відповідно перетинаються в точках AA і BB. Дотична до кола k1k_{1} в точці AA перетинає k2k_{2} ще раз у точці PP. Крім того, пряма M1BM_{1} B також перетинає k2k_{2} ще раз у точці QQ. Припустимо, що QQ лежить поза колом k1k_{1} і що P≠QP \neq Q. Доведіть, що пряма PQPQ паралельна прямій M1M2M_{1} M_{2}.
10–11 класиДотична кола
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-024

Три внутрішні кола і відрізки BC, CA, AB

Всередині кола cc містяться кола c1c_1, c2c_2 і c3c_3, які дотикаються до кола cc у точках AA, BB і CC відповідно, причому всі ці точки різні. Кола c2c_2 і c3c_3 мають спільну точку KK на відрізку BCBC, кола c3c_3 і c1c_1 мають спільну точку LL на відрізку CACA, а кола c1c_1 і c2c_2 мають спільну точку MM на відрізку ABAB. Доведіть, що кола c1c_1, c2c_2 і c3c_3 перетинаються в центрі кола cc.
10–11 класиДотична кола
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-025

Інцентр як перетин дотичних кіл

На площині дано трикутник ABCABC. Пряма ACAC дотикається до кола cAc_A в точці CC, а коло cAc_A проходить через точку BB. Пряма BCBC дотикається до кола cBc_B в точці CC, а коло cBc_B проходить через точку AA. Друга точка перетину SS кіл cAc_A і cBc_B збігається з інцентром трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник ABCABC рівносторонній. Рисунок 5
10–11 класиДотична кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-038

Рівність відрізків AB і CD у трьох колах

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, що перетинаються у двох точках XX і YY. Коло ω\omega дотикається зсередини до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} у точках PP і QQ відповідно. Відрізок [X,Y][X, Y] перетинає ω\omega у точках MM і NN. Промені [P,M)[P, M) і [P,N)[P, N) перетинають ω1\omega_{1} у точках AA і DD; промені [Q,M)[Q, M) і [Q,N)[Q, N) перетинають ω2\omega_{2} у точках BB і CC. Доведіть, що AB=CDA B=C D.
9–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2013-003

Хорда-дотична до внутрішнього кола

На площині лежать два концентричні кола з радіусами r1=13r_{1}=13 і r2=8r_{2}=8. Нехай ABAB — діаметр більшого кола, а BCBC — його хорда, яка дотикається до меншого кола в точці DD. Обчисліть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2013-011

Чотирикутник із дотичними хордами

Нехай PP — точка перетину діагоналей опуклого чотирикутника ABCDABCD. Нехай XX, YY і ZZ — внутрішні точки відповідно сторін ABAB, BCBC і CDCD такі, що ∣AX∣∣XB∣=∣BY∣∣YC∣=∣CZ∣∣ZD∣=2\frac{|AX|}{|XB|} = \frac{|BY|}{|YC|} = \frac{|CZ|}{|ZD|} = 2 Припустімо додатково, що XYXY дотикається до описаного кола △CYZ\triangle CYZ і що YZYZ дотикається до описаного кола △BXY\triangle BXY. Доведіть, що ∠APD=∠XYZ\angle APD = \angle XYZ.
10–11 класиДотична кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2013-002

Точки дотику вписаних кіл на медіані трикутника

У трикутнику ABCABC припустимо, що a>ba > b, де a=BCa = BC і b=ACb = AC. Нехай MM — середина сторони ABAB, а α\alpha і β\beta — вписані кола відповідно трикутників ACMACM і BCMBCM. Нехай далі A′A^{\prime} і B′B^{\prime} — точки дотику кіл α\alpha і β\beta з відрізком CMCM. Доведіть, що A′B′=a−b2A^{\prime}B^{\prime} = \frac{a-b}{2}.
10–11 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-012

Дотичні в точках перетину кіл і відношення радіусів

Два кола O1O_1 і O2O_2 перетинаються у двох різних точках PP і QQ. Дотична до кола O1O_1 в точці PP перетинає коло O2O_2 в точці RR, відмінній від PP, а дотична до кола O2O_2 в точці QQ перетинає коло O1O_1 в точці SS, відмінній від QQ. Нехай XX — точка перетину двох прямих PRPR і QSQS. Якщо XR=9XR = 9 і XS=2XS = 2, чому дорівнює відношення r1r2\frac{r_1}{r_2}, де r1r_1 і r2r_2 — радіуси кіл O1,O2O_1, O_2 відповідно? Тут через YZYZ позначено довжину відрізка YZYZ.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-006

Точка на відрізку з відношенням дотичних

Нехай ABCABC — трикутник. Знайдіть усі точки PP на відрізку BCBC, що задовольняють таку властивість: якщо XX і YY — точки перетину прямої PAPA зі спільними зовнішніми дотичними до описаних кіл трикутників PABPAB і PACPAC, то (PAXY)2+PB⋅PCAB⋅AC=1.\left( \frac{PA}{XY} \right)^2 + \frac{PB \cdot PC}{AB \cdot AC} = 1.
10–11 класиДотична кола
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-033

Кола, дотичні до прямих зі спільною точкою

Юрі хоче накреслити nn кіл і довільну кількість прямих на площині так, щоб усі прямі перетиналися в одній точці, а для будь-яких двох кіл існували дві прямі, які дотикаються до обох цих кіл. a) Чи може Юрі розв’язати цю задачу для будь-якого n≥2n \ge 2? b) Для яких натуральних чисел nn можна розв’язати цю задачу, якщо додатково всі кола повинні мати однаковий радіус?
9 класДотична кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-013

Дотична до описаного кола з паралелі через інцентр

У трикутнику ABCABC бісектриси кутів при AA і CC перетинають описане коло трикутника ABCABC відповідно в точках A0A_{0} і C0C_{0}. Пряма, що проходить через II, центр вписаного в трикутник ABCABC кола, і паралельна прямій (AC)(AC), перетинає пряму (A0C0)(A_{0}C_{0}) в точці PP. Доведіть, що пряма (PB)(PB) дотикається до описаного кола трикутника ABCABC.
9–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-059

Умова прямого кута A через вписаний XBYC

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Нехай MM — середина сторони BCBC. Через MM проведено пряму ll, перпендикулярну до AMAM, яка перетинає пряму ABAB у точці XX, а пряму ACAC — у точці YY. Доведіть, що ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ} тоді й лише тоді, коли чотирикутник XBYCXBYC вписаний.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-100

Шестикутник з описаним і вписаним колами

Шестикутник ABCDEFA B C D E F має описане коло та вписане коло. Якщо AB=9A B=9, BC=6B C=6, CD=2C D=2, а EF=4E F=4, знайдіть {DE,FA}\{D E, F A\}.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-072

Перпендикуляр до медіани і вписаний чотирикутник XBYC

Нехай ABCABC — трикутник з AB<ACAB < AC. Нехай MM — середина сторони BCBC. Через MM проведено пряму ll, перпендикулярну до AMAM, яка перетинає пряму ABAB в точці XX і пряму ACAC в точці YY. Доведіть, що ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ} тоді й лише тоді, коли чотирикутник XBYCXBYC вписаний.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-055

Дотичні до описаного кола трикутника

У трикутнику ABCABC маємо AB=4AB = 4, BC=5BC = 5 і CA=6CA = 6. Точки A′A', B′B', C′C' такі, що відрізок B′C′B'C' дотикається до описаного кола △ABC\triangle ABC у точці AA, відрізок C′A′C'A' дотикається до описаного кола у точці BB, а відрізок A′B′A'B' дотикається до описаного кола у точці CC. Знайдіть довжину відрізка B′C′B'C'.
10–11 класиДотична кола
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-010

Радіуси дотичних кіл у чотирикутнику

Коло XX вписане в чотирикутник PQRSPQRS. Побудовано 4 кола A,B,C,DA, B, C, D, кожне з яких дотикається до 3 із 4 прямих, визначених сторонами чотирикутника, як показано на рисунку нижче. Припустимо, що радіуси кіл A,B,C,XA, B, C, X дорівнюють 22, 11, 44, 33 відповідно. Знайдіть радіус кола DD.
7–9 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-002

Вписаний чотирикутник з кутами дотичних

Нехай точки AA, BB, CC, DD розташовані на колі в цьому порядку, як показано на рисунку нижче. Нехай кут, утворений дотичною до кола в точці BB і прямою ABAB, дорівнює 30∘30^\circ, а кут, утворений дотичною до кола в точці CC і прямою CDCD, дорівнює 10∘10^\circ. Нехай далі прямі ABAB і DCDC паралельні та розташовані по різні боки одна від одної відносно центра кола. Визначте величину кута ∠BDC\angle BDC.
10–11 класиДотична кола
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-013

Симетричні чевіани та спільна точка

Нехай ABCABC — трикутник, MM — середина сторони ACAC, а NN — середина сторони ABAB. Нехай rr і ss — образи прямих BMBM і CNCN при симетрії відносно прямої BCBC відповідно. Прямі rr і ss перетинають пряму MNMN у точках DD і EE відповідно. Описані кола трикутників BDMBDM і CENCEN перетинаються в точках XX і YY, прямі BEBE і CDCD перетинаються в точці ZZ, а прямі rr і ss перетинаються в точці WW. Доведіть, що прямі XYXY, WZWZ і BCBC перетинаються в одній точці.
8–9 класиРадикальна вісь
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-013

Прямокутник, вписаний єдиним способом

У прямокутнику ABCDABCD маємо ∣AB∣=a|AB| = a і ∣BC∣=b|BC| = b, де a≥ba \ge b. Нехай EE — внутрішня точка сторони ABAB така, що існує єдиний спосіб вибрати точки F,G,HF, G, H на сторонах BC,CD,DABC, CD, DA відповідно так, щоб EFGHEFGH також був прямокутником. Знайдіть відношення площ прямокутників EFGHEFGH і ABCDABCD.
11 класСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-112

Площа кола за дотичною та січною

Точки DD, EE, FF лежать на колі OO так, що пряма, дотична до кола OO в точці DD, перетинає промінь EF→\overrightarrow{E F} у точці PP. Відомо, що PD=4P D = 4, PF=2P F = 2 та ∠FPD=60∘\angle F P D = 60^{\circ}. Знайдіть площу круга, обмеженого колом OO.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.